動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析56二階電路的零輸入響應(yīng)561二階

1、第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析§5.6 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的初始條件初始條件在二階電路的分析進(jìn)程中起著決定性作用，個(gè)方面。第一，在分析電路時(shí)，要始終仔細(xì)考慮電容兩端電壓向；第二，電容上的電壓總是連續(xù)的，即uC (0 )uC (0 )流過電感的電流也總是連續(xù)的，即確定初始條件時(shí)，必須注意以下幾u(yù)C 的極性和流過電感電流iL 的方（ 5-31 ）uL (0 ) iL (0 )（ 5-32 ）確定初始條件時(shí)，首先要用（ 5-31 ）和（ 5-32 ）式確定沒有突變的電路電流，電容電壓和電感電流的初始值。R L C 串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)如圖 5-37 所示為 RLC串聯(lián)電路。開關(guān) S 閉

2、合前，電容已經(jīng)充電， 且電容的電壓 uCU 0 ，電感中儲(chǔ)存有電場(chǎng)能，且初始電流為I 0 當(dāng) t 0 時(shí)，開關(guān)S 閉合，電容將通過RL 放電，其中一部分被電阻消耗， 另一部分被電感以磁場(chǎng)能的形式儲(chǔ)存，之后磁場(chǎng)能有通過R 轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能，如此反復(fù)；同樣，也有可能先是由電感儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能，并如此反復(fù)，當(dāng)然也可能不存在能量的反復(fù)轉(zhuǎn)換。SRit0uRCuCLuL圖 5-37 RLC 串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)由圖 5-37 所示參考方向，據(jù)KVL 可得uCuRuL0且有 i CCduC， uR RiRCduCdid 2uC。將其代入上式得dtdt， uL LLC2dtdtLC d 2uCRC duC

3、uC0dt 2dt式（ 5-33 ）是 RLC串聯(lián)電路放電過程以u(píng)C 為變量的微分方程，為一 個(gè)線性常系數(shù)二階微分方程。如果以電流 i 作為變量，則RLC串聯(lián)電路的微分方程為90第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析LC d2 iRC dii 0（ 5-34 ）dt 2dt在此，僅以 uC 為變量進(jìn)行分析，令 uCptAe ，并代入（5-33 ），得到其對(duì)應(yīng)的特征方程LCp 2RCp 10求解上式，得到特征根為R21P1R2L2LLC2（ 5-35 ）R1P2R2L2LLC因此，電容電壓uC 用兩特征根表示如下：uC A1ep1 tA2 ep 2t（ 5-36 ）從式（ 5-35 ）可以看出，特征根p1 、

4、 p2 僅與電路的參數(shù)和結(jié)構(gòu)有關(guān)，而與激勵(lì)和初始儲(chǔ)能無關(guān)。 p1 、 p2 又稱為固有頻率， 單位為奈培 每秒（ N P / s），它與電路的自然響應(yīng)函數(shù)有關(guān)。根 據(jù) 換 路 定 則 ， 可 以 確 定 方 程 （ 5-33 ） 的 初 始 條 件 為 u（C0 ） u（C0 ） U 0 ，i (0 ) i (0 ) I 0 ，又因?yàn)?iCC du C ，所以有 CduCI 0。將初始條件和式 （ 5-36 ）dtdtC聯(lián)立可得A1A2U 0（ 5-37 ）A1 p1A2I 0p2C首先討論有已經(jīng)充電的電容向電阻電感放電的性質(zhì)，即U 00且I0 0。有A1p2U 0p2p1（ 5-38 ）p1

5、U 0A2p2p1將 A1 、A2 的表達(dá)式代入 （5-36 ）式即可得到RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)，但特征根p1 、奈培是一個(gè)無量綱單位，以奈培（John Napier,英格蘭數(shù)學(xué)家）的名字命名。91第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析p2 與電路的參數(shù)R、 L、 C 有關(guān)，根據(jù)二次方程根的判別式可知p1 、 p2 只有三種可能情況，下面對(duì)這三種情況分別討論1. R 2 L ，過阻尼情況C在此情況下，p1 、 p2 為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，電容電壓可表示為uCU 0p2ep1 tp1ep2 t（ 5-39 ）p2p1根據(jù)電壓電流的關(guān)系，可以求出電路的其他響應(yīng)為iC duCCU 0 p1 p2 ep1 tep

6、2 tdtp2 p1U 0p1 )(ep1tep 2 t )L( p2uL L diU 0p1ep1tp2ep2 tdtp2p1其中利用了p1 p21的關(guān)系。LC由于 p1p2 ，因此 t0 時(shí)， e p1tep2t，且p2p1p1p2p2 p1（ 5-40 ）（ 5-41 ）0 。所以 t0 時(shí) uC一直為正。 從（ 5-40 ）可以看出， 當(dāng) t0時(shí)， i 也一直為正， 但是進(jìn)一步分析可知，當(dāng) t 0時(shí)， i (0 ) 0 ，當(dāng) t時(shí)， i ()0 ，這表明 i (t ) 將出現(xiàn)極值，可以求一階導(dǎo)數(shù)得到，即p1ep1tp2ep2 t0故tmaxp21ln p2p1 p1其中 tmax 為電

7、流達(dá)到最大的時(shí)刻。uC、 i、 u L 的波形如圖5-38 所示。92第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析uC ,uL ,iU 0uCit maxo2tmaxtuL圖 5-38過阻尼放電過程中uC 、 i 、 uL 的波形從圖 5-38 可以看出，電容在整個(gè)過程中一直在釋放儲(chǔ)的電能，稱之為非振蕩放電，有叫做過阻尼放電。當(dāng)ttm 時(shí)電感吸收能量，建立磁場(chǎng)；t tm 時(shí)，電感釋放能量，磁場(chǎng)衰減，趨向消失。當(dāng) tt m 時(shí)，電感電壓過零點(diǎn)。2. R2L ，欠阻尼情況C當(dāng) R2L 時(shí)，特征根 p1 、 p2 是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，即Ck12p1R2LjjLCLC（ 5-42）k12p2R2LjjLCLC其中：R稱之為振

8、蕩電路的衰減系數(shù)；LC12RLC稱之為振蕩電路的衰減角頻率。2L01稱之為無阻尼自由振蕩角頻率，或浮振角頻率。LC222，令arctan，則有0 cos ，0 sin ，如圖 5-39顯然有 0所示。093第五章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析圖 5-39， ， ，0 之間的關(guān)系根據(jù)歐拉公式j(luò)ecosj sin（ 5-43 ）jcosj sine可得0 ejjp1， p20 e所以有uCU 0p2ep1 tp1ep 2 tp2p1=U 00e j ej t0ej ej tj 2=U 00 e t e jte jtj 2=U 00 et sin(t)（ 544）根據(jù)式（ 5-40 ），（ 5-41 ）可知i

9、U 0et sin(t )（ 5-45 ）LU 0uL0 et sin(t)（ 5-46 ）從上述情況分析可以看出，uC 、 i 、 uL 的波形呈振蕩衰減狀態(tài)。在衰減過程中，兩種儲(chǔ)能元件相互交換能量，如表5-2所示。 uC 、 i 、 uL 的波形如圖5-40 所示。uC ,u L , iU 0uCio22tu L圖 5-40 欠阻尼情況下 uC 、 i 、 u L 的波形表 5-20t0tt電容釋放釋放吸收電感吸收釋放釋放94第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析電阻消耗消耗消耗從欠阻尼情況下uc 、 i 、 uL 的表達(dá)式還能得到以下結(jié)論：（ 1）tk， k0,1,2,3.為電流 i 的過零點(diǎn)，即uC

10、 的極值點(diǎn)。（ 2）（ 3）tk， k0,1,2,3.為電感電壓uL 的過零點(diǎn)，即電流i 的極值點(diǎn)。tk， k0,1,2,3.為電容電壓uC 的過零點(diǎn)。在上述阻尼的情況中，有一種特殊情況，k0 , 此時(shí) p1 、 p2 為一對(duì)共軛虛數(shù)，p1 j0p2j 0代入到（ 5-44 ），（ 5-45 ），（ 5-46 ）式可得uCU 0 sin(0t)（ 5-47 ）2iU 0C sin(0t)（ 5-48 ）LuL U 0 sin(0t)（ 5-49 ）2由此可見， uc 、i 、uL 各量都是正弦函數(shù)， 隨時(shí)推移其振幅并不衰減。其波形如圖 5-41所示uC , uL ,iU 0U 0CLo20tu

11、 Cu LU 0圖 5-41 LC零輸入電路無阻尼時(shí)uC 、 i 、 u L 波形3. R 2 L ，臨界阻尼情況C在此條件下，特征方程具有重根，即p1p2R22L全微分方程（5-33 ）的通解為uC( A1A2t )e 2 t根據(jù)初始條件可得95第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析A1U 0A22U 0所以，很容易得到uC U 0 (1 t )e t（ 5-50 ）iCduCU 0t et（ 5-51 ）dtLuLL diU 0 e t (1t )（ 5-52 ）dt顯然， uC 、 i 、 uL 不作振蕩變化，隨著時(shí)間的推移逐漸衰減，其衰減過程的波形與圖5-38 類似。此種狀態(tài)是振蕩過程與非振蕩過程的

12、分界線，所以將 R2L 的過程稱為臨界C非振蕩過程，其電阻也被稱之為臨界電阻。§5.7二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)如果二階電路中動(dòng)態(tài)元件的儲(chǔ)能（電容儲(chǔ)存電場(chǎng)能與電感儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能）均為零時(shí)， 其響應(yīng)僅由外施激勵(lì)產(chǎn)生，稱為二階電路的零輸入響應(yīng)。5.7.1 R L C串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)電路如圖 5-47所示，開關(guān) S 閉合前，電容和電感電流均為零。t 0時(shí)，開關(guān) S 閉合。SRLit0u RU SCuC圖 5-47RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)以 uC 為電路的變量，根據(jù)VCR和 KVL，有d 2uCduCLCdt 2RC dtuCU s（ 5-63 ）方程（ 5-64 ）為二階常系數(shù)非齊次微分方程

13、，其解由兩部分組成，一部分為非齊次方程的特解 uCU S ，另一部分為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解uCAe pt ，即 uCuCuC 。方程（ 5-63 ）對(duì)應(yīng)的齊次微分方程96第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析LC d 2uCRC duCuC 0（ 5-64 ）dt 2dt方程（ 5-64 ）與方程（ 5-33 ）完全相同，其對(duì)應(yīng)的特征方程的根也有三種情況。將結(jié)論分別表示如下1. R 2 L ，非振蕩充電過程C電路響應(yīng)表示為uCU S( p2ep1tp1ep 2 t ) U Sp1p2iU S(ep1tep2 t )L( p1p2 )uLU S( p1ep1 tp2ep 2 t )p1p2其中 p1 、 p2

14、為特征根，表達(dá)式與（5-35 ）式相同。 uL 、 i 和 uC 的波形如圖5-48 所示，uC ,uL ,iU SuCit maxo2tmaxtuL圖 5-48 uL 、 i 和 uC 的波形圖其中 t m ax1lnp2t m ax ，是電感電壓過零點(diǎn)，也是電流i 達(dá)到最大值的時(shí)刻。p 2p1p12. R 2 L ，振蕩充電過程C電路響應(yīng)表示為uCuC (12t )e 2tU Si U S te 2tLuLuSet (1t)97第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析其中R ，此情況下的充電過程也為非振蕩充電。2L5.7.2 RLC并聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)二階 RLC并聯(lián)電路如圖 5-49所示，uC ( 0

15、) 0 ， iL (0 ) 0 。 t0 時(shí)，開關(guān) S 斷開。根據(jù) KCL有iCiR i Li Si Si RiLiCt 0 SRuRLCuCu L圖 5-49 RLC 并聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)如果以 iL 為待求變量，則有LC d2 iLL di Li L iS（ 5-65 ）dt 2R dt方程以（ 5-65 ）是二階線性非齊次常微分方程，與（5-63 ）式的求解過程相同，其通解由特解 iL 和對(duì)應(yīng)齊次微分方程通解i L 兩部分組成。 如果 is 為直流激勵(lì)或正弦激勵(lì)，則取穩(wěn)態(tài)解 iL為特解而通解 i L 與零輸入響應(yīng)形式相同，其積分常數(shù)有初始條件來確定。§5.8二階電路的全響應(yīng)在前

16、兩節(jié)中所討論的二階電路中，要么只有初始儲(chǔ)能，要么只有外施激勵(lì)。分別得到二階微分方程求解的方法非常相似。如果二階電路既有初始儲(chǔ)能又接入了外施激勵(lì)，則電路的響應(yīng)稱為二階電路的全響應(yīng)。分析一階電路的全響應(yīng)的方法在二階電路中同樣適用，一般用零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)疊加來計(jì)算全響應(yīng)。例 電路如圖5-51 所示，已知 uC (0 )0 ， i L (0 )0.5A ， t0時(shí)開關(guān) S 閉合，求開關(guān)閉合后電感中的電流iL (t ) 。98第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析R 51St 0C 1F10VuCL 2Hi L0圖 5-51例 5-12圖解： 開關(guān) S 閉合前，電感中的電流iL (0)0.5A ，具有初始儲(chǔ)能；開關(guān)S 閉合后，直流激勵(lì)源作用于電路，故為二階電路的全響應(yīng)。（ 1）列出開關(guān)閉合后的電路微分方程，列結(jié)點(diǎn)KVL 方程有10diL2LLC di LdtiLRdt2即RLC d 2i LL di LRiL10dt 2dt將參數(shù)代入得d 2iL1 di L1 Ri L1dt 25 dt2設(shè)電路全響應(yīng)為 i L (t) iLi L（ 2）根據(jù)強(qiáng)制分量計(jì)算出特解為iL102()5A（ 3）為確定通解，首先列出特征方程為p21 p1052特征根為：p10.1j 0.7p20.1j 0