矩陣相似對(duì)角化研究涂廣偉

1、衢州學(xué)院學(xué)年論文 題 目： 矩陣相似對(duì)角化研究 姓 名： 涂廣偉 學(xué) 號(hào)： 4111012104 院 別： 教師教育學(xué)院 系：數(shù)理系所在專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） _指導(dǎo)教師： 朱溦 職 稱： 講師 2013 年 10 月 8 日目 錄1緒論12矩陣相似對(duì)角化相關(guān)概念22.1相似22.2對(duì)角化22.3對(duì)稱矩陣22.4對(duì)角矩陣22.5實(shí)對(duì)稱矩陣33矩陣相似對(duì)角化充要條件33.1特征多項(xiàng)式33.2特征向量33.3實(shí)對(duì)稱矩陣54可對(duì)角化矩陣的相似對(duì)角陣的求法及步驟75矩陣可對(duì)角化的應(yīng)用75.1非實(shí)對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化的應(yīng)用75.2實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化的應(yīng)用96總結(jié)10參 考 文 獻(xiàn)11英 文 翻 譯

2、12致 謝 辭13矩陣相似對(duì)角化研究【內(nèi)容摘要】 本文介紹了任意n階矩陣特征值以及各個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量的求解方法，通過(guò)對(duì)特征值，特征向量的求解，來(lái)判定該n階矩陣是否可對(duì)角化。另外，本文還討論了一種特殊矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 。【關(guān)鍵詞】 矩陣 ; 特征值 ; 特征向量; 相似; 對(duì)角化1 緒論矩陣是高等代數(shù)中的重要組成部分，是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具。而對(duì)角矩陣作為矩陣中比較特殊的一類，其形式簡(jiǎn)單，研究起來(lái)也非常方便。相似的矩陣擁有很多相同的性質(zhì)，比如特征多項(xiàng)式、特征根等等。如果我們要研究一個(gè)矩陣的這些性質(zhì)，這時(shí)研究它所對(duì)應(yīng)的對(duì)角化矩陣即可。而對(duì)角矩陣是最簡(jiǎn)單的一類矩陣，所以研究起來(lái)非

3、常方便。 線性代數(shù)中矩陣是否可以對(duì)角化,是矩陣的一條很重要的性質(zhì)。矩陣對(duì)角化也是高等代數(shù)和線性代數(shù)中矩陣?yán)碚撨@一部分的主要內(nèi)容。人們對(duì)此研究得出了很多有用的結(jié)論。諸如一些充要條件：階方陣可以對(duì)角化的充要條件是它有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；n階方陣A的n個(gè)特征值互不相同，則A可對(duì)角化；n階矩陣所對(duì)應(yīng)的特征值的重根數(shù)等于齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)等等。 在本課題中通過(guò)閱讀參考文獻(xiàn)、查閱相關(guān)資料，初步總結(jié)出了矩陣可對(duì)角化的若干充分必要條件，并給予了相應(yīng)的證明過(guò)程。除此之外，本文還舉出了矩陣對(duì)角化這一理論在實(shí)際解題中的應(yīng)用。2 矩陣相似對(duì)角化相關(guān)概念2.1 相似 對(duì)于任意的n階方陣,若存在可逆

4、方陣，使得則稱矩陣與相似，記為，而對(duì)進(jìn)行的運(yùn)算稱為對(duì)進(jìn)行的相似變換， 可逆方陣，稱為把變?yōu)榈南嗨谱儞Q矩陣。2.2 對(duì)角化 對(duì)于任意n階矩陣A，如果存在可逆矩陣P,有 (對(duì)角矩陣),那么我們稱A可對(duì)角化。2.3 對(duì)稱矩陣 設(shè)矩陣，記為矩陣的轉(zhuǎn)置。若矩陣A滿足條件，則稱為對(duì)稱矩陣。由定義知： .對(duì)稱矩陣一定是方陣。 .位于主對(duì)角線對(duì)稱位置上的元素必對(duì)應(yīng)相等.即，對(duì)任意都成立.對(duì)稱矩陣形如。2.4 對(duì)角矩陣 形式為的矩陣，其中是數(shù)，通常稱為對(duì)角距陣。2.5 實(shí)對(duì)稱矩陣 若對(duì)稱矩陣的每一個(gè)元素都是實(shí)數(shù)，則稱為實(shí)對(duì)稱矩陣。3 矩陣相似對(duì)角化充要條件3.1 特征多項(xiàng)式 定理 1 若n階矩陣A與B相似，則A

5、和B的特征多項(xiàng)式相同，從而A與B的特征值亦相同。 證明： 因?yàn)锳與B相似，則存在可逆矩陣P，使得 故 所以A和B的特征多項(xiàng)式相同。令 解出 ，則就是A與B的特征值。由以上證明可以得出：若n階矩陣與對(duì)角矩陣 相似，則 是A的n個(gè)特征值，這個(gè)結(jié)論是顯然的，因?yàn)锳與相似，根據(jù)定理1得它們有相同特征值。所以是A的n個(gè)特征值。3.2 特征向量 定理2 數(shù)域P上n階矩陣A可以對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 證明： 先證充分性 假設(shè)是矩陣A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量則有 令顯然P是可逆矩陣，將其記，則= A（）=即充分性得證 。 再證必要性 令矩陣和對(duì)角形矩陣相似，即存在可逆矩陣使得，則有,記

6、， ()即有，這說(shuō)明矩陣的列向量是矩陣的特征向量，而已知是可逆陣，故的個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，必要性得證。 應(yīng)注意，由n階矩陣A可對(duì)角化，并不能斷定A一定含有n個(gè)互不相同的特征值。在后文我們會(huì)給出部分n階矩陣A的特征值雖有重根，但是仍可對(duì)角化。 引理1 設(shè)是n階矩陣A的s個(gè)不同特征值，是A的分別屬于的特征向量，則線性無(wú)關(guān)。 證明： 用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)s=2時(shí)，設(shè) 分別是A的所對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量， 令 (1)則有 (2)(1)-(2)得 又因?yàn)?所以 ，所以定理關(guān)于成立。假設(shè)s-1時(shí)定理成立。當(dāng)為s時(shí)，設(shè)A的s個(gè)不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向令 （3）對(duì)（3）式左乘A，得： （4）由假設(shè)得：線性無(wú)關(guān)，

7、所以因?yàn)椋賻耄?）中得,定理得證。 定理3 設(shè) ，則可以對(duì)角化的充分必要條件是：(1)的特征根都在數(shù)域內(nèi)；(2) A的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量最大個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)，也就是矩陣A全部特征值所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)之和為n；證明： 設(shè)是的所有不同的特征根，根的重?cái)?shù)分別為。 充分性：由于的特征向量有個(gè)線性無(wú)關(guān)，由引理1得，不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量也線性無(wú)關(guān)，所以A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A可以對(duì)角化。 必要性：使用反證法 假設(shè)如果有一個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)的重?cái)?shù)，則A的線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)小于n，故A不可能與對(duì)角矩陣相似，這顯然與A可對(duì)角化矛盾。

8、 我們知道并不是所有的n階矩陣都可對(duì)角化，但是當(dāng)為n階實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)，一定可對(duì)角化，為了證明實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化，我們引入實(shí)對(duì)稱矩陣的一些性質(zhì)。3.3 實(shí)對(duì)稱矩陣定理4 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。 證明： 設(shè)是階實(shí)對(duì)稱陣，是的特征值，是屬于的特征向量，于是有。令，其中是的共軛復(fù)數(shù)，則，考察等式，其左邊為，右邊為.故，又因X是非零量，故，即是一個(gè)實(shí)數(shù)。注意，由于實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)，所以齊次線性方程組為實(shí)系數(shù)方程組，由知必有實(shí)的基礎(chǔ)解系，從而對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量。但是此定理的逆命題不成立。例如，均為實(shí)數(shù)，而不是對(duì)稱的。定理5 設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則對(duì)于任意向量，有。證明： 顯然等價(jià)于,

9、只需要證即可。因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A=A，結(jié)論得證。 定理6 設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，則中屬于的不同特征值的特征向量必正交。 證明: 設(shè)是的兩個(gè)不同的特征值，分別是屬于的特征向量，于是，由，有， 因?yàn)?，所以，即正交。定? 對(duì)任意一個(gè)階實(shí)對(duì)稱矩陣，都存在一個(gè)階正交矩陣P，使成為對(duì)角形且對(duì)角線上的元素為的特征值。證明: 設(shè)的互不相等的特征值為，它們的重?cái)?shù)依次為。則對(duì)應(yīng)特征值，恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)特征向量，把它們正交化并單位化，即得個(gè)單位正交的特征向量，由知，這樣的特征向量共可得個(gè)。由定理6知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，故這個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧弧Ｒ运鼈優(yōu)榱邢蛄孔鞒烧痪仃?，則，其對(duì)角矩陣中的對(duì)角元

10、素含個(gè)，,個(gè)，恰是的個(gè)特征值。4 可對(duì)角化矩陣的相似對(duì)角陣的求法及步驟具體步驟 設(shè)，求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣的步驟是: (1) 求矩陣的全部特征根； (2) 如果的特征根都在數(shù)域內(nèi)(否則不可對(duì)角化), 那么對(duì)每個(gè)特征根, 求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系； (3) 如果對(duì)每個(gè)特征根, 的基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)等于的重?cái)?shù)(否則不可對(duì)角化), 那么可對(duì)角化,以所有基礎(chǔ)解系中的向量為列即得階可逆矩陣, 且是對(duì)角陣, 而對(duì)角線上的元素是的全部特征根；設(shè)， 并設(shè)可逆， 由得 ， 即有由此可見(jiàn)， 只要取 的列為矩陣的個(gè)特征向量即可， 因?yàn)榭赡妫?所以應(yīng)線性無(wú)關(guān)。5 矩陣可對(duì)角化的應(yīng)用5.1 非對(duì)稱矩陣相似

11、對(duì)角化的應(yīng)用例1 判斷矩陣是否可以對(duì)角化。解: A的特征多項(xiàng)式=0解得的特征值是（重），（重），對(duì)于特征根-4，求出齊次線性方程組。的一個(gè)基礎(chǔ)解系，對(duì)于特征根2，求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于對(duì)應(yīng)的特征根的重?cái)?shù)，所以可以對(duì)角化。取,那么 5.2 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化的應(yīng)用例 陣。 解: 由 求得A的特征值為 對(duì)應(yīng) 解方程由 得基礎(chǔ)解系將單位化，得 對(duì)應(yīng)解方程由 將正交化，令 再將其單位化得， 將構(gòu)成正交矩陣 6 總結(jié)矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，而矩陣的對(duì)角化是矩陣論中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。本文論述了矩陣可對(duì)角化的基本理論，在此基礎(chǔ)上

12、探討了矩陣可對(duì)角化的充分必要條件，使我們更輕松的理解并掌握矩陣的對(duì)角化問(wèn)題。參 考 文 獻(xiàn)1 張禾瑞，郝炳新，高等代數(shù)M， 2007，3版， 北京：高等教育出版社2 王萼芳，石生明，高等代數(shù)M ，2003，2版， 北京：高等教育出版社 3 張枚，高等代數(shù)習(xí)題選編M，1981，版，浙江：浙江科學(xué)技術(shù)出版社4 楊子胥，高等代數(shù)習(xí)題解M，2001，版，山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社Matrix diagonalization similar study【 abstract 】 this paper introduces the arbitrary order n matrix eigenvalues an

13、d eigenvectors corresponding to each eigenvalue method, based on the characteristic value and characteristic vector of the solution, to determine whether the n order matrix diagonalization, in addition, this paper also discusses a special matrix, diagonal matrix diagonalization. 【 key words 】 similarity； diagon