二次根式知識點例題分析難題拓展測試

1、二次根式的知識點匯總知識點一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0） 分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0知識點二：取值范圍1、 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2、 二次根式無意義的條件：因負數(shù)沒有算

2、術(shù)平方根，所以當a0時，沒有意義。 例2當x是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？例3當x是多少時，+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？知識點三：二次根式（）的非負性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負數(shù)，即0（）。注：因為二次根式（）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。例4(1)已知y=+5，求的值(2)若+=0，求a2004+b2004的值知識點四：二次根式（）的性質(zhì)

3、1（） 文字語言敘述為：一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，. 例1 計算 1（）2 2（3）2 3（）2 4（）2例2在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3知識點五：二次根式的性質(zhì)2文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡時，先將

4、它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。 例1 化簡 （1） （2） （3） （4）例2 填空：當a0時，=_；當aa，則a是什么數(shù)？例3當x2，化簡-知識點六：與的異同點1、不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負實數(shù)。但與都是非負數(shù)，即，。因而它的運算的結(jié)果是有差別的，而2、相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時，=；時，無意義，而.知識點七：二次根式的乘除1、 乘法（a0，b0） 反過來：=（a0，b0）2、除法=（a0，b0） 反過來，=（a0，b0） （思考：b的取值與a相同嗎？為什么？不相同，因為

5、b在分母，所以不能為0） 例1計算 （1）4 （2） （3） （4） 例2 化簡（1） （2） （3） （4） 例3判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正： （1） （2）=4=4=4=8 例4計算：（1） （2） （3） （4） 例5化簡： （1） （2） （3） （4）例6已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值3、最簡二次根式應(yīng)滿足的條件：（1）被開方數(shù)不含分母或分母中不含二次根式；（2）被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式（熟記20以內(nèi)數(shù)的平方；因數(shù)或因式間是乘積的關(guān)系，當被開方數(shù)是整式時要先判斷是否能夠分解因式，然后再觀察各個因式的指數(shù)是否是2（或2的倍數(shù)），若是則說明含有能開方的因式，則

6、不滿足條件，就不是最簡二次根式）例1把下列二次根式化為最簡二次根式(1) ; (2) ; (3) 4、化簡最簡二次根式的方法：(1) 把被開方數(shù)(或根號下的代數(shù)式)化成積的形式，即分解因式；(2) 化去根號內(nèi)的分母（或分母中的根號），即分母有理化；(3) 將根號內(nèi)能開得盡方的因數(shù)(或因式)開出來（此步需要特別注意的是：開到根號外的時候要帶絕對值，注意符號問題）5.有理化因式：一般常見的互為有理化因式有如下幾類： 與； 與；與； 與 說明：利用有理化因式的特點可以將分母有理化13、同類二次根式：被開方數(shù)相同的（最簡）二次根式叫同類二次根式。 判斷是否是同類二次根式時務(wù)必將各個根式都化為最簡二次根

7、式。如與知識點八：二次根式的加減1、二次根式的加減法：先把各個二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。 例1計算（1）+ （2）+ 例2計算（1）3-9+3 （2）（+）+（-）例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值2、二次根式的混合運算：先計算括號內(nèi)，再乘方（開方），再乘除，再加減3、二次根式的比較：（1）若，則有；（2）若，則有 （3）將兩個根式都平方，比較平方后的大小，對應(yīng)平方前的大小例4比較3與4的大小 【典型例題】1、 概念與性質(zhì) 例1、

8、下列各式1），其中是二次根式的是_（填序號）例2、求下列二次根式中字母的取值范圍（1）；（2）例3、 在根式1) ，最簡二次根式是（ ）A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)例4、已知：例5、已知數(shù)a，b，若=ba，則 ( )A. ab B. ab0，a+b=6，則的值為（ ）A B2 C D 例4、甲、乙兩個同學(xué)化簡 時，分別作了如下變形： 甲：=； 乙：=。 其中（ ）A. 甲、乙都正確 B. 甲、乙都不正確 C. 只有甲正確D. 只有乙正確課堂練習(xí)：1. 使式子有意義的條件是 。2. 當時，有意義。3. 若有意義，則的取值范圍是 。4. 當時，是二次根式。5. 在實數(shù)范圍

9、內(nèi)分解因式：。6. 若，則的取值范圍是 。7. 已知，則的取值范圍是 。8. 化簡：的結(jié)果是 。9. 當時，。10. 把的根號外的因式移到根號內(nèi)等于 。11. 使等式成立的條件是 。12. 若與互為相反數(shù)，則。13. 在式子中，二次根式有（ ）A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 15. 若，則等于（ ）A. B. C. D. 16. 若，則（ ）A. B. C. D. 17. 若，則化簡后為（ ）A. B. C. D. 18. 能使等式成立的的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 19. 計算：的值是（ ）A. 0 B

10、. C. D. 或21. 若，求的值。22. 當取什么值時，代數(shù)式取值最小，并求出這個最小值。24. 已知，求的值。25. 已知為實數(shù)，且，求的值。26. 化簡： 二次根式的乘除1. 當，時，。2. 若和都是最簡二次根式，則。3. 計算：。4. 計算：。5. 長方形的寬為，面積為，則長方形的長約為 （精確到0.01）。6. 下列各式不是最簡二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，化簡二次根式的正確結(jié)果為（ ） A. B. C. D. 8. 對于所有實數(shù)，下列等式總能成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 和的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 不能確定10. 對于二

11、次根式，以下說法中不正確的是（ ）A. 它是一個非負數(shù) B. 它是一個無理數(shù)C. 它是最簡二次根式 D. 它的最小值為311. 計算： 21.3 二次根式的加減1. 下列根式中，與是同類二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面說法正確的是（ ） A. 被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式 B. 與是同類二次根式 C. 與不是同類二次根式 D. 同類二次根式是根指數(shù)為2的根式3. 與不是同類二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，是最簡二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，則化簡的結(jié)果是（ ） A. B. C. 3 D. -36. 若，則的

12、值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（ ） A. B. C. 1 D. 38. 下列式子中正確的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，與是同類二次根式的是 。10.若最簡二次根式與是同類二次根式，則。11. 一個三角形的三邊長分別為，則它的周長是 cm。12. 若最簡二次根式與是同類二次根式，則。13. 已知，則。14. 已知，則。15. 。16. 計算：. . . . 17. 計算及化簡：. . . . 18. 已知：，求的值。19. 已知：，求的值。20. 已知的值。一、選擇題（每題2分，共20分）1. 下列各式中一定是二次根式的

13、是（ ） A. B. C. D. 2. 如果是二次根式，那么應(yīng)滿足的條件是（ ） A. B. C. D. 3. 當x=3時，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義的是（ ） A. B. C. D. 4. 化簡二次根式得（ ） A. B. C. 18 D. 65. 等式成立的條件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式計算正確的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，則等于（ ） A. B. C. D. 8. 化簡等于（ ） A. B. C. D. 9. 等式成立的條件是（ ） A. B. C. D. 且10. 當時，化簡的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 二、填空題（每題3分，共24分）11.

14、如果是二次根式，則的取值范圍是 。12. 若，則代數(shù)式= 。13. 化簡= ，= ，= 。14. 計算= 。15. 已知，則 。16. 若與是同類二次根式，則= 。17. 成立的條件是 。18. 若，則= 。三、解答題(共56分)19. 分別指出取哪些實數(shù)時，式子有意義。（每小題3分，共6分）（1）； （2）；20. 計算（每小題4分，共16分）（1）； （2）（3） （4）21. 已知，計算的值。（5分）22. 已知實數(shù)滿足，求的值。（5分）23. 若，求代數(shù)式的值。（6分）24. 已知求的值。（6分）25. 已知，求的值。（6分）綜合、運用、診斷一、填空題11表示二次根式的條件是_12使有

15、意義的x的取值范圍是_13已知，則xy的平方根為_14當x=2時，_二、選擇題15下列各式中，x的取值范圍是x2的是( )ABCD16若，則xy的值是( )A7B5C3D7三、解答題17計算下列各式：(1)(2)(3)(4)18當a=2，b=1，c=1時，求代數(shù)式的值拓廣、探究、思考19已知數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡：的結(jié)果是：_20已知ABC的三邊長a，b，c均為整數(shù)，且a和b滿足試求ABC的c邊的長綜合、運用、診斷一、填空題9定義運算“”的運算法則為：則(26)6=_10已知矩形的長為，寬為，則面積為_cm211比較大?。?1)_；(2)_；(3)_二、選擇題12若成立，則a

16、，b滿足的條件是( )Aa0且b0Ba0且b0Ca0且b0Da，b異號13把根號外的因式移進根號內(nèi)，結(jié)果等于( )ABCD三、解答題14計算：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_15若(xy2)2與互為相反數(shù)，求(xy)x的值拓廣、探究、思考16化簡：(1)_；(2)_綜合、運用、診斷一、填空題7化簡二次根式：(1)_(2)_(3)_8計算下列各式，使得結(jié)果的分母中不含有二次根式：(1)_(2)_(3)_(4)_9已知則_；_(結(jié)果精確到0001)二、選擇題10已知，則a與b的關(guān)系為( )Aa=bBab=1Ca=bDab=111下列各式中，最簡二次根式是( )ABCD三、解答題12計算：(1

17、)(2)(3)13當時，求和xy2x2y的值拓廣、探究、思考14觀察規(guī)律：并求值(1)_；(2)_；(3)_15試探究與a之間的關(guān)系綜合、運用、診斷一、填空題12已知二次根式與是同類二次根式，(ab)a的值是_13與無法合并，這種說法是_的(填“正確”或“錯誤”)二、選擇題14在下列二次根式中，與是同類二次根式的是( )ABCD三、計算題15161718四、解答題19化簡求值：，其中，20當時，求代數(shù)式x24x2的值拓廣、探究、思考21探究下面的問題：(1)判斷下列各式是否成立?你認為成立的，在括號內(nèi)畫“”，否則畫“”（ ）（ ）（ ）（ ）(2)你判斷完以上各題后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請用含有n的式子將規(guī)律表示出來，并寫出n的取值范圍(3)請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明你在(2)題中所寫式子的正確性綜合、運用、診斷一、填空題13(1)規(guī)定運算：