兩個隨機變量函數(shù)的分布課件

1、概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回3.3 二維隨機變量函數(shù)的分布二維隨機變量函數(shù)的分布已知（已知（X，Y）的概率分布，求其函數(shù)）的概率分布，求其函數(shù)Z= g (X,Y)的概率分布的概率分布內(nèi)容：內(nèi)容：要點：要點：一、離散型一、離散型二、連續(xù)型（和的分布）二、連續(xù)型（和的分布）要求：要求：掌握基本方法掌握基本方法下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回一、離一、離 散散 型型例1 已知（X, Y ) 的聯(lián)合分布律-1, 0, 2, 3, 5, 且求 Z = X+Y的概率分布.解： Z = X + Y 的所有可能取值為：PZ= -1=PX+Y= -1=PX= -1，Y=0=1/10PZ= 0=PX+Y=0=PX

2、= -1，Y=1=1/20PZ= 2=PX+Y=2=PX= -1，Y=3+PX=2，Y=0= 3/20+3/10pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10Z -1 0 2 3 5 1/10 1/20 3/20 3/10 0 4/10-1 2 0 1 3XY問題：Z = XY 的的概率分布？下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回例 2.的分布律機變量，試求隨分布，令的與參數(shù)為相互獨立，且分別服從與設(shè)隨機變量ZYXZYXPoisson21，的取值都是與由隨機變量210YX，的取值也是可知隨機變量210YXZnZPnYXP0,nkPXk ynk解:所以下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回nkknYkXP

3、0，nkknkeknek02121! nkknYPkXP0nkknkknke021!121nkknkknknne021!21nkknkknCne021!21nne21!2121!,21ennZPn即分布的服從參數(shù)為分布的定義，知由PoissonPoisson21YXZ，210n下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回二、連二、連 續(xù)續(xù) 型型問題：已知已知(X,Y)的聯(lián)合密度的聯(lián)合密度f(x,y),求求Z=X+Y的概率密度的概率密度fZ(z).x+y=zyx根據(jù)分布函數(shù)定義有根據(jù)分布函數(shù)定義有DzdxdyyxfzYXPzZPzF),()(zyxdxyyxf),( dxdyyxfxz),(xzdydxyx

4、f),(對對z求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得Z的概率密度的概率密度fZ(z)為為 dxxzxfzfz),()(dyyyzfzfz),()(由對稱性可得由對稱性可得交換積分秩序下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回卷積公式：卷積公式：若若X, Y相互獨立，則相互獨立，則 f(x,y) =fX(x) fY(y)，代入上式，代入上式可得可得 例例3 3設(shè)設(shè)X和和Y是兩個互相獨立的隨機變量，且是兩個互相獨立的隨機變量，且XN(0,10,1), ,Y N(0 0，1 1)，求求Z = = X + +Y 的概率密度的概率密度. .解：解：由于由于X、Y互相獨立，由卷積公式互相獨立，由卷積公式dxxzfxfzfYXz)()()

5、(dxexzx2)(222212zxtdxeezxz22)2(421dteetz22421442222121zzeedxeexzx2)(2222121dxxzfxfzfYXz)()()(dyyfyzfzfYXz)()()(下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回 從而有，從而有，Z=X+YN（0，2）. 一般地一般地（1）若若X1 ，X2N ， 且且X1、X2相互獨立，則有相互獨立，則有 ),(211N),(222nininiiiiNX1112),(),(222121X1+X2N下頁 （2）如果）如果Xi(i=1,2,n)為為 n 個互相獨立的隨個互相獨立的隨機變量，且機變量，且 ，則，則),(2ii

6、iNX概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回例 4.的密度函數(shù)，試求隨機變量均勻分布，令上的，相互獨立，都服從區(qū)間與設(shè)隨機變量ZYXZYX10由題意，可知 其它,010 ,1xxfX 其它,010 ,1yyfY ，則有的密度函數(shù)為設(shè)隨機變量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ解:下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回, 20zz，或若 0zfZ，若10 z zZdxzf01z dxxzfxfzfYXZ10, 10 xzxxz0 xz1 xz0112 111zZdxzfz2，若21 z的密度函數(shù)為綜上所述，我們可得YXZ 其它,021 ,210 ,zzzzzfZ下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回的密度函數(shù)量，試

7、求隨機變的指數(shù)分布，令服從分布，上的均勻，服從區(qū)間相互獨立，與設(shè)隨機變量ZYXZYXYX110由題意，可知 其它,010 ,1xxfX 0,00,yyeyfyY ，則有的密度函數(shù)為設(shè)隨機變量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ例5.解:下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回，若0z 0zfZ，若10 z ,dxxzfxfzfYXZ0, 10 xzxxz0 xz011 zxzZdxezf0)(1ze1zxzdxee0，若1z 10)(dxezfxzZzzee110dxeexz 1,10 ,10,01zeezezzfzzzZ的密度函數(shù)為所以， Z下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回其它, 0 1 , 0,

8、2)(yyyfY解：用分布函數(shù)法例6.設(shè)X、Y相互獨立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函數(shù).其它, 0 1 , 0, 1)(xxfXzyxdxdyyxf),(現(xiàn)考慮現(xiàn)考慮f(x,y)0的區(qū)域與的區(qū)域與x+y z的取值，分四種情況計算的取值，分四種情況計算.當當z2時，時，F(xiàn)z(z)=1；下頁)(zYXPzFZ1xyxy011220 xy2xy當當0z1時，時，zxzZzydydxzF003; 3/2)(概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回其它, 0 1 , 0,2)(yyyfY解：用分布函數(shù)法例6.設(shè)X、Y相互獨立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函數(shù).其

9、它, 0 1 , 0, 1)(xxfXzyxdxdyyxf),(現(xiàn)考慮現(xiàn)考慮f(x,y)0的區(qū)域與的區(qū)域與x+y z的取值，分四種情況計算的取值，分四種情況計算.當當10的區(qū)域與的區(qū)域與x+y z的取值，分四種情況計算的取值，分四種情況計算.下頁)(zYXPzFZ概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回作業(yè)： 63頁 18,19補充題：補充題：設(shè)設(shè)X、Y相互獨立，相互獨立，fX(x)和和fY(y)如下，如下，用卷積公式求用卷積公式求Z=X+Y的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù).其它, 0 1 , 0,2)(yyyfY其它, 0 1 , 0, 1)(xxfX結(jié)束概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回,20zz，或若 0zf

10、Z，若10 z zZzdxxzzf02)(2 dxxzfxfzfYXZ10, 10 xzxxz0 xz1 xz0112 2112)(2zzdxxzzfzZ，若21 z的密度函數(shù)為綜上所述，我們可得YXZ下頁其它當當,021,210,)(22zzzzzzfz補充題：設(shè)X、Y相互獨立，fX(x)和fY(y)如下，用卷積公式求Z=X+Y的概率密度函數(shù).其它,01 ,0,2)(yyyfY其它,01 ,0, 1)(xxfX解:概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征何謂隨機變量的數(shù)字特征？何謂隨機變量的數(shù)字特征？ 通常是指與隨機變量有關(guān)的，雖然不能完整地刻劃隨機變量

11、，通常是指與隨機變量有關(guān)的，雖然不能完整地刻劃隨機變量，但卻能較為集中地反映隨機變量某些方面的重要特征的一些但卻能較為集中地反映隨機變量某些方面的重要特征的一些數(shù)值數(shù)值. .1. 數(shù)學期望的概念及性質(zhì)；數(shù)學期望的概念及性質(zhì)；2. 方差的概念及性質(zhì)；方差的概念及性質(zhì)；3. 常見分布的數(shù)字特征常見分布的數(shù)字特征;本章內(nèi)容：4. 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì).下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回一一 、離散型隨機變量的數(shù)學期望、離散型隨機變量的數(shù)學期望引例引例有甲、乙兩射手各射擊有甲、乙兩射手各射擊100次，他們的射擊技術(shù)用下表給出：次，他們的射擊技術(shù)用下表給出：甲射手射擊情

12、況 擊中環(huán)數(shù) 8 9 10 次 數(shù) 30 10 60 頻 率 0.3 0.1 0.6 乙射手射擊情況 擊中環(huán)數(shù) 8 9 10 次 數(shù) 20 50 30 頻 率 0.2 0.5 0.3 4.1 數(shù)學期望數(shù)學期望問題：問題：誰的射擊水平高？解：解：“射擊水平射擊水平”一般用一般用平均擊中環(huán)數(shù)平均擊中環(huán)數(shù)來反映來反映. 所以，只要對他們所以，只要對他們的平均擊中環(huán)數(shù)進行比較即可的平均擊中環(huán)數(shù)進行比較即可.下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回引例引例有甲、乙兩射手各射擊有甲、乙兩射手各射擊100次，他們的射擊技術(shù)用下表給出：次，他們的射擊技術(shù)用下表給出：甲射手射擊情況 擊中環(huán)數(shù) 8 9 10 次 數(shù) 30

13、 10 60 頻 率 0.3 0.1 0.6 乙射手射擊情況 擊中環(huán)數(shù) 8 9 10 次 數(shù) 20 50 30 頻 率 0.2 0.5 0.3 3 . 91006010109308甲X1 . 91003010509208乙X問題：問題：誰的射擊水平高？解：解：“射擊水平射擊水平”一般用一般用平均擊中環(huán)數(shù)平均擊中環(huán)數(shù)來反映。所以，只要對他來反映。所以，只要對他們的平均擊中環(huán)數(shù)進行比較即可們的平均擊中環(huán)數(shù)進行比較即可.顯然，甲射手的水平較高顯然，甲射手的水平較高.下面再對下面再對“平均擊中環(huán)數(shù)平均擊中環(huán)數(shù)”的計算過程稍作分析的計算過程稍作分析.下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回甲射手射擊情況 擊中環(huán)

14、數(shù) 8 9 10 次 數(shù) 30 10 60 頻 率 0.3 0.1 0.6 乙射手射擊情況 擊中環(huán)數(shù) 8 9 10 次 數(shù) 20 50 30 頻 率 0.2 0.5 0.3 3 . 91006010109308甲X1 . 91003010509208乙X3 . 96 . 0101 . 093 . 081006010100109100308甲X顯然，顯然，“平均擊中環(huán)數(shù)平均擊中環(huán)數(shù)”，是各種環(huán)數(shù)以頻率為權(quán)的加權(quán)平均，是各種環(huán)數(shù)以頻率為權(quán)的加權(quán)平均.下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回定義定義 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為的概率分布為PX = xk = pk ， k =1,2,31k

15、kkpx1kkkpx1)(kkkpxXE若級數(shù)若級數(shù)絕對收斂，絕對收斂，則稱級數(shù)則稱級數(shù)為為 X 的數(shù)學期望（或均值），的數(shù)學期望（或均值），記作記作E（X），），即即3 . 96 . 0101 . 093 . 081006010100109100308甲X“平均擊中環(huán)數(shù)平均擊中環(huán)數(shù)”，是各種環(huán)數(shù)以頻率為權(quán)的加權(quán)平均。，是各種環(huán)數(shù)以頻率為權(quán)的加權(quán)平均。下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回設(shè)離散型隨機變量 X 的分布律為： X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7例 1.若離散型隨機變量 X 的分布律為： X 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1此例說明了數(shù)學期望更完整地刻化了此例說明了數(shù)學期望

16、更完整地刻化了X的均值狀態(tài)的均值狀態(tài).下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回按規(guī)定，火車站每天 8:009:00, 9:0010:00 都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間相互獨立，其規(guī)律為： 到站時間 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6例 2.解：設(shè)旅客的候車時間為 X（以分記）(1) X 的分布律： X 10 30 50 P 1/6 3/6 2/6下頁E(X)=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分分)概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回 X 10 30 50 70 90 P 3/6 2/6 (1/

17、6)*(1/6) (3/6)*(1/6) (2/6)*(1/6) 到站時間 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6（2）旅客8：20分到達(須考慮其后的5班車)X的分布率為下頁E(X)=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36)+70*(3/36) +90*(2/36) =27.22(分分)概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回常見分布的期望常見分布的期望1) 0-1分布分布 概率分布為:X 1 0pk p 1-pE（X）= 1 p + 0 (1-p) = p 2) 二項分布二項分布 設(shè)隨機變量XB（n，p），其概率分布為:nknknkknk

18、knkknkqpknknkqpCkpkXE000)!( !)(nknkknkknkqpknknnpqpknkn111)!()!1()!1()!()!1(!101)!1()!()!1(njjnjqpjnjnnp1)(nqpnp.nppqnkqpCkXPknkkn1, 2, 1, 0,下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回常見分布的期望常見分布的期望3) 泊松分布泊松分布 設(shè)隨機變量XP()，其概率分布為10)!1(!)(kkkkekekkXE11)!1(kkke)!:(0 xkkekx注意0)!(jjjeeeekkXPk!，k = 0,1,2,3,0下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回例例3. 3. 如何

19、確定投資決策方向如何確定投資決策方向? ? 某人有某人有10萬元現(xiàn)金，想投資于某萬元現(xiàn)金，想投資于某項目，預(yù)估成功的機會為項目，預(yù)估成功的機會為 30%，可得，可得利潤利潤8萬元萬元 ， 失敗的機會為失敗的機會為70%，將，將損失損失 2 萬元若存入銀行，同期間的萬元若存入銀行，同期間的利率為利率為5% ，問是否作此項投資，問是否作此項投資?解解: :設(shè)設(shè) X 為投資利潤，則為投資利潤，則()2 0.78 0.31(),E X 萬元存入銀行的利息為存入銀行的利息為,),(5 . 0510萬元萬元 %故應(yīng)選擇投資故應(yīng)選擇投資.Xp82 3 . 07 . 0概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回二、連續(xù)型隨

20、機變量的數(shù)學期望定義定義 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為的概率密度為f(x)，如果積分，如果積分dxxxf)(dxxxfXE)()(絕對收斂，則稱積分值為絕對收斂，則稱積分值為X的數(shù)學期望（或均值）的數(shù)學期望（或均值）.記作記作E（X），即），即下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回例例4設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的概率密度為的概率密度為其它,011,11)(2xxxf求求X的數(shù)學期望的數(shù)學期望解：E(X)dxxxf)(dxxx11211= 0因為，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于因為，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于0.下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回4) 均勻分布均勻分布 設(shè)X Ua,b 概

21、率密度為：其它, 0,1)(bxaabxfbadxabxdxxxfXE1)()(2ba 常見分布的期望常見分布的期望00)()(xxxdedxxedxxxfXE1|000dxedxexexxx,0( )0 ,0 xexp xx)(xf5) 指數(shù)分布指數(shù)分布 設(shè)X E() 概率密度為：下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回222)(21)(xexf，（x+) 令 dxexXEx222)(21)(得, txdtedtetXEtt222221)(21)(6) 正態(tài)分布正態(tài)分布 設(shè)XN（,2）概率密度為常見分布的期望常見分布的期望下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回 三、三、 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望隨機變量函數(shù)

22、的數(shù)學期望1. 如果X為離散型隨機變量，其概率分布為 P X=xk = Pk, k =1,2,3,1)(kkkpxg絕對收斂， E（Y）= E g(X) = 1)(kkkpxg且級數(shù)則有下頁例例5. 已知已知X的概率分布為的概率分布為 X -1 0 1 2 5 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25令令Y=X2 ，求，求E(Y)。解：E(Y)=g(-1)*0.3+ g(0)*0.1+ g(1)*0.2+ g(2)*0.15+ g(5)*0.25 = 1*0.3+ 0*0.1+ 1*0.2+ 4*0.15+ 25*0.25 =7.351*0.31*0.2概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回 三、

23、三、 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望2. 如果X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 f(x)，且積分 dxxfxg)()(dxxfxgXgEYE)()()()(絕對收斂， 解：122)()(|)(00dxexdxexdxxfxYExx則有020,2)(xexexfxx例例6 6已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度，試求Y=|X|的數(shù)學期望。下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回3. 如果如果(X,Y)為離散型隨機向量為離散型隨機向量，其聯(lián)合概率分布為，其聯(lián)合概率分布為 P X=xi Y=yj = pij i , j =1,2,3,則Z=g (X,Y)的數(shù)學期望為ijjijipyxgYXgEZE)

24、,(),()(下頁例例7 7. 設(shè)二維離散型隨機向量設(shè)二維離散型隨機向量( (X, ,Y) )的概率分布如下表所示的概率分布如下表所示, ,求求: :Z= =X2 2+ +Y的期望的期望. .E( (Z) )=g(1,1)g(1,1) 0.125+g(1,2)0.125+g(1,2) 0.25+g(2,1)0.25+g(2,1) 0.5+g(2,2)0.5+g(2,2) 0.1250.125 = 2 2 0.125 + 0.125 + 3 3 0.25 + 0.25 + 5 5 0.5 + 0.5 + 6 6 0.125 =0.125 = 4.25解解: Y X 1 2 1 1/8 1/4 2

25、 1/2 1/8 概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回4.如果如果(X,Y)為連續(xù)型隨機向量為連續(xù)型隨機向量，其聯(lián)合概率密度為，其聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則，則Z=g (X,Y)的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(特別特別;),()( dxdyyxxfXE dxdyyxyfYE),()(下頁例8設(shè)二維隨機向量（X，Y）的概率密度為試求E(X)及E(XY).10)1(20526),()(xxydyxdxdxdyyxxfXE 10)1(201546),()(xxydyxydxdxdyyxxyfXYE其它, 0)1 (20 , 10,6),(xyxxyyxf解

26、解:y=2(1-x)0 xy12概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回 例例9.9. 設(shè)國際市場上每年對我國某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量設(shè)國際市場上每年對我國某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量X (單單位：位：t )是隨機變量，它服從是隨機變量，它服從1200，3000上的均勻分布若售上的均勻分布若售出這種農(nóng)產(chǎn)品出這種農(nóng)產(chǎn)品1t，可賺，可賺2萬元，但若銷售不出去，則每噸需付倉萬元，但若銷售不出去，則每噸需付倉庫保管費庫保管費1萬元，問每年應(yīng)準備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤萬元，問每年應(yīng)準備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤?()Yg X解解: : 設(shè)每年準備該種商品設(shè)每年準備該種商品a噸噸,年利潤為年利潤為Y (大寫字母大寫字母)

27、112003000( )18000 xf x，其它300012001( )( )d1800E Yg xx得到平均利潤為得到平均利潤為則利潤為則利潤為下頁aXXaXaXa),(2,2aXaXaXa,3,2d2d)3(1800130001200aaxaxax概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回()Yg X解:112003000( )18000 xf x，其它利潤為300012001( )( )d1800E Yg xx得到平均利潤為得到平均利潤為( )E Y當當a= 2400時，時， 取到最大值，故取到最大值，故每年準備此種商品每年準備此種商品2400 t，可使平均，可使平均利潤達到最大利潤達到最大 例例9

28、.9. 設(shè)國際市場上每年對我國某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量設(shè)國際市場上每年對我國某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量X (單單位：位：t )是隨機變量，它服從是隨機變量，它服從1200，3000上的均勻分布若售上的均勻分布若售出這種農(nóng)產(chǎn)品出這種農(nóng)產(chǎn)品1t，可賺，可賺2萬元，但若銷售不出去，則每噸需付倉萬元，但若銷售不出去，則每噸需付倉庫保管費庫保管費1萬元，問每年應(yīng)準備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤萬元，問每年應(yīng)準備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤?下頁aXaXaXa,3,2d2d)3(1800130001200aaxaxax)2160000720023(180012aa概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回四四 、 數(shù)學期望的性質(zhì)數(shù)學期望的性質(zhì)性質(zhì)1 E（C）= C (C為常數(shù))性質(zhì)2 E（