數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽新方法九年級-第21講圓與圓

1、第20講 圓與圓知識縱橫圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情形，判定兩圓的位置關(guān)系有如下二種方法：1. 通過兩圓交點(diǎn)的個數(shù)確定；2. 通過兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定。為了溝通兩圓，常常添加與兩圓都有聯(lián)系的一些線段，如公共弦、公切線、連心線，以及兩圓公共部分相關(guān)的角和線段，這是解圓與圓位置關(guān)系問題的常用輔助線。例題求解【例1】如圖，相距的兩點(diǎn)、在直線上，它們分別以的速度在上同時向右平移，當(dāng)點(diǎn)、分別平移到點(diǎn)、的位置時，半徑為的與半徑為的相切，則點(diǎn)平移到點(diǎn)所用的時間為_.（2011年嵊州市中考題）思路點(diǎn)撥 兩個動圓，移動圓心，的半徑大小改變，兩動圓內(nèi)切或外切，故應(yīng)全面討論?！纠?/p>

2、2】如圖，圓心為、的三圓彼此相切，且均與直線相切。若的半徑分別為，則一定滿足的關(guān)系式為（ ）。（天津市競賽題） 思路點(diǎn)撥 從兩圓相切位置關(guān)系入手，分別探討兩圓半徑和分切線的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作圓的基本輔助線?！纠?】如圖，在矩形中，點(diǎn)從開始沿折線一以的速度移動，點(diǎn)從開始沿邊以的速度移動。如果點(diǎn)、分別從、同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為。（1） 為何值時，四邊形為矩形？（2） 如圖，的半徑都是，那么為何值時，相外切？（南京市中考題）思路點(diǎn)撥 對于（1），把相關(guān)線段用的式子表示，利用圖形性質(zhì)建立方程；對于（2），解題的關(guān)鍵是分情況討論。【例4】已知與相交于，且的半徑為

3、，的半徑為（1） 過點(diǎn)作分別交和于兩點(diǎn)，連接，如圖，試求的值；（2） 過點(diǎn)任畫一條直線分別交與于，連接和，如圖，試求的值。（巴中市中考題）思路點(diǎn)撥 對于（2），應(yīng)與兩圓半徑相關(guān)，需構(gòu)造相似三角形，利用圖或構(gòu)造直徑或聯(lián)想相交兩圓的性質(zhì)?！纠?】如圖，是半徑為1的單位圓的四分之一，半圓在上并與弧內(nèi)切于點(diǎn)，半圓的圓心在上，并與弧內(nèi)切于，半圓與半圓相切，設(shè)兩半圓的半徑之和為，面積之和為。（1） 試建立以為自變量的函數(shù)的解析式；（2） 求函數(shù)的最小值。（太原市競賽題）分析 設(shè)兩圓、半徑分別為、，對于（1），通過變性把用的代數(shù)式表示，作出輔助線；對于（2），因，故是在約束條件下求的最小值，解題的關(guān)鍵是求出

4、的取值范圍?；睘楹啞纠?】如圖，圓、的半徑都為1，且相互外切。圓的半徑都為,且圓與圓、都分別外切，圓與圓都分別外切，圓與圓都分別外切，求的值。（2011年青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽試題）分析與解 連接圓心、連接切點(diǎn)與圓心，關(guān)注由此生成的三角形。如圖，連接，設(shè)、相切于，則，即，解得（負(fù)值已舍去）。學(xué)力訓(xùn)練基礎(chǔ)夯實(shí)1、 的半徑為,點(diǎn)是外一點(diǎn)，則以為圓心且與相切的圓的半徑是 （長春市中考題）2、 如圖，兩圓輪疊靠在墻邊，已知兩輪半徑分別為和，則它們與墻的切點(diǎn)、間的距離為 。（紹興市中考題）3、 如圖，大圓的半徑是小圓的直徑，且有垂直于圓的直徑，的切線交的延長線于點(diǎn)，切點(diǎn)為，已知的半徑為，則 ； 。（

5、杭州市中考題）4、 如圖，為四個等圓的圓心，為切點(diǎn)，請你在圖中畫出一條線，將這四個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點(diǎn)是 ；如圖，為五個等圓的圓心，A，B，C，D，E為切點(diǎn)，請你在圖中畫出一條直線，將這五個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點(diǎn)是 （天津市中考題）第4題 第5題5、 如圖，施工工地的水平面上，有三根外徑都是的水泥管兩兩摞在一起，則其最高點(diǎn)到地面的距離是 6、 如圖，、外切于點(diǎn)，半徑分別為、，為延長線上一點(diǎn)，作直線分別于、相切于、兩點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）。 (武漢市高考題)7、 如圖，正方形中，是邊上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的半圓與以為圓心、為半徑的圓弧外切

6、，則的值為（ ） (湖州市中考題)8、 兩圓的半徑分式和，圓心距為，若關(guān)于的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）A. 一定內(nèi)切 B.一定外切 C.相交 D.內(nèi)切或外切9、 如圖，與相交于、兩點(diǎn)，經(jīng)過圓心，點(diǎn)是的優(yōu)弧上任意一點(diǎn)，（不與、點(diǎn)重合），連接、。（1）指出圖中與相等的一個角； (2)當(dāng)點(diǎn)在上什么位置時，直線與相切？請說明理由；（南寧市中考題）10、 已知A為上一點(diǎn)，B為與OA的交點(diǎn)，與的半徑分別為r、R，且。（1） 如圖，過點(diǎn)作的切線與交于M、N兩點(diǎn)。求證：；（2） 如圖，若與的交點(diǎn)為、，C是弧上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線與交于、兩點(diǎn)，試問是否成立，并說明你的結(jié)論。（天津市中考題

7、）11、 如圖，點(diǎn)、在直線上，、的半徑均為。以每秒的速度自左向右運(yùn)動，的半徑也不斷增大，且半徑與時間t之間的關(guān)系為。（1） 試寫出A、B之間的距離與時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2） 問點(diǎn)A出發(fā)后多少秒兩圓相切？（威海市中考題）能力拓展12、 已知半徑分別為1和2的兩圓外切于點(diǎn)，則點(diǎn)到兩圓外公切線的距離為 。（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）13、 如圖，扇形OAB，與OA、OB分別相切于點(diǎn)E、F，并且與弧AB切于點(diǎn)，則扇形的面積與的面積之比是 。（蘭州市中考題）14、如圖，五個圓順次相外切，且又都與直線、相切，如果其中最小圓與最大圓的直徑分別為18和32，那么的直徑為 。（天津市中考題）15、 如圖

8、，的半徑為1，正方形的邊長為6，點(diǎn)為正方形的中心，垂直AB于P點(diǎn)，若將繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，與正方形的邊只有一個公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)（ ）。A.3次 B.5次 C.6次 D.7次（2011年寧波市中考題）16、 如圖，已知三個半圓依次相外切，它們的圓心都在軸的正半軸上并與直線相切，設(shè)半圓、半圓、半圓的半徑分別是、，則當(dāng)（ ）。A.6 B.7 C.8 D.9 （2011年南通市中考題）17、 已知、相交于、，公共弦與連心線交于點(diǎn)。若AB=48，、的半徑分別為30、40，那么的面積是（ ）。A.600 B.300或168 C.168 D.600或168（廣東省競賽題）18、 如圖，、分別以、為圓心的半圓的直徑，圓內(nèi)切于半圓及外切于半圓。若，求圓的面積。（第19屆香港中學(xué)競賽題）19、 在中，分別以AB、BC為直徑作、，交于另一點(diǎn)D。（1） 證明：交點(diǎn)必在上；（2） 如圖，當(dāng)與半徑之比為4:3時，且與相切時，判斷的形狀，并求的值；（3） 如圖，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn),的延長線交于，且，求的度數(shù)。（黃石市中考題）20、 如圖，點(diǎn)H為的垂心，以為直徑的與的外接圓相交于點(diǎn)P。求證：為的中點(diǎn)。（2011年“數(shù)學(xué)周報杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽題）綜