群的階與群中元素的階的關(guān)系

1、群的階與其元素的階的關(guān)系摘 要近世代數(shù)雖是一門較新的，較抽象的學(xué)科，但如今它已滲透到科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，解決了許多著名的數(shù)學(xué)難題:像尺規(guī)作圖不能問(wèn)題，用根式解代數(shù)方程問(wèn)題，編碼問(wèn)題等等而群是近世代數(shù)里面最重要的內(nèi)容之一，也是學(xué)好近世代數(shù)的關(guān)鍵本論文旨在從各個(gè)角度和方面來(lái)探討群的階與其元的階之間的關(guān)系具體地來(lái)說(shuō)，本文先引入了群的概念，介紹了群及有關(guān)群的定義，然后著重討論了有限群、無(wú)限群中關(guān)于元的階的情況并舉了一些典型實(shí)例進(jìn)行分析，之后又重點(diǎn)介紹了有限群中關(guān)于群的階與其元的階之間的關(guān)系的定理拉格朗日定理，得出了一些比較好的結(jié)論在群論的眾多分支中，有限群論無(wú)論從理論本身還是從實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō)，都占據(jù)著更為突

2、出的地位同時(shí)，它也是近年來(lái)研究最多、最活躍的一個(gè)數(shù)學(xué)分支因此，在本文最后，我們介紹了著名的有限交換群的結(jié)構(gòu)定理，并給出了實(shí)例分析關(guān)鍵詞：群論 有限群 元的階AbstractThe Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such as, the impossibility for Ruler Mappin

3、g problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well.This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of

4、 its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical examples are listed for analyses; thirdl

5、y stresses on the theorem - Lagrange's theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.In the many branches of group theory, the finite group theory, whether from the theory itself or

6、from the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchangin

7、g groups, and give several examples for analyses.Key words：group theory finite groups the orders of elements目 錄 緒 論11.1 群論的概括11.2 群論的來(lái)源11.3 群論的思想22 預(yù)備知識(shí)22.1 群和子群22.1.1 群的定義22.1.2 群的階的定義32.1.3 元的階的定義42.1.4 子群、子群的陪集52.1.5 同構(gòu)的定義62.2 不變子群與商群62.2.1 不變子群與商群62.2.2 Cayley(凱萊)定理72.2.3 內(nèi)直和和外直積的定義83 群中元的階的各種情況

8、及其實(shí)例分析83.1 有限群中關(guān)于元的階93.1.1 有限群中元的階的有限性93.1.2 有限群中關(guān)于元的階及其個(gè)數(shù)的關(guān)系93.2 無(wú)限群中關(guān)于元的階103.2.1 無(wú)限群G中，除去單位元外，每個(gè)元素的階均無(wú)限103.2.2 無(wú)限群G中，每個(gè)元素的階都有限103.2.3 G為無(wú)限群，G中除單位元外，既有無(wú)限階的元，又有有限階的元114 群的階與其元的階之間的關(guān)系114.1 拉格朗日(Lagrange)定理114.1.1 拉格朗日定理114.1.2 相關(guān)結(jié)論124.2 有限交換群的結(jié)構(gòu)定理134.2.1 有限交換群的結(jié)構(gòu)定理134.2.2 相關(guān)例子14參 考 文 獻(xiàn)15致 謝16 緒 論本論文旨

9、在綜述群論中關(guān)于群的階與其元的階之間的關(guān)系，并找出各種情況進(jìn)行實(shí)例分析1.1 群論的概括群論是從實(shí)踐中發(fā)展起來(lái)的一門比較抽象的學(xué)科，它不僅在數(shù)學(xué)中居顯著地位，而且在許多現(xiàn)代科學(xué)分支中居重要地位群論的概念和結(jié)果遠(yuǎn)不限于對(duì)幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等純粹數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用，實(shí)際上它已成為研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)和物質(zhì)微粒運(yùn)動(dòng)的有力工具隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，群論的理論和方法獲得了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，除了大家比較熟悉的對(duì)物理學(xué)、特別是理論物理學(xué)和結(jié)晶學(xué)的應(yīng)用，它還滲透到計(jì)算機(jī)科學(xué)、通訊理論、系統(tǒng)科學(xué)、乃至數(shù)理經(jīng)濟(jì)等許多領(lǐng)域因此，今天需要掌握和了解群論知識(shí)的人越來(lái)越多1.2 群論的來(lái)源為什么正方形在我們看來(lái)是對(duì)稱圖形，圓是更為對(duì)稱的圖

10、形，而數(shù)字“4”就根本不對(duì)稱？為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們來(lái)考慮使圖形與其自身重合的那些運(yùn)動(dòng)容易了解，正方形的這樣的運(yùn)動(dòng)有八個(gè)，圓有無(wú)窮多個(gè)這樣的運(yùn)動(dòng)，而數(shù)字“4”只有一個(gè)，即所謂恒等運(yùn)動(dòng)，它使圖形的每個(gè)點(diǎn)留在原位不動(dòng)使某個(gè)圖形自身重合的各種運(yùn)動(dòng)的集G，是對(duì)稱性為大為小的一個(gè)特征：這樣的集越大，圖形就越對(duì)稱在集G上按下列規(guī)則定義合成，即對(duì)其元素的運(yùn)算：如果x，y是G的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，那么所謂它們的合成結(jié)果就是等價(jià)于先作運(yùn)動(dòng)x，后作運(yùn)動(dòng)y的連接實(shí)施的運(yùn)動(dòng)例如，如果x，y是正方形相對(duì)于有關(guān)對(duì)角線的反射運(yùn)動(dòng)，那么就相當(dāng)于繞中心轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)顯然，在G上的合成具有下列性質(zhì)：；實(shí)際上，e可取恒等運(yùn)動(dòng)，而

11、，即圖形的每一點(diǎn)從新位置還原到舊位置1.3 群論的思想在群的思想凝練成今天這樣晶瑩的瑰寶以前，需要幾代數(shù)學(xué)家的辛勤勞動(dòng)，總計(jì)花費(fèi)了近一百個(gè)春秋從拉格朗日(Lagrange)自發(fā)地采用置換群以解決用根式解代數(shù)方程問(wèn)題起(1771)，中間經(jīng)過(guò)羅菲(Ruffin，1799)與阿貝爾(Abel，1824)，直到伽羅瓦(Galois，1830)在他的著作中已經(jīng)足夠自覺地應(yīng)用群的思想(就是他首先引進(jìn)群這個(gè)術(shù)語(yǔ)的)，這就是在代數(shù)方程論內(nèi)這個(gè)思想發(fā)展的過(guò)程與此獨(dú)立，由于其他原因，當(dāng)19世紀(jì)中葉，在統(tǒng)一的古希臘幾何舞臺(tái)上出現(xiàn)了多種“幾何”，尖銳地提出了研究它們之間的聯(lián)系與“血緣”關(guān)系問(wèn)題時(shí)在幾何中出現(xiàn)了群現(xiàn)在群

12、論是代數(shù)學(xué)發(fā)展最充分的分支之一，無(wú)論在數(shù)學(xué)本身還是數(shù)學(xué)以外在拓?fù)鋵W(xué)，函數(shù)論，結(jié)晶學(xué)，量子力學(xué)以及數(shù)學(xué)與自然科學(xué)其他領(lǐng)域中，都有許多應(yīng)用2 預(yù)備知識(shí) 2.1 群和子群 群的定義我們將群論的簡(jiǎn)介中的例子抽象出來(lái)就得到群的定義設(shè)是非空集合G的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算(我們常稱作乘法)稱(G，)為一個(gè)群，如果這個(gè)運(yùn)算滿足下列諸公理：；如果群G還滿足：；則稱(G，)為交換群，或者Abel群另若一個(gè)群G的每一個(gè)元都是某一個(gè)元a的乘方，這時(shí)我們把G叫做循環(huán)群我們也說(shuō)，G是由元a生成的，并用符號(hào)G=<a>表示，其中a叫做G的一個(gè)生成元例1（全體整數(shù)集，數(shù)的普通加法）顯然滿足公理G1G5，做成一個(gè)Abel群并且

13、不難驗(yàn)證，它還是一個(gè)由整數(shù)1生成的循環(huán)群即該群可用符號(hào)<1>來(lái)表示例2設(shè)G=(a，b)|a，b為實(shí)數(shù)，且a不為0規(guī)定則G顯然滿足G1G4，做成一個(gè)群事實(shí)上，顯然G非空又在G中任取(a，b)，(c，d)則a，b，c，d是實(shí)數(shù)且a，c均不為零于是ac，ad+b也均為實(shí)數(shù)且ac也不為零從而 例3（有理數(shù)集上行列式為1的2階方陣的全體，矩陣的乘法）顯然滿足G1G4，但它不滿足G5因?yàn)椋核运仓皇且粋€(gè)普通的群 群的階的定義如果群G只有有限個(gè)元素，我們稱它為有限群其元素的個(gè)數(shù)稱為群G的階，記為|G|，否則稱它為無(wú)限群，記|G|=從前面我們舉的例子（例1至例3）都是無(wú)限群下面我們舉兩個(gè)有代表性

14、的有限群的例子例4模n的剩余類加群G包含模n的n個(gè)剩余類我們要規(guī)定一個(gè)G的叫做加法的代數(shù)運(yùn)算我們用a來(lái)表示a這個(gè)整數(shù)所在的剩余類我們規(guī)定：a+b=a+b (1)我們先看一看，這樣規(guī)定的+是不是一種代數(shù)運(yùn)算我們知道，假如aa，b b那么a=a，b=b照我們的規(guī)定，a+b=a+b (2)(1)，(2)兩式的左端是一樣的，如果它們的右端不一樣：a+b a+b那么我們規(guī)定的+就不是代數(shù)運(yùn)算了我們說(shuō)這種情況不會(huì)發(fā)生因?yàn)閍=a，b=b 就是說(shuō)aa(n)，bb(n)也就是說(shuō)n|(a-a)，n|(b-b)因此，能n|(a-a)+(b-b)，即n|(a+b)-(a+b)所以a+b=a+b，這樣規(guī)定的+是G的一個(gè)

15、代數(shù)運(yùn)算而且a+(b+c)=a+b+c=a+(b+c)=a+b+c(a+b)+c=a+b+c=(a+b)+c=a+b+c這既是說(shuō) a+(b+c)= (a+b)+c并且 0+a=0+a=a-a+a=-a+a=0所以對(duì)于這個(gè)加法來(lái)說(shuō)，G做成一個(gè)群，這個(gè)群叫做模n的剩余類加群記為仔細(xì)研究這個(gè)群，它還是一個(gè)循環(huán)群，即=<1>例5三次對(duì)稱群一個(gè)有限集合的一個(gè)一一變換叫做一個(gè)置換一個(gè)包含n個(gè)元素的集合的全體置換做成的群叫做n次對(duì)稱群這個(gè)群我們用來(lái)表示容易知道n次對(duì)稱群的階為n!，即|=n!，當(dāng)n=3時(shí)，就是三次對(duì)稱群，下面我們將的元素一一列出=(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，

16、(132)依照群的定義，容易驗(yàn)證滿足G1G4，做成一個(gè)群但它不是一個(gè)Abel群因?yàn)?元的階的定義我們下面來(lái)看群G的一個(gè)元素a，能夠使得的最小整數(shù)m叫做元a的階，記為|a|=m如果這樣的m不存在，我們說(shuō)a是無(wú)限階的，記為下面舉兩個(gè)關(guān)于階的例子，希望讀者對(duì)它有一個(gè)較好的理解：例6設(shè)G剛好包含的三個(gè)根：1，G對(duì)于普通乘法來(lái)說(shuō)顯然滿足G1G4，做成一個(gè)群在這個(gè)群里面，1的階為1，的階為3，的階也為3例7（非零有理數(shù)集，數(shù)的普通乘法）顯然滿足G1G5，做成一個(gè)Abel群在這個(gè)群里面除了1，-1外，其它元素皆為無(wú)限階的另外，有關(guān)元的階，我們還有以下幾個(gè)比較好的結(jié)論結(jié)論1在群G中，若元a的階為m，且，則m|

17、n證我們采用反證法設(shè)m不整除n，由代數(shù)的基本知識(shí)可知，又因?yàn)檫@與元a的階為m矛盾，所以m整除n，即m|n結(jié)論2設(shè)G為群，aG，且|a|=n，則對(duì)任意的整數(shù)k，有證設(shè)（k，n）=d，不妨設(shè)k=d，n=d，且又因?yàn)?所以有設(shè)所以由結(jié)論1可知，n|km，即，所以又因?yàn)樗运越Y(jié)論3在群G中，元素a的階為n，b的階為m若ab=ba，且(m，n)=1則證 首先由于|a|=n，|b|=m，故又由于ab=ba，故其次，設(shè)有正整數(shù) k，使則因ab=ba，故而|b|=m，所以m|kn又因?yàn)?m，n)=1，故m|k同理可證n|k由(m，n)=1得mn|k所以結(jié)論4在交換群G中，對(duì)任意的兩個(gè)元素a，b都有

18、證設(shè)|a|=m，|b|=n則由于G是Abel群，故從而即 子群、子群的陪集假設(shè)H是群G的一個(gè)非空子集如果對(duì)G中的代數(shù)運(yùn)算H本身做成一個(gè)群則稱H為群G的一個(gè)子群我們稱G的子集與分別為子群H的左陪集、右陪集定理2.1 一個(gè)子群H的右陪集的個(gè)數(shù)和左陪集的個(gè)數(shù)相等證我們把H的右陪集所做成的集合叫做，H的左陪集所做成的集合叫做我們說(shuō)， 是一個(gè)間的一一映射因?yàn)椋核杂遗慵疕a的象與a的選擇無(wú)關(guān)，由1)，2) ,3)可知定理證畢一個(gè)群G的子群H的右陪集(或左陪集)的個(gè)數(shù)叫做H在G中的指數(shù)，記作G:H例如： 同構(gòu)的定義有了同構(gòu)的定義，我們可以完全掌握循環(huán)群，下面的結(jié)論就巧妙地利用同構(gòu)指出循環(huán)群只有兩類結(jié)論5設(shè)

19、<a>為循環(huán)群則1)若不存在正整數(shù)n，使則<a>與整數(shù)加群同構(gòu)2)若存在正整數(shù)n，使且n為最小則<a>與n次單位根群同構(gòu)證1)由題意知2)容易驗(yàn)證2.2 不變子群與商群 不變子群與商群一個(gè)群G的子群N叫做一個(gè)不變子群，假如對(duì)于G的每一個(gè)元a來(lái)說(shuō)，都有Na=aN由于一個(gè)不變子群的左陪集與右陪集相同，所以我們可以稱一個(gè)不變子群N的一個(gè)左（或）右陪集叫做N的一個(gè)陪集顯然，對(duì)于Abel群來(lái)說(shuō)，每一個(gè)子群都是一個(gè)不變子群我們看一個(gè)群G的不變子群N把N的所有陪集做成集合我們說(shuō)，法則(xN)(yN)=(xy)N是一個(gè)乘法要看清這一點(diǎn)，我們只須證明，兩個(gè)陪集xN和yN的乘積

20、與x和y的選擇無(wú)關(guān)讓我們看一看：假定 xN= xN，yN= yN那么 但由于N是不變子群，定理2一個(gè)不變子群的陪集對(duì)于上邊規(guī)定的乘法來(lái)說(shuō)做成一個(gè)群證 我們證明不變子群的陪集滿足群的定義G1G4G1) 由上邊規(guī)定的乘法來(lái)說(shuō)是顯然的;G2) (xNyN)zN =(xy)N zN =(xyz)N xN(yNzN)= xN (yz)N= (xyz)NG3) eNxN=(ex)N=xN由G1G4可知，一個(gè)不變子群的陪集對(duì)于上邊規(guī)定的乘法來(lái)說(shuō)做成一個(gè)群一個(gè)群的一個(gè)不變子群N的陪集所做成的群叫做一個(gè)商群這個(gè)群我們用符號(hào) Cayley(凱萊)定理對(duì)于同構(gòu)，我們有下面的一個(gè)有趣的Cayley定理有了它，我們可以

21、只研究變換群了定理3Cayley(凱萊定理) 任何一個(gè)群都同構(gòu)于一個(gè)變換群證明:假定G是一個(gè)群，G的元a，b，c，我們?cè)贕里任取一個(gè)元x出來(lái)，那么這個(gè)定理告訴我們, 任意一個(gè)抽象群都能夠在變換群里找到一個(gè)具體的實(shí)例 內(nèi)直和和外直積的定義 子群，有了內(nèi)直和的定義，下面我們來(lái)看外直積的定義算而寫成的內(nèi)直和在這個(gè)意義上，內(nèi)直和、外直積是互通的，雖然內(nèi)直和概念是屬于結(jié)構(gòu)理論的，而外直積是屬于構(gòu)造理論的3 群中元的階的各種情況及其實(shí)例分析下面我們將從有限群、無(wú)限群兩個(gè)角度來(lái)分析群中元的階的各種情況，并舉一些典型實(shí)例來(lái)說(shuō)明3.1 有限群中關(guān)于元的階 有限群中元的階的有限性在有限群中，有這樣一個(gè)定理：每一個(gè)

22、元的階都有限定理4 在有限群G中，每一個(gè)元都是有限階的證 不妨設(shè)|G|=n，對(duì)，下面考慮集合由群G的封閉性G1可知，均屬于G而|G|=n，所以必至少存在兩個(gè)元素則所以a為有限階的證畢例8令M是除去0，1以外的全體實(shí)數(shù)做成的集合，G為M的以下6個(gè)變換做成的集合：則G對(duì)變換的普通乘法顯然滿足G1G4，做成一個(gè)群?jiǎn)挝辉碾A為1，另三個(gè)元的階均為2而的階為3因?yàn)榧丛谶@個(gè)有限群中，每一個(gè)元素的階均為有限 有限群中關(guān)于元的階及其個(gè)數(shù)的關(guān)系在有限群中，關(guān)于元的階及其個(gè)數(shù)的關(guān)系，有較好的結(jié)論結(jié)論6在一個(gè)有限群里，階數(shù)大于2的元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)證 假設(shè)G是一個(gè)有限群，a為G中任意一個(gè)階數(shù)大于2的元素則顯然但事

23、實(shí)上，設(shè)反之，又設(shè)所以的階也大于2又設(shè)b也是G中一個(gè)階大于2的元素，且這就是說(shuō)，群G中階數(shù)大于2的元素是成對(duì)出現(xiàn)的，由于群G為有限群，所以G中階數(shù)大于2的元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)證畢推論 設(shè)G是一個(gè)偶數(shù)階的有限群則G中階為2的元素的個(gè)數(shù)為奇數(shù)事實(shí)上，由于單位元是群G中階為1的唯一的元素，又由結(jié)論6知群G中階為2的元素的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，所以G中階為2的元素的個(gè)數(shù)一定為奇數(shù)證畢 例如在前面所舉的例5三次對(duì)稱群中, 階數(shù)大于2的只有 (123)，(132)兩個(gè), 為偶數(shù) 且該群中階為2的只有(12)，(13)，(23)三個(gè), 為奇數(shù), 這驗(yàn)證了該結(jié)論的正確性3.2 無(wú)限群中關(guān)于元的階由于在群中，單位元的階為

24、1，所以在無(wú)限群中關(guān)于元的階大體上可分為以下三種情況 無(wú)限群G中，除去單位元外，每個(gè)元素的階均無(wú)限這樣的群確實(shí)存在像我們?cè)诶?中所舉的整數(shù)加群，就是一個(gè)典型的例子任取整數(shù)a不存在正整數(shù)n，使na=1，即|a|=所以在這個(gè)無(wú)限群中，除去單位元1外，其余每個(gè)元素都是無(wú)限階的 無(wú)限群G中，每個(gè)元素的階都有限例9，其中為全體n次單位根對(duì)普通乘法所做成的群則G顯然滿足G1G5，做成一個(gè)Abel群，且每個(gè)元素的階都有限事實(shí)上，任取,必然存在故a為有限階的另外，我們還可以舉一個(gè)類似的例子例10考慮實(shí)數(shù)域上行列式為1的二階方陣所作成的集合A，即則易知，A中的運(yùn)算為：所以集合A對(duì)于這種運(yùn)算顯然滿足G1G5，做成

25、一個(gè)Abel群下面我們將集合A按階相同做一個(gè)等價(jià)劃分即把階相同的元素放在一個(gè)等價(jià)類里，那么可見，在這樣一個(gè)無(wú)限群里，每個(gè)元的階均有限3.2.3 G為無(wú)限群，G中除單位元外，既有無(wú)限階的元，又有有限階的元這樣的例子我們以前也有舉過(guò)，像例7的非零有理數(shù)乘群在這個(gè)群中，除單位元1的階為1外，-1的階為2，而其余每個(gè)元都是無(wú)限階的4 群的階與其元的階之間的關(guān)系在由于在無(wú)限群中，|G|=此時(shí)，群的階與其元的階之間的關(guān)系沒什么意義故本節(jié)主要探討在有限群中，群的階與其元的階之間的關(guān)系4.1 拉格朗日(Lagrange)定理 在有限群中，關(guān)于群的階與其元的階之間的關(guān)系，有著名的拉格朗日定理 拉格朗日定理引理1

26、一個(gè)子群H與H的右陪集Ha之間都存在一個(gè)一一映射證 是H與Ha間的一一映射因?yàn)椋?) H的每一個(gè)元h有一個(gè)唯一的象ha；2) Ha的每一個(gè)元ha是H的元h的象；引理2假定H是一個(gè)有限群G的一個(gè)子群那么H的階n和它在G里的指數(shù)j都能整除G的階N，并且N=nj證 G的階N既是有限，H的階n和指數(shù)j也都是有限正整數(shù)G的N個(gè)元被分成j個(gè)右陪集，而且由引理1可知，每一個(gè)右陪集都有 n個(gè)元所以N=nj因?yàn)镹的指數(shù)就是N的陪集的個(gè)數(shù)，我們顯然有商群的元的個(gè)數(shù)等于N的指數(shù)當(dāng)G是有限群的時(shí)候，由引理2可知定理5(Lagrange定理)一個(gè)有限群G的任一個(gè)元a的階n都整除G的階證 a生成一個(gè)階是n的子群

27、，由引理2知，n整除|G|證畢例11我們還是看例5中的和其子群H=(1),(12)的階為6，H的階為2，H的指數(shù)是3，2和3果然整除6，并且6=2×3的6個(gè)元是(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)它們的階是1或2或3而整數(shù)1、2、3都整除整數(shù)6這當(dāng)然驗(yàn)證了著名的Lagrange定理 相關(guān)結(jié)論運(yùn)用拉格朗日定理，我們可得以下幾個(gè)較好的結(jié)論結(jié)論7階為素?cái)?shù)的群為循環(huán)群證 不妨假設(shè)|G|=P(P為素?cái)?shù))任取元素a，則由Lagrange定理可知，結(jié)論8證 任取一元素a，假設(shè)|a|=n，則由Lagrange定理可知，若j=1，則n=P<a>就是群的一個(gè)P階子群若

28、j>1，則結(jié)論9階為6的交換群必為循環(huán)群證 不妨假設(shè)|G|=6，任取G中元素a，設(shè)|a|=m，則由Lagrange定理可知，m|6所以m可取2或3或6若m=6，則G=<a>是循環(huán)群若m=2，則<a>為G的一個(gè)2階循環(huán)子群但由于G為交換群，故則由Lagrange定理可知，|b|=3或者6若|b|=6，則G=<b>為循環(huán)群若|b|=3，則由于|a|=2，而(2，3)=1，故由結(jié)論3可知，|ab|=6，從而G=<ab>為循環(huán)群若m=3，由于2和3的地位一樣，所以的討論包含了的討論總之，G為循環(huán)群容易驗(yàn)證該結(jié)論條件中的交換群是必要的因?yàn)槔?中的三次

29、對(duì)稱群的階為6，但其不是交換群，并且它不是循環(huán)群，因?yàn)槠渲袥]有階為6的元素有了這個(gè)結(jié)論，我們很容易得下面的推論推論：pq階交換群必為循環(huán)群，其中p, q為互異素?cái)?shù)證 因?yàn)閨G|=pq，任取G中元素a，設(shè)|a|=m，則由Lagrange定理可知，m|pq所以m可取p或q或pq若m=pq，則G=<a>是循環(huán)群若m=p，則<a>為G的一個(gè)p階循環(huán)子群但由于G為交換群，故則由Lagrange定理可知，|b|=pq或者q若|b|=pq，則G=<b>為循環(huán)群若|b|=q，則由于|a|=p，而(p，q)=1，故由結(jié)論3可知，|ab|=pq，從而G=<ab>為循

30、環(huán)群若m=q，由于p和q的地位一樣，所以的討論包含了的討論有興趣的讀者可再推導(dǎo)一次，增強(qiáng)自己的推理能力總之，G為循環(huán)群結(jié)論10在循環(huán)群中，除去單位元外，其余元素的階都相同且有限當(dāng)且僅當(dāng)該循環(huán)群的階為素?cái)?shù)證 4.2 有限交換群的結(jié)構(gòu)定理本節(jié)我們將看到非常漂亮完整的有限交換群的結(jié)構(gòu)定理由此，我們將具體地理解到什么是群的結(jié)構(gòu)理論在本節(jié)中G表示交換群，群的運(yùn)算記作加法“+”，簡(jiǎn)稱加群 有限交換群的結(jié)構(gòu)定理前面我們有了內(nèi)直和與外直積的定義，下面來(lái)簡(jiǎn)要介紹有限交換群的結(jié)構(gòu)定理由于篇幅問(wèn)題，我們不作證明，供讀者欣賞，有興趣的讀者可見參考文獻(xiàn)4定理6（有限交換群的結(jié)構(gòu)定理）：有限交換群G可唯一分解為素?cái)?shù)冪循環(huán)群的直和，若這是一個(gè)很值得玩味的結(jié)構(gòu)定理讀者可以把它和算術(shù)基本定理相比那里表示任意整數(shù)的基本構(gòu)件是“素?cái)?shù)”，構(gòu)造方法是“乘積”，而這里則是：表示有限加群的基本構(gòu)件是“素?cái)?shù)冪階的循環(huán)群”，構(gòu)造方法是“直和”在整數(shù)論中，自然數(shù)n的分解是，則在交換群論中，有限加群G的階n的分解將是如果把n的因數(shù)和G的子群相類比，我們可以容易地證明下面的推論有興趣的讀者可以證明一下推論：G是有限加群，|G|=n，而m|n，則G中必有階為m的子