數(shù)列圓錐曲線課例

1、一、課例確定【課題名稱】圓錐曲線 【教學時間安排】 12 課時二、課例研發(fā)說明 【本課例的地位與作用】中職數(shù)學課程是中職教育中的一門重要課程，具有鮮明的職業(yè)特色，它 著眼于普通勞動者的素質(zhì)培養(yǎng)需求， 具有很強的基礎(chǔ)性和工具性。 而現(xiàn)代職業(yè)教 育強調(diào)“以能力為本位、以就業(yè)為導向”，因此，中職數(shù)學教育以基礎(chǔ)理論知識 適度輕理論重能力為指導思想， 培養(yǎng)學生解決實際問題的能力， 更好地為專業(yè)課 的學習服務。在實際生活和生產(chǎn)活動中，需要把數(shù)按一定次序排列起來的例子比比皆是， 為了反映這個實際需要，在數(shù)學上，數(shù)列的概念應運而生。本課例數(shù)列是五年制高職數(shù)學 （第一冊）要學習的。兩千多年前， 古希臘數(shù)學家最先

2、開始研究圓錐曲線，并且獲得了大量的成果。古希臘數(shù) 學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸 的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜 到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些 就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超 曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。事實上，阿波羅尼在其著作中使用純 幾何方法已經(jīng)取得了今天數(shù)學中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果。另外，本課例只包括橢圓、拋物線、雙曲線的新授知識，習題課和綜合應用 課在另一課題中?！緦W生知識能力基礎(chǔ)分析】本課例的使用對象是五年制高職一年級學生。 這些學生已學

3、習并掌握了函數(shù) 的知識， 同時通過了計算機的一級考試，掌握了相關(guān)的知識內(nèi)容， 有一定的觀察 問題、分析問題、解決問題的能力，同學間有一定的協(xié)助精神。 【課例實施條件分析】本課例實施最好能在多媒體教室開展教育活動， 同時能提供網(wǎng)絡(luò)教室， 便于 學生及時查詢相關(guān)知識， 對教師要求制作多媒體課件， 以便有豐富的視頻和聲頻 資料滿足學情的需要。三、教學目標的設(shè)計 【知識與技能】1、能夠正確理解圓錐曲線的定義，標準方程2、會根據(jù)條件求曲線的方程3、能夠正確理解圓錐曲線的方程及相關(guān)性質(zhì)4、會運用圓錐曲線內(nèi)容解決了一些實際問題 【過程與方法】1、通過創(chuàng)設(shè)多種情境讓學生感知圓錐曲線，體會用圓錐曲線這一特殊的內(nèi)

4、容描 述平面截圓錐的變化規(guī)律和基本思想。2、通過實例使同學們經(jīng)歷建立橢圓、拋物線和雙曲線的模型的過程，探索它們 的一些基本數(shù)量關(guān)系焦點、對稱軸、離心率和標準方程。3、會運用圓錐曲線解決一些實際問題。 【情感態(tài)度與價值觀】1、讓學生在數(shù)學實例中感受數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，認識數(shù)學的價值，培 養(yǎng)和提高中職校學生學習數(shù)學的興趣，提高其學業(yè)水平。2、在問題探究中培養(yǎng)團隊協(xié)作精神和實事求是的科學精神，提高數(shù)學的審美情 趣。四、教學任務描述【知識點】1、理解橢圓、拋物線、雙曲線的概念，2、能夠根據(jù)方程知道相關(guān)信息（焦點、對稱軸、離心率） ；3、能根據(jù)相關(guān)知識（焦點、對稱軸、離心率） ，來求解標準方程；4

5、、弄清各曲線間的內(nèi)在聯(lián)系并進一步培養(yǎng)學生的觀察、抽象概括能力；滲透函 數(shù)思想。形成知識網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學生由特殊到一般的歸納猜想能力。加強知識間的 鑒別與聯(lián)系?！灸芰c】1、培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力 2、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和實踐能力。3、培養(yǎng)學生觀察、歸納能力，應用數(shù)學公式的能力及滲透函數(shù)的思想。五、教學情境創(chuàng)設(shè)在多媒體教室、網(wǎng)絡(luò)教室進行教學。將學生分成若干個學習小組， 每個小組 由五至六名學生組成，學習小組的劃分兼顧各個層次（如學生的性格、學生平時 的數(shù)學成績以及課堂表現(xiàn)等） ，每個學習小組選定一名組長，負責本組學生自主 學習與合作學習的管理。六、教學過程實施本課例的教學實施分為

6、三個階段： “階段一：橢圓”、“階段二： 拋物線”、“階 段三：雙曲線”。具體實施過程如下：階段一：橢圓（一）、任務：任務：理解橢圓的定義任務：掌握橢圓的標準方程，理解橢圓標準方程的推導任務：會根據(jù)條件寫出橢圓的標準方程；能用標準方程判定是否是橢圓.（二）、任務實施：【任務實施】：理解橢圓的定義 提供日常生活實例，學生以小組為單位分組討論以及上網(wǎng)搜索獲得相應數(shù)據(jù)， 體會橢圓的有關(guān)概念 利用生活中的實例：公共標志、汽車貯油罐、茶幾圖片、人造衛(wèi)星的運行線路 提出問題：它們究竟是不是橢圓 ? 怎么判斷它是一個橢圓？ 復習回顧：如何判斷一個點的軌跡是圓的呢 ?總結(jié)： 1、定義 2 、方程 從而得出我們

7、怎么去研究橢圓的方程這一問題。橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點Fi、F2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點 的軌跡叫做橢圓，兩個定點 Fi、F2叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓 的焦距。學生實驗 請兩個同學上黑板演示畫橢圓的過程， 從而為下面研究橢圓方程 做一個鋪墊?！救蝿諏嵤浚赫莆諜E圓的標準方程，理解橢圓標準方程的推導標準方程的推導問題1:回憶圓的方程的步驟？(建系、設(shè)點、列式、化簡)問題2:本題中可以怎樣建立直角坐標系？設(shè)橢圓的兩個焦點分別為Fi、F2，它們之間的距離為2c,橢圓上任意一點到Fi、F2的距離的和為2a ( 2 a 2c ).讓學生根據(jù)所畫的橢圓，選取適當?shù)淖鴺讼?說明

8、：結(jié)合建立坐標系的一般原則一一使點的坐標、幾何量的表達式簡單化， 并且從“對稱美”、“簡潔美”的角度出發(fā)作一定的點撥；若學生選 取適當?shù)淖鴺讼刀家粯樱處煻喈嫀讉€坐標系，讓學生選，注意要有 中心在原點，焦點在y軸的坐標系；并提問：為什么選取這樣的坐標 系，依據(jù)是什么.方法1：如圖，焦點落在x軸上建系：以Fi、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy.設(shè)點：設(shè)點P (x，y)是橢圓上任意一點，且橢圓的焦點坐標為Fi -c 0、f2 c,0 .列式：依據(jù) 橢圓的 定義式PF-PF? =2a列方程，并 將其坐 標化為.(x C)2. (x -C)2 = 2a .目的：

9、教學生學會建立適當?shù)淖鴺讼担?構(gòu)造數(shù)與形的橋梁，學會用解析的方法來 解決問題，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。這是一個比較復雜的根式變形，化簡的關(guān)鍵在于將根式去掉，而去根式則要兩邊平方，那怎樣平方去根式會較簡單呢？化簡：通過移項、兩次平方后得到：a -J x = a a -c，為使方程簡單、對稱、和諧，引入字母 b,令b2二a2-c2，可得橢圓的標準方程為2 22 2 -1 a b 0 .a b先讓學生嘗試化簡，然后教師指出含有根式的化簡規(guī)則.總結(jié)含有根式的化簡步驟：(1) 方程中只有一個根式時，需將根式單獨留在方程的一邊，把其他項移到方程的另一邊，然后兩邊平方；(2) 方程中有兩個根式時，需將它們分

10、別放在方程的兩邊，并使其中一邊只有在不同坐標軸上的橢圓標準方程；令b2=a2-c2滲透數(shù)學對稱美，簡潔美教學.占八、根據(jù)所學知識讓同學們完成下表標準方程2 2訂心=1 (aAb0) a b2x b2-+ 爲=1 (ab a a0)不 同 占 八、圖 形1 Vpi:焦點坐標已(-c.O 卜 F2(c,0)F1(0,-c卜 F2(0,c)相 同 占 八、定義平面內(nèi)到兩個定點R、F2的距離的和等于常數(shù)(大于FH)的點的軌跡a、b、c的關(guān)系a2 =b2+c2焦點位置的判斷分母哪個大，焦點就在哪個軸上【任務實施】會根據(jù)條件寫出橢圓的標準方程；能用標準方程判定是否是橢圓1. 求適合下列條件的橢圓的標準方程

11、(1) a=4, b=3, 焦點在x軸上；(2) b=1, c= .15,焦點在y軸上2. 根據(jù)已知條件，求下列橢圓的焦點坐標2 2(1)乞丄=1(2) 16x2 7y2 =11294目的：通過本題的練習，使學生能加深橢圓的焦點位置與標準方程之間關(guān) 系的理解，同時會求焦點坐標、焦距等基本量(求前要將方程先化 成標準式)，教學時采用在教師引導下學生自主完成的方法。3 例題講解例1:已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4m,外輪廓線上的點到兩個焦點距離的和為3m，求這個橢圓的標準方程.解：以兩焦點只、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建 立如圖所示的

12、直角坐標系xOy,2 2則這個橢圓的標準方程可設(shè)為2 2=1 a b 0 a b根據(jù)題意知 2a =3， 2c =2.4，即 a =1.5， c =1.2，所以 b2 =a2 -c2 =1.52 -1.22 =0.81，2 2因此，這個橢圓的標準方程為 - y 1 .2.250.81目的：進一步熟悉橢圓的焦點位置與標準方程之間的關(guān)系；掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，解題時強調(diào)“二定”即定位定量；培養(yǎng)學生運用知識解決問題的能力。4 課堂練習求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1) 長半軸為3,短半軸為1,焦點在x軸上；(2) 動點到兩個焦點的距離和為8，半焦距為1，焦點在y軸上(3) 焦距為6

13、,離心率為0.6(三) 任務評價：【課堂小結(jié)】啟發(fā)引導學生進行歸納整理；利用幻燈片展示歸納結(jié)果；強調(diào)學生學 習數(shù)學過程中，需踏實、認真的學習態(tài)度.注意：橢圓的標準方程要注意焦點的位置與方程形式的關(guān)系；目的：使學生理清這節(jié)課的重難點，深化對基本概念，基本理論的理解，幫 助學生從感性認識升華到理性認識，同時培養(yǎng)學生宏觀掌握知識的能力；讓學生把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì)，使學生更深刻 地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應用， 并且逐漸培養(yǎng)學生的良好 的個性品質(zhì)目標。【學案及作業(yè)】【課堂及作業(yè)評價】：（見“教學設(shè)計評價”）階段二：拋物線（一）、任務：任務：掌握拋物線的方程及相關(guān)性質(zhì)任務：能根

14、據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對拋物線方程進行討論，在此基礎(chǔ)上列表、描點、畫拋物線圖形任務：能用相關(guān)性質(zhì)解決有關(guān)問題（二八任務實施【任務實施】：掌握拋物線的方程及相關(guān)性質(zhì)1 拋物線對學生來說是比較熟悉的，有了討論橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的基 礎(chǔ)，再討論拋物線的幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）不會遇到什么障 礙但要注意：拋物線的性質(zhì)和橢圓、雙曲線比較起來，差別較大，它的離心率 等于1,它只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線，它沒有中心，通 常稱拋物線為無心圓錐曲線，而稱橢圓和雙曲線為有心圓錐曲線.2. 在拋物線的標準方程y2 = 2px （p0）中，令x = p，則y= p.這就是 2說，通過焦點

15、而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標為（衛(wèi)，P）,（衛(wèi)，一 2 2P），連結(jié)這兩點的線段叫做拋物線的通徑，它的長是2p.利用拋物線的幾何性質(zhì)及拋物線上坐標為（，P），（衛(wèi)，一P）的兩點，能夠方便地畫出反映拋物2 2線基本特征的草圖.【任務實施】：能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對拋物線方程進行討論，在此基礎(chǔ)上 列表標準方程焦占八、八、對稱軸離心率橢圓拋物線【任務實施】：能用相關(guān)性質(zhì)解決有關(guān)問題例1.已知拋物線的頂點在原點且經(jīng)過點（5, 5）, x軸為對稱軸，求這拋物線的 方程，并畫出它的圖形.分析：首先由已知點坐標代入方程，求參數(shù)p.解：設(shè)拋物線方程為y2= 2px，因為它過點（5, 5）, 故 5

16、= 2pX 5， p=2所以拋物線方程為y = 5x .列表x01.252234y02.53.23.23.93.9描點，畫圖，（圖略）例2.探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈的圓的直徑60cm燈深為40cm,求拋物線的標準方程和焦點位置.分析：這是拋物線的實際應用題，設(shè)拋物線的標準方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點坐標，從而求出 p值.解：（見課本P99）例3.過拋物線y2= 2px的焦點F任作一條直線m交這拋物線于Pi、P2兩點，求 證：以P1P2為直徑的圓和這拋物線的準線相切.分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡 捷.證明：如圖2-15 .

17、設(shè)P1P2的中點為P。，過Pi、R、R 分別向準線I弓I垂線PiQ, RQ, P2Q,垂足為Q、Q、Q, 則| PiF | = | PiQ |,| F2F | = | P2Q II PiB | = | PiF | + | P2F |=| PiQ | + | P2Q | = 2 | PoQO | 所以PoQO是以PiP2為直徑的圓Po的半徑，且PoQ丄I，因而圓R和準線I相切.例題4 .直線y二kx -2與y =8x2交于A,B兩點，且AB中點坐標是2,則此直線的斜率是例題5 . y2 =2px(p 0)上三點的縱坐標的平方成等差數(shù)列，求證：這三點與焦 點的連線段長也成等差數(shù)列。(三)任務評價:

18、【課堂小結(jié)】 學生通過情境教學，激發(fā)了他們的學習興趣，通過對實際問題的 探究理解，強化對拋物線的掌握?！緦W案及作業(yè)】1 求滿足下列條件的拋物線的方程(1) 頂點在原點，焦點是(0, 4)(2) 頂點在原點，準線是x = 4(3) 焦點是F (0, 5)，準線是y二一5(4) 頂點在原點，焦點在x軸上，過點A ( 2, 4)2. 在同一坐標系中，畫出下列拋物線的草圖.(1) y2=2x(2) y2= x(3) y2 = 1 X(4) y2= 4x2比較這些圖形，說明拋物線開口大小與方程中x的系數(shù)是怎樣的關(guān)系.3. 一條隧道的頂部是拋物拱形，拱高是1.1m跨度是2.2m求拱形的拋物線方 程.4.

19、設(shè)拋物線y2二4x的焦點F,準線I交x軸于R,過拋物線上一點P (4, 4)作 PQLI于Q.求梯形PFRC的面積.1. (1) x2 = 16y(2) y2= 16x(3) x2=20y2(4) y = 8x2.3.4.(圖略)x的系數(shù)越大，拋物線張口越大2 11x2y1014講評:(1)要正確判斷拋物線的標準形式.(2)注意p0. (3)對于實際問題, 要合理選擇坐標系.(三)、課外作業(yè)1 .書本P179 課內(nèi)練習2 第2題、第3題、第3題。2. 書本P183 課內(nèi)練習3 第1題、第2題?！菊n堂及作業(yè)評價】：（見“教學設(shè)計評價”）階段三：雙曲線（一）、任務：任務：掌握雙曲線定義、圖像及性質(zhì)

20、任務：能根據(jù)所給條件求雙曲線的方程（二八任務實施【任務實施】：掌握雙曲線定義、圖像及性質(zhì)1 .雙曲線的定義：平面上到兩定點F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（記作2a0,b0,且 c2 =a2 b2）a b若雙曲線的焦點在 y軸上，坐標分別是F1 0,-c和F2 0,c的雙曲線的標準方程2 2為： -務=1=1（其中 a0,b0,且 c2 二 a2 b2 ）a b3. 雙曲線的性質(zhì)：（1）范圍：在兩條直線x=a, x= -a的外側(cè),一支在直線x=a的右邊,一支在直線x= -a的左 邊； 對稱性：圖象關(guān)于X軸、丫軸和坐標原點對稱；頂點：焦點在x軸上的雙曲線的頂點為 A -a,0、A2 a,0，而線段

21、AA叫做 雙曲線的實軸長，它的長為 2a，a叫做雙曲線的實半軸長；在 y軸上連結(jié) B 0,-b、B2 0,b的線段B1B2叫做雙曲線的虛軸長，它的長為 2b，b叫做雙曲線 的虛半軸長。(4)漸近線：直線y=_bx叫做雙曲線的漸近線方程。a離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比 e二 1；a(6)光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線或聲波經(jīng)過雙曲線的反射后，就 好象從另一個焦點上發(fā)射出來的一樣。4 等軸雙曲線：實軸和虛軸等長的雙曲線2 2等軸雙曲線的方程：篤-當=1a a此時的漸近線方程為y=x，離心率e = 2?！救蝿諏嵤浚耗芨鶕?jù)所給條件求雙曲線的方程例1 已知雙曲線的焦點是Fi(-6,0),F

22、2(6,0)，雙曲線上的一動點到兩焦點的距離 之差的絕對值是6,求雙曲線的標準方程。解：由條件可知，焦點在X軸上，且 c=6，2a=6, a=3所以 b = c2 a2 =33所以所求的雙曲線的標準方程為2 2乞丄=1927例2求雙曲線9x2 -16y2 =144的實半軸和虛半軸的長、焦距、頂點坐標、焦點 坐標、離心率和漸近線方程。解：原雙曲線的方程可化為：16所以 a=4，b=3，所以 c = - a2 b2 =5所以實半軸長2a=8和虛半軸長2b=6,焦距2c=10,頂點坐標(4,0 )、(-4,0 ) 焦點坐標(5,0 )、(-5，0)離心率e=c =-a 4漸近線方程為y= _ 3 x

23、4例3 .求雙曲線4y2 5x? = 20的實軸長和虛軸長、焦點坐標、頂點坐標、離心 率和漸近線方程。例4.求中心為原點，一條漸近線為x2y=0，個焦點為( .20,0)的雙曲線 的標準方程，并作出它的草圖。練習1.求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1) 焦點是 ,.20,0) , b=2;(2) a=4 , 2c=10,焦點在y軸上。練習2.求下列雙曲線的實軸和虛軸的長、頂點和焦點坐標、離心率和漸近線方程，并畫出其草圖： x2 -8y2 =32;(2)9y2-x2=81; x2 一 y2 = 一4;練習3.求適合下列條件的雙曲線的標準方程： 焦距為14,實軸長為12,焦點在x軸上； 實軸長為12,虛軸長為16。(三)任務評價：【課堂小結(jié)】 學生通過情境教學，激發(fā)了他們的學習興趣，通過對實際問題的 探究理解了雙曲線的概念及方程，并能用公式解決一些相關(guān)