第二講平面向量

1、第二講 平面向量復(fù)習(xí)要點(diǎn)1向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法+=-=記=(x1,y1)，=(x1,y2)則+=(x1+x2,y1+y2)-=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個(gè)向量的數(shù)量積·=|cos<,>記=(x1,y1), =(x2,y2)則·=x1x2+y1y22重要定理、公式（1）

2、向量共線定理：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)使那么與是共線向量；反之，如果是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使。（2）平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)1，2，滿足=1+2。*（3）兩個(gè)向量平行 ：設(shè)=（x1,y1），=(x2,y2)，則 x1y2-x2y1=0*（4）兩個(gè)向量垂直：設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2)，則x1x2+y1y2=0（5）線段定比分點(diǎn)公式: 設(shè), 則設(shè)P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）,則1. 向量加法運(yùn)算及其幾何意義一、選擇題1若C是線段AB的中點(diǎn)，則 （ ）ABCD以上均不正確2已知正方形ABCD

3、邊長(zhǎng)為1，則的模等于 A0B3 C D （ ）3在四邊形ABCD中，則四邊形是 （ ） A矩形 B菱形C正方形D平行四邊形4向量化簡(jiǎn)后等于 （ ）ABCD5、為非零向量，且，則 （ ）A與方向相同 BC D與方向相反6設(shè)，而是一非零向量，則下列各結(jié)論：；，其中正確的是 （ ）A B C D二、填空題7化簡(jiǎn)（= 。8在矩形ABCD中，若，則_。9已知，AOB=60，則_。10當(dāng)非零向量和滿足條件 時(shí)，使得平分和間的夾角。三、解答題11一汽車向北行駛3 km，然后向北偏東60方向行駛3 km，求汽車的位移。12O是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，求證：。2向量減法運(yùn)算及其幾何意義一、選擇題1化簡(jiǎn)所得結(jié)果

4、是 （ ）ABCD 2在ABC中，則的值為 （ ）A0B1CD23設(shè)和的長(zhǎng)度均為6，夾角為 120，則等于 （ ）A36 B12 C6 D4下面四個(gè)式子中不能化簡(jiǎn)成的是 （ ）ABCD 5在ABC中，D、E、F分別BC、CA、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是ABC的重心，則 等于 （ ）ABCD6已知向量反向，下列等式中成立的是（ ）ABCD二、填空題7在平行四邊形ABCD中，則，。8在=“向北走20km”，=“向西走15km”，則=_，與的夾角的余弦值=_。9如圖，D、E、F分別是ABC邊AB、BC、CA上的中點(diǎn)，則等式：其中正確的題號(hào)是_10已知、是非零向量，指出下列等式成立的條件：成立的條件是_；成立

5、的條件是_；成立的條件是 _；成立的條件是_。三、解答題11如圖，O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，若，證明：。12已知長(zhǎng)度相等的三個(gè)非零向量、滿足，求每?jī)蓚€(gè)向量之間的夾角。3. 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義一選擇題1化簡(jiǎn)的結(jié)果是 （ ）ABCD2已知，則下列命題正確的是 （ ）A BC D3下列各式計(jì)算正確的有（ ）(1)(7)6a=-42a (2)7(a+b)8b=7a+15b (3)a2b+a+2b=2a (4)若a=m+n,b=4m+4n,則abA1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)4已知E、F分別為四邊形ABCD的邊CD、BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)，則= ABCD （ ）5若化簡(jiǎn) （ ）A

6、 B C D 以上都不對(duì)6已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則=（ ） A B C D 二、填空題7已知、是實(shí)數(shù)，、是向量，對(duì)于命題： 若，則若，則其中正確命題為_(kāi)8計(jì)算：（1）=_；（2）=_9已知向量，且，則=_10若向量、滿足，、為已知向量，則=_； =_三、解答題11已知，是兩個(gè)不共線的向量，若與是共線向量，求實(shí)數(shù)的值12如圖，在ABC中，G是ABC的重心，證明：專題一 平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)表示*教學(xué)目的：1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題；4掌握向量垂

7、直的條件.*教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義*教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用*講解概念：1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.說(shuō)明：（1）當(dāng)時(shí)，與同向；（2）當(dāng)時(shí)，與反向；（3）當(dāng)時(shí)，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的范圍0°q180°C特別注意的是三角形中向量的夾角2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.×探究：

8、兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積的區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫(xiě)成a×b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a×b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實(shí)數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c但

9、是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在實(shí)數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q

10、為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq 2° ab Û a×b = 0 “重點(diǎn)！”3° 當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a|b|. 特別的a×a =

11、|a|2或 重點(diǎn)！4° cosq = 重點(diǎn)！ 5° |a×b| |a|b|6.數(shù)量積的坐標(biāo)表示：向量的模（模長(zhǎng)公式） 設(shè)，則有或平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)，則兩向量垂直的坐標(biāo)表示的判斷條件 設(shè)，則兩向量的夾角的坐標(biāo)表示公式 設(shè)非零向量，為與的夾角，則7.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律： × = × 數(shù)乘結(jié)合律：()× =(×) = ×() 分配律：( + )× = × + ×三、講解范例：例1 判斷正誤（易錯(cuò)點(diǎn)）·00；0·；·；若0，則對(duì)任一非零有

12、3;；·，則與中至少有一個(gè)為0；對(duì)任意向量，都有（·）（·）；與是兩個(gè)單位向量，則總結(jié)：實(shí)數(shù)中的好多結(jié)論在向量中是不成立的。如：若，則或； 若，且，則；若，則； ； 若，則練習(xí)：1.下列命題中真命題是（ ）(A) (B) (C) (D) 2.下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 33.下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是（ ）一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為基底；兩個(gè)非零向量平行，則他們所在直線平行；零向量不能作為基底中的向量；兩個(gè)單位向量的數(shù)量積等于零。(A) (B) (C) (D)4.判斷下列各題是否正確（1）若，則對(duì)任意向量

13、，有 （2）若，則對(duì)任意非零量，有（3）若，且，則 （4）若，則或 （5）對(duì)任意向量有 （6）若，且，則 例2（易錯(cuò)點(diǎn)）已知ABC中，°，求·.總結(jié)：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.例3 （數(shù)量積公式的應(yīng)用）已知，當(dāng)，與的夾角是60°時(shí)，分別求·.總結(jié)：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0°，180°，因此，當(dāng)時(shí)，有0°或180°兩種可能.例4（數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用、模長(zhǎng)公式的應(yīng)用、向量夾角公式）已知，求，與的夾角.練習(xí)：1.若，則 2.若，且，則實(shí)數(shù) 3.若，則與垂直的單位向量

14、的坐標(biāo)是 4.已知向量，且，則的坐標(biāo)是_例5（投影的概念）若，求在方向上的投影例6（數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用）若， 求的夾角練習(xí)：1.若,且,則向量與向量的夾角為 ( ) A. B. C. D. 2.已知,夾角為,則 .例7（模與數(shù)量積的關(guān)系）已知向量求 （1）的值； （2）與的夾角練習(xí)：1.已知向量滿足,且的夾角為,求.2.已知,求向量與向量的夾角.3.已知是兩個(gè)非零向量,同時(shí)滿足,求的夾角.4.已知向量,若不超過(guò)5,則的取值范圍 ( )A. B. C. D. 5.已知的夾角為, ,則 等于( )A 5 B. 4 C. 3 D. 1例8平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用1.已知向量.(1) 若 ; (2)求

15、的最大值 .2已知，=3，和的夾角為，求當(dāng)向量與的夾角為銳角時(shí)，的取值范圍專題二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、線段的定比分點(diǎn)例1 平面內(nèi)有三個(gè)已知點(diǎn)A(1，2)，B(7，0)，C(5，6)，求 ， ， ， ，2 ， 3 例2 用坐標(biāo)法證明 0【說(shuō)明】 這個(gè)證明過(guò)程完全是三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算，無(wú)需考慮三個(gè)點(diǎn)A，B，C是共線還是不共線的位置關(guān)系同時(shí)，對(duì)這個(gè)結(jié)論的更一般形式，即幾個(gè)向量順次首尾相接，組成一條封閉的折線，其和為零向量，也就不難理解了：例3 已知M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)，且 ，求y的值例4 已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0，0)，B(4，0)，C(3，6)，邊AB，B

16、C，CA的中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，且ABC的重心為G，求：例5 如圖522，在ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，例6 如圖523，在ABC中，D，E，F(xiàn)分別為邊BC，例7 如圖524，在ABC中，D為邊BC上的點(diǎn)，且 =k ，E為DA上一點(diǎn)，且 =l ，延長(zhǎng)BE交AC于F，求F分有向線段 的比專題三 平面向量的應(yīng)用舉例一、選擇題1已知A、B、C為三個(gè)不共線的點(diǎn)，P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P與ABC的位置關(guān)系是 （ ） A、點(diǎn)P在ABC內(nèi)部 B、點(diǎn)P在ABC外部C、點(diǎn)P在直線AB上 D、點(diǎn)P在AC邊上2已知三點(diǎn)A（1，2），B（4，1），C（0，-1）則ABC的形狀為 （ ） A、正三角形

17、B、鈍角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰銳角三角形3當(dāng)兩人提起重量為|G|的旅行包時(shí)，夾角為，兩人用力都為|F|，若|F|=|G|，則的值為（ ） A、300 B、600 C、900 D、12004某人順風(fēng)勻速行走速度大小為a，方向與風(fēng)速相同，此時(shí)風(fēng)速大小為v，則此人實(shí)際感到的風(fēng)速為 （ ） A、v-a B、a-v C、v+a D、v二、填空題5一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛，船的實(shí)際航行方向與水流方向成300角，則水流速度為 km/h。6兩個(gè)粒子a，b從同一粒子源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，以粒子源為原點(diǎn)，它們的位移分別為Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此時(shí)粒子b相對(duì)于粒子a的位移 ；（2）求S在Sa方向上的投影