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1、第二講 平面向量復(fù)習(xí)要點(diǎn)1向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算,前兩者的結(jié)果是向量,兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式:圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下:運(yùn) 算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法+=-=記=(x1,y1),=(x1,y2)則+=(x1+x2,y1+y2)-=(x2-x1,y2-y1)+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個(gè)向量的數(shù)量積·=|cos<,>記=(x1,y1), =(x2,y2)則·=x1x2+y1y22重要定理、公式(1)

2、向量共線定理:如果有一個(gè)實(shí)數(shù)使那么與是共線向量;反之,如果是共線向量,那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使。(2)平面向量基本定理:如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量,有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)1,2,滿足=1+2。*(3)兩個(gè)向量平行 :設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2),則 x1y2-x2y1=0*(4)兩個(gè)向量垂直:設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2),則x1x2+y1y2=0(5)線段定比分點(diǎn)公式: 設(shè), 則設(shè)P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),則1. 向量加法運(yùn)算及其幾何意義一、選擇題1若C是線段AB的中點(diǎn),則 ( )ABCD以上均不正確2已知正方形ABCD

3、邊長(zhǎng)為1,則的模等于 A0B3 C D ( )3在四邊形ABCD中,則四邊形是 ( ) A矩形 B菱形C正方形D平行四邊形4向量化簡(jiǎn)后等于 ( )ABCD5、為非零向量,且,則 ( )A與方向相同 BC D與方向相反6設(shè),而是一非零向量,則下列各結(jié)論:;,其中正確的是 ( )A B C D二、填空題7化簡(jiǎn)(= 。8在矩形ABCD中,若,則_。9已知,AOB=60,則_。10當(dāng)非零向量和滿足條件 時(shí),使得平分和間的夾角。三、解答題11一汽車向北行駛3 km,然后向北偏東60方向行駛3 km,求汽車的位移。12O是平行四邊形ABCD外一點(diǎn),求證:。2向量減法運(yùn)算及其幾何意義一、選擇題1化簡(jiǎn)所得結(jié)果

4、是 ( )ABCD 2在ABC中,則的值為 ( )A0B1CD23設(shè)和的長(zhǎng)度均為6,夾角為 120,則等于 ( )A36 B12 C6 D4下面四個(gè)式子中不能化簡(jiǎn)成的是 ( )ABCD 5在ABC中,D、E、F分別BC、CA、AB的中點(diǎn),點(diǎn)M是ABC的重心,則 等于 ( )ABCD6已知向量反向,下列等式中成立的是( )ABCD二、填空題7在平行四邊形ABCD中,則,。8在=“向北走20km”,=“向西走15km”,則=_,與的夾角的余弦值=_。9如圖,D、E、F分別是ABC邊AB、BC、CA上的中點(diǎn),則等式:其中正確的題號(hào)是_10已知、是非零向量,指出下列等式成立的條件:成立的條件是_;成立

5、的條件是_;成立的條件是 _;成立的條件是_。三、解答題11如圖,O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),若,證明:。12已知長(zhǎng)度相等的三個(gè)非零向量、滿足,求每?jī)蓚€(gè)向量之間的夾角。3. 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義一選擇題1化簡(jiǎn)的結(jié)果是 ( )ABCD2已知,則下列命題正確的是 ( )A BC D3下列各式計(jì)算正確的有( )(1)(7)6a=-42a (2)7(a+b)8b=7a+15b (3)a2b+a+2b=2a (4)若a=m+n,b=4m+4n,則abA1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)4已知E、F分別為四邊形ABCD的邊CD、BC邊上的中點(diǎn),設(shè),則= ABCD ( )5若化簡(jiǎn) ( )A

6、 B C D 以上都不對(duì)6已知四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)P在對(duì)角線AC上(不包括端點(diǎn)A、C),則=( ) A B C D 二、填空題7已知、是實(shí)數(shù),、是向量,對(duì)于命題: 若,則若,則其中正確命題為_(kāi)8計(jì)算:(1)=_;(2)=_9已知向量,且,則=_10若向量、滿足,、為已知向量,則=_; =_三、解答題11已知,是兩個(gè)不共線的向量,若與是共線向量,求實(shí)數(shù)的值12如圖,在ABC中,G是ABC的重心,證明:專題一 平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)表示*教學(xué)目的:1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義;2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律;3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題;4掌握向量垂

7、直的條件.*教學(xué)重點(diǎn):平面向量的數(shù)量積定義*教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用*講解概念:1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量與,作,則()叫與的夾角.說(shuō)明:(1)當(dāng)時(shí),與同向;(2)當(dāng)時(shí),與反向;(3)當(dāng)時(shí),與垂直,記;(4)注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點(diǎn)的范圍0°q180°C特別注意的是三角形中向量的夾角2平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角是,則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積,記作a×b,即有a×b = |a|b|cosq,()并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.×探究:

8、兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積的區(qū)別(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不是向量,符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫(xiě)成a×b;今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b,而a×b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積,書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào),既不能省略,也不能用“×”代替.(3)在實(shí)數(shù)中,若a¹0,且a×b=0,則b=0;但是在數(shù)量積中,若a¹0,且a×b=0,不能推出b=0因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.(4)已知實(shí)數(shù)a、b、c(b¹0),則ab=bc Þ a=c但

9、是a×b = b×c a = c 如右圖:a×b = |a|b|cosb = |b|OA|,b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在實(shí)數(shù)中,有(a×b)c = a(b×c),但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然,這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量,而右端是與a共線的向量,而一般a與c不共線.3“投影”的概念:作圖 定義:|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個(gè)數(shù)量,不是向量;當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值;當(dāng)q

10、為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)q為直角時(shí)投影為0;當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|;當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a×b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量,e是與b同向的單位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq 2° ab Û a×b = 0 “重點(diǎn)!”3° 當(dāng)a與b同向時(shí),a×b = |a|b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a×b = -|a|b|. 特別的a×a =

11、|a|2或 重點(diǎn)!4° cosq = 重點(diǎn)! 5° |a×b| |a|b|6.數(shù)量積的坐標(biāo)表示:向量的模(模長(zhǎng)公式) 設(shè),則有或平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè),則兩向量垂直的坐標(biāo)表示的判斷條件 設(shè),則兩向量的夾角的坐標(biāo)表示公式 設(shè)非零向量,為與的夾角,則7.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律: × = × 數(shù)乘結(jié)合律:()× =(×) = ×() 分配律:( + )× = × + ×三、講解范例:例1 判斷正誤(易錯(cuò)點(diǎn))·00;0·;·;若0,則對(duì)任一非零有

12、3;;·,則與中至少有一個(gè)為0;對(duì)任意向量,都有(·)(·);與是兩個(gè)單位向量,則總結(jié):實(shí)數(shù)中的好多結(jié)論在向量中是不成立的。如:若,則或; 若,且,則;若,則; ; 若,則練習(xí):1.下列命題中真命題是( )(A) (B) (C) (D) 2.下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 33.下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是( )一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為基底;兩個(gè)非零向量平行,則他們所在直線平行;零向量不能作為基底中的向量;兩個(gè)單位向量的數(shù)量積等于零。(A) (B) (C) (D)4.判斷下列各題是否正確(1)若,則對(duì)任意向量

13、,有 (2)若,則對(duì)任意非零量,有(3)若,且,則 (4)若,則或 (5)對(duì)任意向量有 (6)若,且,則 例2(易錯(cuò)點(diǎn))已知ABC中,°,求·.總結(jié):這一類型題,要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.例3 (數(shù)量積公式的應(yīng)用)已知,當(dāng),與的夾角是60°時(shí),分別求·.總結(jié):兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān),其范圍是0°,180°,因此,當(dāng)時(shí),有0°或180°兩種可能.例4(數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用、模長(zhǎng)公式的應(yīng)用、向量夾角公式)已知,求,與的夾角.練習(xí):1.若,則 2.若,且,則實(shí)數(shù) 3.若,則與垂直的單位向量

14、的坐標(biāo)是 4.已知向量,且,則的坐標(biāo)是_例5(投影的概念)若,求在方向上的投影例6(數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用)若, 求的夾角練習(xí):1.若,且,則向量與向量的夾角為 ( ) A. B. C. D. 2.已知,夾角為,則 .例7(模與數(shù)量積的關(guān)系)已知向量求 (1)的值; (2)與的夾角練習(xí):1.已知向量滿足,且的夾角為,求.2.已知,求向量與向量的夾角.3.已知是兩個(gè)非零向量,同時(shí)滿足,求的夾角.4.已知向量,若不超過(guò)5,則的取值范圍 ( )A. B. C. D. 5.已知的夾角為, ,則 等于( )A 5 B. 4 C. 3 D. 1例8平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用1.已知向量.(1) 若 ; (2)求

15、的最大值 .2已知,=3,和的夾角為,求當(dāng)向量與的夾角為銳角時(shí),的取值范圍專題二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、線段的定比分點(diǎn)例1 平面內(nèi)有三個(gè)已知點(diǎn)A(1,2),B(7,0),C(5,6),求 , , , ,2 , 3 例2 用坐標(biāo)法證明 0【說(shuō)明】 這個(gè)證明過(guò)程完全是三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算,無(wú)需考慮三個(gè)點(diǎn)A,B,C是共線還是不共線的位置關(guān)系同時(shí),對(duì)這個(gè)結(jié)論的更一般形式,即幾個(gè)向量順次首尾相接,組成一條封閉的折線,其和為零向量,也就不難理解了:例3 已知M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y),且 ,求y的值例4 已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0),B(4,0),C(3,6),邊AB,B

16、C,CA的中點(diǎn)分別為D,E,F(xiàn),且ABC的重心為G,求:例5 如圖522,在ABC中,D,E,F(xiàn)分別為AB,例6 如圖523,在ABC中,D,E,F(xiàn)分別為邊BC,例7 如圖524,在ABC中,D為邊BC上的點(diǎn),且 =k ,E為DA上一點(diǎn),且 =l ,延長(zhǎng)BE交AC于F,求F分有向線段 的比專題三 平面向量的應(yīng)用舉例一、選擇題1已知A、B、C為三個(gè)不共線的點(diǎn),P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若,則點(diǎn)P與ABC的位置關(guān)系是 ( ) A、點(diǎn)P在ABC內(nèi)部 B、點(diǎn)P在ABC外部C、點(diǎn)P在直線AB上 D、點(diǎn)P在AC邊上2已知三點(diǎn)A(1,2),B(4,1),C(0,-1)則ABC的形狀為 ( ) A、正三角形

17、B、鈍角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰銳角三角形3當(dāng)兩人提起重量為|G|的旅行包時(shí),夾角為,兩人用力都為|F|,若|F|=|G|,則的值為( ) A、300 B、600 C、900 D、12004某人順風(fēng)勻速行走速度大小為a,方向與風(fēng)速相同,此時(shí)風(fēng)速大小為v,則此人實(shí)際感到的風(fēng)速為 ( ) A、v-a B、a-v C、v+a D、v二、填空題5一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛,船的實(shí)際航行方向與水流方向成300角,則水流速度為 km/h。6兩個(gè)粒子a,b從同一粒子源發(fā)射出來(lái),在某一時(shí)刻,以粒子源為原點(diǎn),它們的位移分別為Sa=(3,-4),Sb=(4,3),(1)此時(shí)粒子b相對(duì)于粒子a的位移 ;(2)求S在Sa方向上的投影

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