江西省2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 附答案

江西高二期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4．本卷命題范圍：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第五章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．B．C．1D．2．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是（）A．B．C．D．3．已知點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，分別為C的左、右焦點(diǎn)，若,則（）A．5B．13C．5或9D．5或64．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn),若,且,則滿足條件的點(diǎn)P共有（）A．15個(gè)B．20個(gè)C．25個(gè)D．30個(gè)5．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A．26B．18C．14D．136．已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則直線的斜率的最大值是（）A．B．C．1D．7．楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為（）A．B．C．D．8．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱(chēng)作阿基米德體．如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)都相等的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得．已知點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)且,若直線與直線所成角的余弦值為,則（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知關(guān)于的方程表示的曲線是E，則曲線E可以是（）A．拋物線B．雙曲線C．橢圓D．圓10．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，,若,則（）A．B．C．D．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為為C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn),則（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．的最小值為5D．的最大值為12．如圖，在長(zhǎng)方體中，,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為側(cè)面（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．存在點(diǎn)F,使得B．滿足的點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為C．的最小值為D．若平面,則線段長(zhǎng)度的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．方程（且）的解為_(kāi)__________．14．已知平面的法向量為,點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面的距離為_(kāi)__________．15．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為70，則實(shí)數(shù)___________．16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓C上，的延長(zhǎng)線交橢圓C于點(diǎn)Q,且的面積為,記與的面積分別為,則___________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）根據(jù)張桂梅校長(zhǎng)真實(shí)事跡拍攝的電影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某數(shù)學(xué)組有3名男教師和2名女教師相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．求：（1）2名女教師必須坐在一起的坐法有多少種？（2）2名女教師互不相鄰的坐法有多少種？18．（本小題滿分12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2．（1）證明：平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．（本小題滿分12分）的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為a,各項(xiàng)系數(shù)之和為b,且．（1）求n的值；（2）求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．20．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面,點(diǎn)E在棱上，且．（1）求證：;（2）若,求二面角的余弦值．21．（本小題滿分12分）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標(biāo)系中，滿足,頂點(diǎn),且其“歐拉線”與圓相切．（1）求的“歐拉線”方程；（2）若圓M與圓有公共點(diǎn)，求a的范圍；（3）若點(diǎn)在的“歐拉線”上，求的最小值．22．（本小題滿分12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于其到直線距離的2倍，記點(diǎn)P的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知斜率為k的直線l與曲線交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若,證明：為定值．

江西高二期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．B由題意可知，直線的斜率為，解得．故選B．2．A設(shè)與直線平行的直線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以所求直線的方程為．故選A．3．C由題意可知,若,則或9．故選C．4．B由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P即從1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)中選3個(gè)數(shù)，然后按從小到大的次序分配給a，b,c,共有個(gè)．故選B．5．B由,得，所以圓心為，半徑,圓心C到直線l的距離,所以,所以的周長(zhǎng)為．故選B．6．D設(shè)直線的斜率為k,則直線的方程為，由題意，得直線與拋物線C有交點(diǎn)，聯(lián)立方程得,當(dāng)時(shí)，,即;當(dāng)時(shí)，，解得且，綜上所述，k的最大值為．故選D．7．B由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為．故選B．8．C將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)半正多面體的棱長(zhǎng)為，正方體的棱長(zhǎng)為2，所以,所以，則．設(shè)直線與直線所成角為，則,即，解得或（舍）．故選C．9．BCD當(dāng)時(shí)，，方程可以化簡(jiǎn)為，曲線E是圓；當(dāng)且時(shí)，或,曲線E是橢圓；當(dāng)時(shí)，或,曲線E是雙曲線．故選BCD．10．BC,故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；,故D錯(cuò)誤．故選BC．11．BCD由題意知，當(dāng)時(shí)，，則，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為拋物線與圓的交點(diǎn)，二者聯(lián)立并消去y,得,所以，又,所以，故B正確；過(guò)B作l的垂線,垂足為,當(dāng)P為與C的交點(diǎn)時(shí)，最小，最小值為5，故C正確；當(dāng)點(diǎn)P為線段的延長(zhǎng)線與C的交點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為，故D正確．故選BCD．12．BD以A為原點(diǎn)，分別以所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,．對(duì)于選項(xiàng)A,若,則,又,所以,即，此方程無(wú)解，所以不存在點(diǎn)F,使得,故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,由,得,化簡(jiǎn)可得,又，所以當(dāng)時(shí)，得,當(dāng)時(shí)，得,即滿足的點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)點(diǎn)C關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G,則G的坐標(biāo)為，則,故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則,所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫?所以，即,又點(diǎn),所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確．故選BD．13．2或4由題意，可知,所以或．14．1由題意得，故點(diǎn)P到平面的距離．15．2因?yàn)榈恼归_(kāi)式中含的項(xiàng)為,由題意知,解得．16．不妨設(shè),焦距,由的面積為，得,由余弦定理，得,則,所以,即,所以,所以,易得,所以,所以,所以，所以,所以,所以．17．解：（1）根據(jù)題意，先將2名女教師排在一起，有種坐法，2分將排好的女教師視為一個(gè)整體，與3名男教師進(jìn)行排列，共有種坐法，4分由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種坐法．5分（2）根據(jù)題意，先將3名男教師排好，有種坐法，7分再在這3名男教師之間及兩頭的4個(gè)空位中插入2名女教師，有種坐法，9分由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種坐法．10分18．如圖，以D為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則．所以．2分（1）證明：設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得．4分因?yàn)椋?又在平面,所以平面．6分（2）解：由（1），得平面的一個(gè)法向量,設(shè)直線與平面所成角為，則．10分所以直線與平面所成角的正弦值為．12分19．解：（1）由題意，得,2分，4分因?yàn)?所以,所以,解得．6分（2）的展開(kāi)式的通項(xiàng)，8分令，得．10分所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．12分20．（1）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)F,因?yàn)槠矫嫫矫?所以．1分在中，，在中，，2分又均為銳角，所以,3分因?yàn)?，所以，所以，?4分因?yàn)槠矫?且,所以平面,5分又平面,所以．6分（2）解：由題意知兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,所以．7分設(shè)平面的一個(gè)法向量,則即令,則，所以．9分設(shè)平面的一個(gè)法向量,則即令,則,所以，11分設(shè)二面角的大小為，由題意知為銳角，所以．12分21．解：（1）因?yàn)?所以是等腰三角形，由三線合一得：的外心、重心、垂心均在邊的垂直平分線上，設(shè)的歐拉線為l,則l過(guò)的中點(diǎn)，且與直線垂直，由可得：的中點(diǎn)，即，所以,3分故的方程為．4分（2）因?yàn)榕c圓相切，故，5分圓的圓心坐標(biāo)為,半徑，則要想圓M與圓有公共點(diǎn)，只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對(duì)值，故，7分所以．8分（3）因?yàn)?所以該式子是表示點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和，9分又，所以上述式子表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,則有解得,即．11分所以,所以直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值為,即的最小值為2．12分22．（1）解：設(shè)動(dòng)點(diǎn),則,1分點(diǎn)P到直線的距離，2分由題意知，即，