湖北黃岡中學(xué)高三數(shù)學(xué)《等差、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用》

1、等差、等等差、等 比數(shù)列比數(shù)列的綜合運(yùn)用的綜合運(yùn)用 湖北黃岡中學(xué)湖北黃岡中學(xué)第一課時(shí)：第一課時(shí)：等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列第一課時(shí)：第一課時(shí)：等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列 課前導(dǎo)引課前導(dǎo)引 第一課時(shí)：第一課時(shí)：等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列._,3432*, . 1 483759 bbabbannTSNnTSnbannnnnn則則都有：都有：對(duì)任意的對(duì)任意的、項(xiàng)和分別為項(xiàng)和分別為的前的前、若兩個(gè)等差數(shù)列若兩個(gè)等差數(shù)列 課前導(dǎo)引課前導(dǎo)引 解析解析 .4119112112222 1111111111666396369483759 TSbbaababaabababbabba

2、解析解析 .4119112112222 1111111111666396369483759 TSbbaababaabababbabba 答案答案 4119., 12 . 2 nnnnnnaanaSSna的的通通項(xiàng)項(xiàng)求求數(shù)數(shù)列列滿滿足足項(xiàng)項(xiàng)和和的的前前已已知知數(shù)數(shù)列列 解解 242 , 422, 22:, 1)1(2, 12 11111 nnnnnnnnnnaaaaaanaSnaS即即得得兩式相減兩式相減., 12 . 2 nnnnnnaanaSSna的的通通項(xiàng)項(xiàng)求求數(shù)數(shù)列列滿滿足足項(xiàng)項(xiàng)和和的的前前已已知知數(shù)數(shù)列列 .)21(2,)21()21(212,21,212 .212,23, 3,212

3、2111111nnnnnnnnaaaaaaSaa 從從而而為為公公比比的的等等比比數(shù)數(shù)列列為為首首項(xiàng)項(xiàng)以以是是即即：數(shù)數(shù)列列故故而而 鏈接高考鏈接高考 鏈接高考鏈接高考 . )2( )1( ).1 (211 ).1(0521681 4321111nnnnnnnnnnnSnbabbbbbnabnaaaaaa項(xiàng)和項(xiàng)和的前的前的通項(xiàng)公式及數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求數(shù)列求數(shù)列的值；的值；、求求記記且且滿足滿足數(shù)列數(shù)列 例例11.320,2013; 421431,43;3821871,87; 22111, 1 (1) 44332211 babababa故故故故故故故故 解析解析 ).1(81625 ),2(

4、 2.2,3234:)34()34)(34( ,)34()34(,)34(3832)34)(34( (2) 12231222231 naaaaaqbbbbbbbnnnnnn故故導(dǎo)致矛盾導(dǎo)致矛盾代入遞推公式會(huì)代入遞推公式會(huì)否則將否則將等比數(shù)列等比數(shù)列的的公比公比是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為故猜想故猜想034 ,34 36162038212)34(2,3616203436816 34211341111 bbaaabaaaaabnnnnnnnnnnn., 121:211),1(34231,23134,3234.23422111nnnnnnnnnnnnnbababaSbbaabnbbbqb 故故得得由由故故的的等

5、等比比數(shù)數(shù)列列確確是是公公比比為為故故).152(313521)21(31)(2121 nnnbbbnnn.320, 4,38, 21,342, 0364, 052168,211:211 (1) 4321111111 bbbbabbbbbbaaaabaabnnnnnnnnnnnnnn有有由由即即整理得整理得代入遞推關(guān)系代入遞推關(guān)系得得由由 法二法二 ).1(34231,23134,2,3234, 03234),34(234,342 (2)111 nbbqbbbbbbnnnnnnnnn即即故故的等比數(shù)列的等比數(shù)列公比公比是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為由由).152(313521)21(31)(21, 1212

6、11212211 nnnbbbbababaSbbaabnnnnnnnnnnn故故得得由由. (1)同解法一同解法一 法三法三 ).1(81625, 2,231,2,32,)34(3832,38,34,32 (2)1112342312 naaaabbqbbbbbbbbnnnnnnnnn故故又又的等比數(shù)列的等比數(shù)列公比公比是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為猜想猜想;3681036636816 12221816251 21121111 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabb因此因此).(23616203681636243636816368162112111111212nnnnnnnnnnnnnnnnbbaa

7、aaaaaaaaaabb ).1(342312)22(312)222(31)()()(,231,2 , 0321211122111112 nbbbbbbbbbbqbbbbnnnnnnnnnnnnnn從而從而的等比數(shù)列的等比數(shù)列是公比是公比).152(313521)21(31)(21, 121211212211 nnnbbbbababaSbbaabnnnnnnnnnnn故故得得由由. )2( )1( )., 4 , 3(21 211nnnnnnSnnacnaaaaac項(xiàng)項(xiàng)和和的的前前求求數(shù)數(shù)列列的的值值；求求且且滿滿足足的的首首項(xiàng)項(xiàng)的的等等比比數(shù)數(shù)列列若若公公比比為為 例例22. )2( )1(

8、 )., 4 , 3(21 211nnnnnnSnnacnaaaaac項(xiàng)項(xiàng)和和的的前前求求數(shù)數(shù)列列的的值值；求求且且滿滿足足的的首首項(xiàng)項(xiàng)的的等等比比數(shù)數(shù)列列若若公公比比為為 例例22,212,3, (1) 2212122 nnnnnnnnacaaacaaacan時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)由由題題設(shè)設(shè) 解析解析 .211 . 012,21, 0222 ccccccan或或解解得得即即因因此此由由題題設(shè)設(shè)條條件件可可得得.211 . 012,21, 0222 ccccccan或或解解得得即即因因此此由由題題設(shè)設(shè)條條件件可可得得.2)1(321, *).( 1,1)1( (2) nnnSnnaNnaacnnnn項(xiàng)和項(xiàng)

9、和的前的前數(shù)列數(shù)列這時(shí)這時(shí)即即是一個(gè)常數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列數(shù)列數(shù)列時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)知要分兩種情況討論：知要分兩種情況討論：由由:,2111 )21()21(3)21(21,*).()21(,21,21121得得式兩邊同乘式兩邊同乘項(xiàng)和項(xiàng)和的前的前數(shù)列數(shù)列這時(shí)這時(shí)即即的等比數(shù)列的等比數(shù)列是一個(gè)公比為是一個(gè)公比為數(shù)列數(shù)列時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnnnnnnSnnaNnaacnnnnnnnSnnS)21( )21()21()21(1)211(:,212 )21( )21)(1()21(221211212 得得式式式減去式減去*).( 223)1(491)21(211)21(11NnnSnnnnnn 例例33.,., 0,

10、2131412nnkkknkkaaaaaaaadan通項(xiàng)通項(xiàng)的的求數(shù)列求數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列已知數(shù)列已知數(shù)列的等比中項(xiàng)的等比中項(xiàng)與與是是公差公差中中在等差數(shù)列在等差數(shù)列 .,., 0, 2131412nnkkknkkaaaaaaaadan通項(xiàng)通項(xiàng)的的求數(shù)列求數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列已知數(shù)列已知數(shù)列的等比中項(xiàng)的等比中項(xiàng)與與是是公差公差中中在等差數(shù)列在等差數(shù)列 例例33)3()(.,)1( 112141221daadaaaadnaan 依依題題設(shè)設(shè)得得 解析解析 , 313, 1, 3 , 1, 0.,3 , 0,:2121112 qkkkddkdkdkddndaadddadnnnn公比為公比

11、為首項(xiàng)為首項(xiàng)為等比數(shù)列等比數(shù)列也是也是數(shù)列數(shù)列由由是等比數(shù)列是等比數(shù)列由已知得由已知得得得整理得整理得.3), 3 , 2 , 1(39, 3, 9. 9:11111 nnnnnnnkknqkqkkk的通項(xiàng)的通項(xiàng)即得數(shù)列即得數(shù)列公比公比的首項(xiàng)的首項(xiàng)等比數(shù)列等比數(shù)列由此得由此得.,2,2 )2( )1( ., 231并并說(shuō)說(shuō)明明理理由由的的大大小小與與較較比比時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)項(xiàng)項(xiàng)和和為為其其前前等等差差數(shù)數(shù)列列為為公公差差的的為為首首項(xiàng)項(xiàng)是是以以設(shè)設(shè)的的值值；求求成成等等差差數(shù)數(shù)列列且且的的等等比比數(shù)數(shù)列列是是公公比比為為已已知知nnnnnbSnSnqbqaaaqa 例例44.211. 012, 0,2

12、,2 (1) 211121213 或或即即由由題題設(shè)設(shè)qqqaqaaqaaaa 解析解析 .211. 012, 0,2,2 (1) 211121213 或或即即由由題題設(shè)設(shè)qqqaqaaqaaaa 解析解析 ,2312)1(2, 1 (2) 2nnnnnSqn 則則若若.49)21(2)1(2,21., 02)2)(1(2nnnnnSqbSnnnnn 則則若若故故1,2 nnnSbSn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).,11;,10;,92,4)10)(1( ,21nnnnnnnnnbSnbSnbSnNnnnSbSn 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)故故對(duì)對(duì)于于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)诙n時(shí)：第二課時(shí)：等差、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用等差、等比數(shù)

13、列的綜合運(yùn)用 課前導(dǎo)引課前導(dǎo)引 第二課時(shí)：第二課時(shí)：等差、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用等差、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用) ( ,1)32()32( . 1 11則則下下列列敘敘述述正正確確的的是是的的通通項(xiàng)項(xiàng)已已知知數(shù)數(shù)列列 nnnnaa413131, D., C., B., A.aaaaaa最小項(xiàng)為最小項(xiàng)為最大項(xiàng)為最大項(xiàng)為最小項(xiàng)為最小項(xiàng)為最大項(xiàng)不存在最大項(xiàng)不存在最小項(xiàng)不存在最小項(xiàng)不存在最大項(xiàng)為最大項(xiàng)為最小項(xiàng)為最小項(xiàng)為最大項(xiàng)為最大項(xiàng)為第二課時(shí)：第二課時(shí)：等差、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用等差、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用 課前導(dǎo)引課前導(dǎo)引 .,3,212782194;278)32( ,4;94)32( ,3, 0),1(,1 ,

14、0(,)32( ,32, 1,)32( 11121最小最小時(shí)時(shí)而而時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)又當(dāng)又當(dāng)項(xiàng)為項(xiàng)為故最大故最大則則且且則則令令nnnnnannnattattt 解析解析 .lim, )2( ; )1( . 1)()(, 1,5)(,13)( . 2 21112nnnnnnnnnnnSSnaaaaagaafaacxxgbxxxf 求求項(xiàng)和為項(xiàng)和為的前的前若若的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式求求滿足滿足正數(shù)數(shù)列正數(shù)數(shù)列是奇函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)函數(shù)是偶是偶已知數(shù)列已知數(shù)列, 023, 1)(51)(3)()(.5)(, 0),()(,)(13)(, 0),()(,)( (1) 212121212112 nnnnnnnn

15、nnnnnnaaaaaaaaaaaagaafxxgcxgxgxgxxfbxfxfxf即即為奇函數(shù)為奇函數(shù)即即為偶函數(shù)為偶函數(shù) 解析解析 .)32(.32,1,32, 023, 0, 0)23)(1111111 nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa的等比數(shù)列的等比數(shù)列公比為公比為為首項(xiàng)為首項(xiàng)是以是以即即.)32(.32,1,32, 023, 0, 0)23)(1111111 nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa的等比數(shù)列的等比數(shù)列公比為公比為為首項(xiàng)為首項(xiàng)是以是以即即. 33211lim )2( nnS 鏈接高考鏈接高考 鏈接高考鏈接高考 . 1111 )2( ;

16、)1( . 9, 3,*)(1(log 12312312 nnnnaaaaaaaaaNna證證明明的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式求求數(shù)數(shù)列列且且為為等等比比數(shù)數(shù)列列已已知知數(shù)數(shù)列列 例例11. 12,)1(1)1(log. 1, 8log2log)2(log2:9, 3.)1(log 1)( 2222312 nnnnannaddaada即即即即得得由由的公差為的公差為設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列 解析解析 . 121121121212121212121111,212211 )2( 3211231211 nnnnnnnnnnaaaaaaaa.15 )3( ; )2( ; )1( ., 3 , 2 , 1,)25(

17、)85(,11, 6, 1, 1321都成立都成立、對(duì)任何正整數(shù)對(duì)任何正整數(shù)證明不等式證明不等式為等差數(shù)列為等差數(shù)列證明數(shù)列證明數(shù)列的值的值和和求求為常數(shù)為常數(shù)、其中其中且且已知已知項(xiàng)和為項(xiàng)和為的前的前設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列nmaaaaBABAnBAnSnSnaaaSnanmmnnnnnn 例例22. 8,20:48228,212273)25()85(,18, 7, 1 1)( 23121321321211 BABABABASSBASSBAnSnSnaaaSaaSaSnn解得解得即即知知由由由已知得由已知得 解析解析 3 20)25()110()35(:122 2820)75()35(1 820)25(

18、)85()1( )2( 12121 nnnnnnnSnSnSnnSnSnnSnSn得得得：得：由由0)25()410()25(,0)25()615()615()25(:344 20)75(2)910()25(12311123113 nnnnnnnnnnnnnanananSSaSnSnSnSnSnSnSn得得.51,02, 0)25(12231223123為為等等差差數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)列列又又nnnnnnnnaaaaanaaaaaaan ,16)(2025 )45)(45(, 45,215:, 15:45)1(51)2( )3( nmmnnmaamnaaaaaaaaannanmmnnmnmmnnmmn

19、n只要證只要證要證要證可知：可知：由由.372020)291515(8558552,2372020:,216)(20251)45(5:故命題得證故命題得證即只要證即只要證故只要證故只要證 nmnmnmnmaaaaaanmaanmmnmnnmnmnmnm 例例33 假設(shè)某市假設(shè)某市2004年新建住房面積年新建住房面積400萬(wàn)平方米萬(wàn)平方米, 其中有其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)萬(wàn)平方米是中低價(jià)房房, 預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi), 該市每年新建該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%, 另外另外, 每年每年新建住房中新建住房中, 中低價(jià)房的面積均比上一年增中低價(jià)

20、房的面積均比上一年增加加50萬(wàn)平方米萬(wàn)平方米, 那么那么, 到哪一年底到哪一年底 (1) 該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以（以2004年為累計(jì)的第一年）將首次不少年為累計(jì)的第一年）將首次不少于于4750萬(wàn)平方米？萬(wàn)平方米？ (2) 當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于建造住房面積的比例首次大于85%？, 01909,475022525,22525 502)1(250,50,250, 1)( 2221是正整數(shù)是正整數(shù)而而即即令令則則其中其中是等差數(shù)列是等差數(shù)列由題意可知由題意可知列列設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)設(shè)中低價(jià)房面

21、積形成數(shù)nnnnnnnnnnSdaaannn 解析解析 .47502013.10萬(wàn)平方米萬(wàn)平方米累計(jì)面積將首次不少于累計(jì)面積將首次不少于價(jià)房的價(jià)房的年底該市歷年所建中低年底該市歷年所建中低到到 n.47502013.10萬(wàn)平方米萬(wàn)平方米累計(jì)面積將首次不少于累計(jì)面積將首次不少于價(jià)房的價(jià)房的年底該市歷年所建中低年底該市歷年所建中低到到 nnnnnnnbabqbbb85. 0:)08. 1(400,08. 1,400,:, )2( 11 由由題題意意可可知知?jiǎng)t則其其中中是是等等比比數(shù)數(shù)列列由由題題意意可可知知列列設(shè)設(shè)新新建建住住房房面面積積形形成成數(shù)數(shù)%.85,2009. 685. 0)08. 1(40050)1(2501大于大于積的比例首次積的比例首次面積占該年建造住房面面積占該年建造住房面當(dāng)年建造的中低價(jià)房的當(dāng)年建造的中低價(jià)房的年底年底到到正整數(shù)正整數(shù)不等式的最小不等式的最小由計(jì)算器解得滿足上述由計(jì)算器解得滿足上述有