初中函數(shù)知識點總結(jié)非常全

1、“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解1“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解知識點一、平面直角坐標系1平面直角坐標系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標系。其中，水平的數(shù)軸叫做 x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點0 (即公共的原點)叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。為了便于描述坐標平面內(nèi)點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。2、點的坐標的概念點的坐標用(a, b)表示，其順序是橫

2、坐標在前，縱坐標在后，中間有"，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當a = b時，(a， 3和(b， a)是兩個不同點的坐標。知識點二、不同位置的點的坐標的特征1、各象限內(nèi)點的坐標的特征點P(x,y)在第一象限二x 0, y 0點P(x,y)在第二象限二x : 0, y 0點P(x,y)在第三象限二x : 0, y : 0點P(x,y)在第四象限二x 0, y : 02、坐標軸上的點的特征點P(x,y)在x軸上二y = 0，x為任意實數(shù)點P(x,y)在y軸上二X = 0，y為任意實數(shù)點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點 P坐標為(0，0

3、)3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上二x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上二x與y互為相反數(shù)4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。5、關(guān)于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特征點P與點p '關(guān)于x軸對稱二橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)點P與點p '關(guān)于y軸對稱二縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)點P與點p '關(guān)于原點對稱二橫、縱坐標均互為相反數(shù)6、點到坐標軸及原點的距離點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：(1) 點P(x,y)到x軸的距離

4、等于y(2) 點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于(3) 點P(x,y)到原點的距離等于x y知識點三、函數(shù)及其相關(guān)概念1、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說 x是自變量，y是x的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(1) 解析法兩個變量間的函數(shù)關(guān)系， 有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。(2

5、) 列表法把自變量x的一系列值和函數(shù) y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。(3) 圖像法用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟(1) 列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值(2) 描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(3) 連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。知識點四、正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地，如果y=kx+b（k, b是常數(shù)，k式0）,那么y叫做x的一次函數(shù)。特別地，當一次函數(shù) y=kx+b中的b為0時，y = kx （ k為常數(shù)，k式0）。這時，y叫做x 的正

6、比例函數(shù)。2、 一次函數(shù)的圖像所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù)y =kx b的圖像是經(jīng)過點（0，b）的直線；正比例函數(shù) y =kx的圖像是經(jīng)過原 點（0，0）的直線。k的符號b的符號函數(shù)圖像圖像特征k>0b>0y 十/圖像經(jīng)過一、二、三象限， y隨x的增大而增大。0/ xb<0y |I/圖像經(jīng)過一、三、四象限， y隨x的增大而增大。0 x/k<0b>0yiI圖像經(jīng)過一、二、四象限， y隨x的增大而減小0xk<0b<0y圖像經(jīng)過二、三、四象限， y隨x的增大而減小。0 注:當b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，

7、正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。4、正比例函數(shù)的性質(zhì)一般地，正比例函數(shù) y = kx有下列性質(zhì)：（1） 當k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大，圖像從左之右上升；（2） 當k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小，圖像從左之右下降。5、一次函數(shù)的性質(zhì)一般地，一次函數(shù) y = kx b有下列性質(zhì)：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減?。?）當b>0時，直線與y軸交點在y軸正半軸上（4）當b<0時，直線與y軸交點在y軸負半軸上6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)

8、二kx（ k= 0）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)二kx b（ k= 0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法知識點五、反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念k一般地，函數(shù)y（ k是常數(shù)，k=0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成xy = kx，或xy=k的形式。自變量x的取值范圍是x= 0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非 零實數(shù)。3“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解2、反比例函數(shù)的圖像知識點六、二次函數(shù)的概念和圖像4“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第1

9、、二次函數(shù)的概念#“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解的二次函數(shù)。反比 例函 數(shù)ky = (k 式 0)xk的符 號k>0k<0圖像y1J'1OxOx廠性質(zhì) x的取值范圍是x鼻0,y的取值范圍是y鼻0; 當k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。 x的取值范圍是xH0,y的取值范圍是y式0; 當k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)4、反比例函數(shù)解析式的確定y = ax2 bx c（a,b,c是常數(shù)，a= 0）叫做二次函數(shù)的一般式。二次函數(shù)的圖像K

10、二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于 x -對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a拋物線的主要特征（也叫拋物線的三要素）：有開口方向；有對稱軸；有頂點。、二次函數(shù)圖像的畫法五點法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點（2）求拋物線y二ax2 bx c與坐標軸的交點:M,并用虛線畫出當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時， 描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。 如果需要畫出比較精

11、確的圖像， 可再描出一對對稱點 A、B, 然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。知識點七、二次函數(shù)的基本形式k確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù) y 中，只有一個待定系數(shù)，因此x只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義k若過反比例函數(shù)y= （kH0）圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM PN,則所得的矩形xPMON勺面積 S=PMPN=y x = xy。= y = xy = k, S = k。x''1.二次函數(shù)基本形式： y = ax2的性質(zhì): a的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方向

12、頂點坐標對稱軸性質(zhì)a A0向上(0, 0)y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x£0時，y隨 x的增大而減??；X - 0時，y有最小值0 .a £0向下(0, 0)y軸x>0時，y隨x的增大而減?。籜V 0時，y隨 x的增大而增大；X - 0時，y有最大值0 .四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x=0，函數(shù)y = 0,所以，它的圖像與 x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。般地，如果y = ax2 bx c（a,b, c是常數(shù)，a= 0），特別注意a不為零，那么y叫做x2. y=ax2 y的性質(zhì):二次函數(shù)y二ax

13、2c的圖像可由y二ax2的圖像上下平移得到 （平移規(guī)律：上加 下減）。a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a >0向上(0 ,c)y軸xa0時，y隨x的增大而增大；xv0時，y隨 x的增大而減??；x = 0時，y有最小值c a c0向下(0 ,c)y軸xa0時，y隨x的增大而減??；xv0時，y隨 X的增大而增大；X = 0時，y有最大值c 2 3. y =a x - h的性質(zhì):二次函數(shù)y=a（x-h2的圖像可由y=ax2的圖像左右平移得到（平移規(guī)律：左加右減）。a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a a0向上(h，0)X=hxnh時，y隨x的增大而增大；xvh時，y 隨x的增大而減??；x=h

14、時，y有最小值0 .a c0向下(h，0)X=hxAh時，y隨x的增大而減小；xvh時，y 隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值0 .2 r4. y=ax-hk 的性質(zhì):a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a >0向上(h, k )X=hxnh時，y隨x的增大而增大；xvh時，y 隨x的增大而減小；x=h時，y有最小值k .a £0向下(h, k )X=hxnh時，y隨x的增大而減小；xvh時，y 隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值k .點式，只有拋物線與 x軸有交點，即b2-4ac_0時，拋物線的解析式才可以用兩點式表 示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化a的絕對值越大，

15、拋物線的開口越小。知識點九、二次函數(shù)解析式的確定根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩點式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式.知識點十、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當b .4ac-b2x時，y最值二2a4aK如果自變量的取值范圍是xlx2，那么，

16、首先要看- 是否在自變量取值范圍2ab4ac厲2花一 x 一 X2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當 x= 時，y最值；若不在此范圍內(nèi)，則需要2a4a考慮函數(shù)在Xi乞x乞X2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當x= X2時,y最大二ax；bx2c，當x = %時，y最小二axfbx-!c ;如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而2 2減小，則當時，y最大=ax-jbx<c，當x = x2時，y最小=ax2bx2c。5“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解#“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解知識點八、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：y =ax bx c （ a，

17、b， c 為常數(shù)，a =0）；2. 頂點式：y =a（x-h）2 k （ a， h， k為常數(shù)，a =0）；3. 兩點式：y =a（x-xi）（x-X2）（ a =0，捲，x?是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成兩#“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解6“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解知識點十一、二次函數(shù)的性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)2、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點情況)：一元二次方程ax2 bx 0是二次函數(shù)y = ax2 bx c當函數(shù)值y = 0時的特殊情況. 圖象

18、與x軸的交點個數(shù)：函數(shù)y = ax2 bx c(a,b,c是常數(shù)，a = 0) 當厶二b2 -4ac 0時，圖象與x軸交于兩點A xi ,0，B X2，0 (x x?)，其中的x , x?是圖像a>0a<0(1)(2)(1 )拋物線開口向上，并向上無限延伸;K(2 )對稱軸是x=,2a拋物線開口向下，并向下無限延伸;對稱軸是 x,2a頂點坐標是(- b2a2元二次方程ax2 bx c = 0 a = 0的兩根.這兩點間的距離 AB = X2 -為二' b - 4ac性質(zhì)推導(dǎo)過程：若拋物線 y = ax2 bx c與x軸兩交點為A x1?0 , B x2,0，由于x1、x2是

19、2方程ax bx0的兩個根，故X1X2,X1 X2,aaAB 二捲 一 x2 = 捲 一 x2 丫 = (為 + x2 )2 - 4x1x2 = 當厶=0時，圖象與x軸只有一個交點;頂點坐標是(- b2a4ac -b24a4ac - b4af b 丫 4c lb2 - 4ac VZI =ia|a當.：0時，圖象與x軸沒有交點.1'當a 0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有 y0 ；2'當a ：. 0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有 y ： 0 . 記憶規(guī)律：一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標。_2因此一元二次方程中的厶二b -4a

20、c，在二次函數(shù)中表示圖像與 x軸是否有交點。b , x< 時, 2ay隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，b即當X> - 一時，y隨x的增大而增大，2a簡記左減右增；(3 )在對稱軸的左側(cè)，即當(4 )拋物線有最低點，當 X= - °時，y有最小2a潔4ac -b2值，y最小值4a(3)b , x<時, 2ax的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，b即當X> -一時，y隨x的增大而2a減小，簡記左增右減；在對稱軸的左側(cè)，即當(4)拋物線有最高點，當y有最大值，y最大值當也>0時，圖像與x軸有兩個交點；當 A =0時，圖像與x軸有一個交點； 當也<0時，圖像與

21、x軸沒有交點。知識點十二中考二次函數(shù)壓軸題?？脊?必記必會，理解記憶)兩點間距離公式(當遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法)1、X b 時,2a 4ac - b24ay如圖：點A坐標為(xi，yi )點B坐標為(X2，y2)則ab間的距離，即線段 ab的長度為x, - x2 2 力- y2 27“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解y=ax2y=ax 2+k2、二次函數(shù)圖象的平移2 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式 y =a（x h ） +k，確定其頂點坐標（h，k ）; 保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到h , k處，具體平移方法如下:向上（k>0）

22、【或向下（k<0）】平移|k|個單位（3） c的大小決定拋物線 y= ax2 bx c與y軸交點的位置.當x = 0時，y = c ,拋物線y = ax2 bx c與y軸有且只有一個交點（0, c）: c二0，拋物線經(jīng)過原點；c 0 ,與y軸交于正半軸；8“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解#“沒有學(xué)不好的數(shù)學(xué)”系列之一初中函數(shù)知識點詳解向右（h>0）【或左（*0）】平移|k|個單位向右（h>0）【或左（h<0）】平移kl個單位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k個單位y=a (x-h)2向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k個單

23、位向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k|個單位y=a(x h)2+kc ： 0 ,與y軸交于負半軸.以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè)，則 -< 0 .a知識點十四、中考點擊平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”. 概括成八個 字“左加右減，上加下減”.函數(shù)平移圖像大致位置規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間）3、直線斜率：k =ta 二 一yiX2 Xi4、設(shè)兩條直線分別為，li : y - kix bi I2: y = k2x b2 若 11 / l 2 ,則有 li /12 = « = k2若 li _ I?：二 ki k2 - -i知識點十三、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系拋物線y二ax2 bx c中，a b c,的作用（1） a決定開口方向及開口大小，這與y = ax2中的a完全一樣.a>0時，拋物線開口向上；a<0時，拋物線開口向下；a的絕