選修11導數(shù)的應(yīng)用單調(diào)性與極值最值教案

1、適用學科高中數(shù)學適用年級高二適用區(qū)域蘇教版區(qū)域課時時長（分鐘）2課時知識點1.函數(shù)的單調(diào)性與極值; 2.函數(shù)中含參數(shù)的單調(diào)性與極值。教學目標1. 能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會用導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件3. 會用導數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值教學重點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)極值的概念與求法教學難點用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟；函數(shù)極值的求法【知識導圖】教學過程一、導入【教學建議】導入是一節(jié)課必備的一個環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學生的學習興趣，幫助學生盡快進入學習狀態(tài)。導入的方法很多，僅舉兩種方法： 情境導入，比如講一個和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象； 溫故知新，在知

2、識體系中，從學生已有知識入手，揭示本節(jié)知識與舊知識的關(guān)系，幫學生建立知識網(wǎng)絡(luò)。函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)一樣都是反映函數(shù)變化情況的，那么函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)是否有著某種內(nèi)在的聯(lián)系呢?二、知識講解考點1 導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1） 明確函數(shù)的定義域，并求函數(shù)的導函數(shù)；（2） 若導函數(shù)時，并求對應(yīng)的解集；（3） 列表，確定函數(shù)的單調(diào)性；（4） 下結(jié)論，寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞

3、減區(qū)間。注意：導函數(shù)看正負，原函數(shù)看增減?？键c2 極值用導數(shù)求函數(shù)極值的步驟:（1）明確函數(shù)的定義域，并求函數(shù)的導函數(shù)；（2） 求方程的根；（3） 檢驗在方程的根的左右的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值，這個根叫做函數(shù)的極大值點；如果在根的右側(cè)附近為正，左側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極小值，這個根叫做函數(shù)的極小值點。注意：函數(shù)的極值不一定是一個，有的題可能是多個，需要靈活掌握。考點3 最值函數(shù)的最大值和最小值（1）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且在內(nèi)可導，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進行：求在內(nèi)的極值；將在各極值點的極值與、比較，來確定函數(shù)的最大

4、值和最小值。（2） 若函數(shù)在上單調(diào)增加，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值。注意：有時極大（?。┲狄彩亲畲螅ㄐ。┲担袝r不一定，需要具體問題具體分析。三 、例題精析類型一 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例題1求曲線的單調(diào)遞增區(qū)間 ?！窘馕觥扛鶕?jù)題意 ， ,+0-0+單增極大值單減極小值單增所以，函數(shù)的單增區(qū)間為。【總結(jié)與反思】 本題就是單純的考查函數(shù)的單調(diào)性，按上面的方法求導來確定函數(shù)的遞增區(qū)間，屬于簡單題。 例題2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) ；(2) ；【解析】(1)f(x)的定義域是R，且f '(x)3x23，令f '(x)0，得x1

5、1，x21列表分析如下：x(，1)1(1，1)1(1，)(x)00f(x)所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是(1，1)，增區(qū)間是(，1)和(1，)(2)f(x)的定義域是(0，)，且，令f(x)0，得列表分析如下：x(x)0f(x)所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是，增區(qū)間是【總結(jié)與反思】 在利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性時，首先要知道f(x)的定義域；其次能夠正確求解出函數(shù)的導數(shù)；最后利用表格法找到函數(shù)的增減區(qū)間即單調(diào)性。類型二 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值例題1求曲線的極值 。【解析】根據(jù)題意，由解得，該函數(shù)在上單增，在上單減，當；，所以曲線的極大值為1；極小值為-3?！究偨Y(jié)與反思】本題考查函數(shù)的極值，完全按照求函數(shù)極

6、值的思路來解就可以，屬于簡單題。例題2求函數(shù)的極值【解析】yx24(x2)(x2)，令y0，解得x12，x22列表分析如下： x(，2)2(2，2)2(2，)y'00y極大值極小值所以當x2時，y有極大值；當x2時，y有極小值【總結(jié)與反思】 正確求解函數(shù)的導數(shù)，利用列表分析法清晰的寫出函數(shù)的單調(diào)性以及極值情況。要注意的是一個函數(shù)的極大值或極小值不一定只有一個。類型三 利用導數(shù)研究函數(shù)的最值例題1求曲線在上的值域 。【解析】根據(jù)題意，求導，解得,該函數(shù)在上單增，在上單減，由函數(shù)的單調(diào)性，當，2為函數(shù)的極大值；當，為函數(shù)的極小值；當，所以曲線在閉區(qū)間上的值域為?！究偨Y(jié)與反思】本題考查閉區(qū)間

7、上的值域問題，根據(jù)求函數(shù)最值的方法，可以求出結(jié)果，屬于容易題。例題2設(shè)，如果在處取得最小值，求的解析式?！窘馕觥?根據(jù)題意，求導可得，又，在處取極值，則，且處取最小值-5，則，?！究偨Y(jié)與反思】本題是通過函數(shù)極值來確定函數(shù)的解析式，解題中必須明確極值點，極值和已知函數(shù)的關(guān)系，屬于容易題。四 、課堂運用基礎(chǔ)1.已知函數(shù)當時，則函數(shù)的最小值為_2.函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的最大值是 3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案與解析1. 【答案】 【解析】定義域為，令列表如下：0在區(qū)間上單調(diào)減當時，函數(shù)單調(diào)減，函數(shù)的最小值為2. 【答案】【解析】，令列表：10函數(shù)的最大值為3. 【答案】

8、【解析】函數(shù)定義域為，故單調(diào)增區(qū)間是4. 【答案】 【解析】，令解得，則的單調(diào)增區(qū)間是.鞏固1若函數(shù)在是增函數(shù)，則的取值范圍是_2當函數(shù)取到極值時，實數(shù)的值為 3.已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是_ 答案與解析1. 【答案】 【解析】，因為在上為增函數(shù)，即當時，.即，則，令，而在上為減函數(shù)，所以，故.2. 【答案】1【解析】，令列表：1-0+函數(shù)有極小值為.3. 【答案】或 【解析】，由得函數(shù)的兩個極值點1,3，則只要這兩個極值點在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)在區(qū)間上就不單調(diào)，由或，解得或.拔高1.已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點處的切線與軸平行.（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間2設(shè)函數(shù)（為常

9、數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求的取值范圍答案與解析1. 【答案】見解析.【解析】（1）由而（2）令，當時,;當時,. 的單調(diào)增區(qū)間是;單調(diào)減區(qū)間是.2. 【答案】見解析.【解析】（1）=當時，令，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.（2）由（1）知， 時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，故在內(nèi)不存在極值點，時，令，則，所以 ，.,綜上，的取值范圍為.五 、課堂小結(jié)本節(jié)講了2個重要內(nèi)容：題型一 利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟是：確定f(x)的定義域(這一步必不可少，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集)；計算導數(shù)f(x)；求出方程f(x)0的根

10、；列表考察f(x)的符號，進而確定f(x)的單調(diào)區(qū)間(必要時要進行分類討論)題型二 求函數(shù)的極值求函數(shù)f(x)的極值的步驟是：計算導數(shù)f(x)；求出方程f(x)0的根；列表考察f(x)0的根左右值的符號：如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值六 、課后作業(yè)基礎(chǔ)1函數(shù)f(x)x33ax22bx在x1處取得極小值1，則ab_2函數(shù)f(x)x3ax2在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_.3若函數(shù)f(x)(a>0)在1，)上的最大值為，則a的值為_答案與解析1.【答案】 【解析】, ,2.【答案】a3【解析】f(x)x3ax2在1

11、，)上是增函數(shù)， f(x)3x2a0在1，)上恒成立即a3x2在1，)上恒成立,又在1，)上(3x2)max3,a3.3.【答案】 1【解析】 f(x)令f(x)0，解得x或x(舍去)當x>時，f(x)<0；當0<x<時，f(x)>0；當x時，f(x)，<1，不合題意f(x)maxf(1)，解得a1.鞏固1. 已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍_2.若函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是_3若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的范圍是_4已知f(x)ax5bx3c在x±1處的極大值為4，極小值為0，試確定a、b、c的值.答案與解析1. 【

12、答案】【解析】，且，由題意可知，關(guān)于的方程有兩個不相等的正根，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是2. 【答案】 【解析】當直線和相切時，僅有一個公共點， 這時切點是，直線方程是，將直線 向上平移，這時兩曲線必有兩個不同的交點 3. 【答案】 【解析】由，得，由得，的減區(qū)間是由得.4.【答案】見解析 【解析】f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由題意，f(x)0應(yīng)有根x±1，故5a3b，于是f(x)5ax2(x21) (1)當a0時，x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，) y000y極大值無極值極小值由表可知：又5a3b，解之得：a3，b5，c2.(2)當a0時，同理可得a3

13、，b5，c2.拔高1. 已知函數(shù)f（x）=4x3+ax2+bx+5的圖像在x=1處的切線方程為y=12x.（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求函數(shù)f（x）在3，1上的最值.2已知函數(shù)f(x)x3ax2bx(a，bR)的圖像過點P(1，2)，且在點P處的切線斜率為8(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.3 已知函數(shù)f(x)x33x29xa(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.答案與解析1 【答案】見解析 【解析】（1）（x）=12x2+2ax+b，（1）=12+2a+b=12.又x=1，y=12在f（x）的圖像上，4+a+b+5=12.由得a=3，b=18，f（x）=4x33x218x+5.（2）（x）=12x26x18=0，得x=1， ，f（1）=16，f（）=，f（3）=76，f（1）=13.f（x）的最大值為16，最小值為76.2.【答案】見解析 【解析】(1) (2) ，令，得，列表分析如下x(，3)3(3，)(，)y'00y極大值極小值3.【答案】見解析 【解析】(1)f(x)3x26x9令f(x)