空間直角坐標系07333

1、空間直角坐標系一、教材知識解析1、空間直角坐標系的定義：從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標系O-xyz，點O叫做坐標原點，x軸、y軸和z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面和xOz平面。2、右手直角坐標系及其畫法： （1）定義：在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系。本書上所指的都是右手直角坐標系。 （2）畫法： 將空間直角坐標系畫在紙上時，x軸與y軸、x軸與z軸均成135°，而z軸垂直于y軸，y軸和z軸的長

2、度單位相同，x軸上的單位長度為y軸（或z軸）的長度的一半，這樣，三條軸上的單位長度在直觀上大體相等。3、空間中點的坐標表示：點在對應(yīng)數(shù)軸上的坐標依次為x、y、z，我們把有序?qū)崝?shù)對（x，y，z）叫做點A的坐標，記為A（x，y，z）。二、題型解析：題型1、在空間直角坐標系下作點。例1、在空間直角坐標系中，作出M(4,2,5).解：法一：依據(jù)平移的方法，為了作出M(4,2,5)，可以按如下步驟進行：（1）在軸上取橫坐標為4的點；（2）將在平面內(nèi)沿與軸平行的方向向右移動2個單位，得到點；（3）將沿與軸平行的方向向上移動5個單位，就可以得到點M（如圖）。法二：以O(shè)為一個頂點，構(gòu)造三條棱長分別為4，2，5

3、的長方體，使此長方體在點O處的三條棱分別在軸的正半軸、軸的正半軸、軸的正半軸上，則長方體與頂點O相對的頂點即為所求的點M。法三：在軸上找到橫坐標為4的點，過此點作與垂直的平面；在軸上找到縱坐標為2的點，過此點作與垂直的平面；在軸上找到豎坐標為5的點，過此點作與垂直的平面；則平面交于一點，此交點即為所求的點M的位置?！炯记煽偨Y(jié)】：（1）若要作出點M的坐標有兩個為0，則此點是坐標軸上的點，可直接在坐標軸上作出此點；（2）若要作出點M的坐標有且只有一個為0，則此點不在坐標軸上，但在某一坐標平面內(nèi)，可以按照類似于平面直角坐標系中作點的方法作出此點。（3）若要作出點M的坐標都不為0，則需要按照一定的步驟

4、作出該點，一般有三種方法：在軸上取橫坐標為的點；再將在平面內(nèi)沿與軸平行的方向向左（）或向右（）平移個單位，得到點；再將沿與軸平行的方向向上（）或向下（）平移個單位，就可以得到點 M。 以O(shè)為一個頂點，構(gòu)造三條棱長分別為的長方體（三條棱長的位置要與的符號一致），則長方體與頂點O相對的頂點即為所求的點M。 先在軸上找到點，過作與垂直的平面；在軸上找到點，過作與垂直的平面；在軸上找到點，過作與垂直的平面，則平面交于一點，此交點即為所求的點M的位置?！咀兪脚c拓展】11在空間直角坐標系下作出點（-2，1，4）12 在同一坐標系下作出下列各點：A（3，0，0），B（0，0，-3），C（2，3，0），D（4

5、，2，3），E（4，-2，3）題型2、在空間直角坐標系下求出點的坐標表示例2、如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點，棱長為1，求E、F點的坐標。解：法一：E點在點面上的射影為B，B（1，1，0），豎坐標為，。F在在點面上的射影為BD的中點為G，豎坐標為1，法二：，E為中點，F(xiàn)為的中點。故E的坐標為，F(xiàn)的坐標為【技巧總結(jié)】：（1）確定空間直角坐標系下點M的坐標時，最常用的方法就是求某些與軸平行的線段的長度，即將坐標轉(zhuǎn)化為與軸平行的線段長度，同時要注意坐標的符號，這也是求空間點的坐標的關(guān)鍵。（2）空間直角坐標系下，點與的中點為【變式與拓展】21 、如圖，長方體中，OA=6，OC=8，（1）寫出點的

6、坐標。（2）若點G 是線段的中點，求點G的坐標。解：（1）在軸上，且，即豎坐標是5，橫坐標和縱坐標都為0，所以點的坐標為（0，0，5）。點在平面上的射影是A，點A在軸上，且橫坐標為6，縱坐標為0，豎坐標和相同，所以點的坐標為（6，0，5），同理可得。（2）由于（0，0，5），B（6，8，0），則的中點G的坐標為（3，4，）22、如圖，直三棱柱中，M是的中點，Q是BC的中點，試建立空間直角坐標系，寫出B、C、M、Q的坐標。解：分別以AB、AC、A所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，（如圖），則B（2，0，0），C（0，2，0），M（0，2，1），Q（1，1，0）23、已知P（2，1，3），求

7、M關(guān)于原點對稱的點，M關(guān)于平面對稱的點，M分別關(guān)于軸、軸對稱的點。解：由于點M與關(guān)于原點對稱，即原點是點M與的中點，所以（-2，-1，-3）；點M與關(guān)于平面對稱，橫坐標與縱坐標不變，豎坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以（2，1，-3）；M與關(guān)于軸對稱，則的橫坐標不變，縱坐標和豎坐標變?yōu)镸的相反數(shù)，即（2，-1，-3），同理（-2，1，-3）。三、基礎(chǔ)練習1、點在空間直角坐標系中的位置是在（）軸上平面上平面上、平面上 解析：由于縱坐標為0，故在平面上2、點P( 1, 4, -3)與點Q(3 , -2 , 5)的中點坐標是（ ）A( 4, 2, 2) B(2, -1, 2) C(2, 1 , 1) D（4

8、, -1, 2)3、在空間直角坐標系中，點，過點作平面的垂線，則的坐標為（） 解析：由于垂足在平面上，故豎坐標為04、在空間直角坐標系中, 點P(2,3,4)與Q (2, 3,- 4)兩點的位置關(guān)系是（ ） A關(guān)于x軸對稱 B關(guān)于xOy平面對稱 C關(guān)于坐標原點對稱 D以上都不對 解析：由于橫坐標和縱坐標不變，豎坐標為相反數(shù)，故關(guān)于xOy平面對稱5、已知ABCD為平行四邊形，且A（4，1，3），B（2，5，1），C（3，7，5），則點D的坐標為 解析：根據(jù)中點公式，AC的中點為G（，4，-1），又BD的中點也是G，6、如圖，長方體中，于相交于點分別寫出，的坐標解：點C在軸上，且，故C，點在面的射

9、影為B，且豎坐標為3，故，點P在面的射影為矩形OABC的對角線的交點，橫坐標和縱坐標是矩形OABC的長和寬的一半，豎坐標和的一樣，故P。四、達標訓練1、在空間直角坐標系中, 點P(3,4,5)關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標為（ ）A(-3,4,5) B(-3,- 4,5) C(3,-4,-5) D(-3,4,-5)2、在空間直角坐標系中，已知點P（x，y，z），給出下列4條敘述：點P關(guān)于x軸的對稱點的坐標是（x，y，z）點P關(guān)于yOz平面的對稱點的坐標是（x，y，z）點P關(guān)于y軸的對稱點的坐標是（x，y，z）點P關(guān)于原點的對稱點的坐標是（x，y，z）其中正確的個數(shù)是（ ）A3B2C1D03、如右

10、圖，棱長為3a正方體OABC，點M在上，且2，以O(shè)為坐標原點，建立如圖空間直有坐標系，則點M的坐標為 4、若三棱錐P-ABC各頂點坐標分別為P（0，0，5），A（3，0，0）， B（0，4，0），C（0，0，0），則三棱錐的體積為 。5、如右圖，為一個正方體截下的一角PABC，建立如圖坐標系，求AB中點E的坐標 _ _ 6、已知一長方體的對稱中心在坐標原點O，交于同一頂點的三個面分別平行于三個坐標平面，頂點A（-2，-3，-1），求其他七個頂點的坐標。7、在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，且邊長為，棱PD底面ABCD，取各側(cè)棱的中點E，F(xiàn)，G，H，試建立空間直角坐標系，寫出點E，F(xiàn)，

11、G，H的坐標解: 由圖形知，DADC，DCDP，DPDA，故以D為原點，建立如圖空間坐標系Dxyz則因為E，F(xiàn)，G，H分別為側(cè)棱中點，由中點的坐標公式可知，8、四棱錐中，底面是邊長為4且的菱形，頂點V在底面的射影是對角線的交點O，VO=3，試建立空間直角坐標系，并確定各頂點的坐標。解：由于菱形的對角線互相垂直，且VO垂直于底面，則VO,AO,BO兩兩互相垂直，所以以分別以O(shè)A,OB,OV所在直線為軸建立空間直角坐標系（如圖）菱形ABCD中，AB=4，且，則OA=2,OB=，而A,B,C,D,V都在坐標軸上，且A（2，0，0），B，C(-2,0,0), D,V（0,0,3）232 空間兩點間的距

12、離一、教材知識解析1、空間兩點的距離公式：一般地，空間中任意兩點的距離為2、空間中點的軌跡常見的點的軌跡方程有：（1）方程表示以點為球心，為半徑的球。（2）方程在空間坐標系中表示旋轉(zhuǎn)軸為軸的圓柱面，且到軸的距離為。二、題型解析題型一、直接利用兩點間的距離公式解決有關(guān)問題。例1、求下列兩點間的距離：（1）A（1，1，0），B（1，1，1） （2）C（-3，1，5），D（0，-2，3）解：（1） （2）【技巧總結(jié)】：使用兩點間距離公式時，一定要注意公式中坐標的對應(yīng)，同時注意符號?！咀兪脚c拓展】11 已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4），試判斷的形狀。解： 因此是直角三角形

13、12 在空間直角坐標系中，解決下列各題：（1）在軸上求一點P，使它與點（4，1，2）的距離為；（2）在平面內(nèi)的直線上確定一點M，使它到點N（6，5，1）的距離最小，并求出最小值。解：（1）由于點P在軸上，所以設(shè)， 或 所以點P的坐標為（9，0，0）或（-1，0，0） （2）由已知可設(shè)，則 所以當時，此時點M（1，0，0）13 求到點A(1 , 0 ,1)與點B(3 , -2 , 1)距離相等的點P的坐標滿足的條件。解：設(shè)點P的坐標為(x ,y , z) , 則, 化簡得4x-4y-3=0即為所求.題型2、空間直角坐標系和兩點間距離公式的綜合應(yīng)用。例2、正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且

14、平面ABCD與平面ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=。當為何值時，MN的長度最短？解：平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，平面ABCD。AB、BC、BE兩兩互相垂直，所以以B為原點，以BA，BE，BC所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。則所以當時，|MN|最短為，此時，M、N恰好為AC，BF的中點?！炯记煽偨Y(jié)】：考慮到幾何圖形中出現(xiàn)了兩兩互相垂直的三條直線，所以可以以此建立空間直角坐標系，利用兩點間距離公式可以求得線段MN的長度，并利用二次函數(shù)的最值，求出MM的長度的最小值。體現(xiàn)了空間直角坐標系這一重要工具的應(yīng)用?！咀兪脚c拓展】四

15、棱錐S-ABCD的底面是矩形，AD=2，SA=1，且底面ABCD，若邊BC上存在異于B，C的P，使得是直角，求的值最大值。解：以A為原點，射線AB，AD，AS分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系，則A（0，0，0）、S（0，0，1）、D（0，2，0）。設(shè)是直角，即，當時，的最大值為1。三、基礎(chǔ)練習：1、若已知A（1，1，1），B（3，3，3），則線段AB的長為（ ）A4 B2C4D32設(shè)A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中點M，則（ ）ABCD 解析：AB中點的坐標為（2，3），利用兩點間距離公式可得。3、點B是點A（1，2，3）在坐標平面內(nèi)的射影，則OB等于（B ）

16、AB C D 點A在平面的射影為B（0，2，3），利用兩點距離公式可得。4、已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，1，0），D（2，1，1），則（ ）A> B< C D 解析：，5、已知點A的坐標是(1-t , 1-t , t), 點B的坐標是(2 , t, t), 則A與B兩點間距離的最小值為 解析：6、如圖，已知正方體的棱長為a，M為的中點，點N在上，且，試求MN的長解：以D為原點，建立如圖空間直角坐標系因為正方體棱長為a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）由于M為的中點，取中點O'，所以M（，），O'（，

17、a）因為，所以N為的四等分，從而N為的中點，故N（，a）根據(jù)空間兩點距離公式，可得四、達標訓練：1、已知與B（0，10，2）間的距離是17，則的值是（ ）A、6 B、 C、8 D、 解析：2、設(shè)A（3，6，9），B（-2，4，6），C（-7，2，-3），則A，B，C三點（ ）A、共線且點A在線段BC上 B、共線且B在線段AC上 C、共線且C在線段AB上 D、構(gòu)成三角形3、已知長方體的邊長為AB=3，AD=6，M在上，且，N為的中點，則點M、N間的距離為 （ ） A、3 解析：分別以AB、AD、所在的線段為軸的正半軸建立空間直角坐標系，則可得M（2，4，4），N（3，0，3），則4如圖，三棱錐A

18、BCD中，AB底面BCD，BCCD，且AB=BC=1，CD=2，點E為CD的中點，則AE的長為（ ） AB CD5、已知空間兩點A（-3，-1，1），B（-2，2，3），在OZ軸上有一點C，它與A、B兩點的距離相等，則C點的坐標是 6、點B是A（3，-1，-4）關(guān)于軸對稱的點，則線段AB的長是 解析：由題意知B（-3，-1，4），則根據(jù)兩點間的距離公式求得7、到兩定點A（2，3，0）、B（5，1，0）距離相等的點的坐標滿足的條件是 8、已知A(1,2,-1),B(2,0,2) (1)在軸上求一點P，使|PA|=|PB|; (2)在平面內(nèi)的點M到A點與到B點的距離相等，求點M的軌跡。解：（1）設(shè)，則由已知得 即所以點P的坐標為（1，0，0）（2）設(shè)，則整理得 即故點M的估計是平面內(nèi)的一條直線。9、在空間直角坐標系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，3），試問 （1）在y軸上是否存在點M，滿足？ （2）在y軸上是否存在點M，使MAB為等邊三角形？若存在，試求出點M坐標解：（1）假設(shè)在在y軸上存在點M，滿足因在y軸上，可設(shè)M（0，y，0），由，可得，顯然，此式對任意恒成立這就是說y軸上所有點都滿足關(guān)系（2）假設(shè)在y軸上存在點M，使MAB為等邊三角形由（1）可知，y軸上任一點都有，所以只要就可以使得MAB是等邊三角形因為于是，解得