復變函數與積分變換輔導資料

1、復變函數與積分變換輔導資料九主 題：第四章 解析函數的級數12節(jié)學習時間：2012年11月26日12月2日內 容：在高等數學中，級數是研究函數的重要工具。同樣，在復變函數中，級數仍然是研究復變函數的重要手段。本周首先介紹復數項級數的概念，再研究冪級數的收斂域及其和函數。其學習要求及需要掌握的重點內容如下：1、知道復數列收斂的概念2、了解復數項級數收斂、發(fā)散及絕對收斂等概念3、會判斷復數項級數的收斂性4、理解冪級數收斂的概念及性質5、非常熟練地掌握冪級數的收斂半徑的求法基本概念：復數列、復數項級數及其收斂、冪級數知識點：復數項級數的收斂性、冪級數的收斂、運算及性質第一節(jié)、復數項級數（要求達到“識

2、記”層次）1、復數列極限定義：設為一復數列，其中，又設為確定的復數，如果對任意，存在自然數N，當時，總有1 / 7成立，則稱復數列收斂于，或稱當時，以為極限，記作。如果復數列不收斂，則稱發(fā)散。定理：設，則稱數列收斂于的充分必要條件是。典型例題：例、判斷復數列是否收斂，若收斂求出它的極限。解：而因此2、復數項級數定義1：設為一復數列，表達式稱為復數項級數，記作，其最前面n項的和，稱為級數的部分和。如果部分和數列有極限，即，則稱級數收斂，的和是S，或者說收斂于S；如果部分和數列沒有極限，則稱級數發(fā)散。典型例題：例、當時，判斷級數是否收斂？解：部分和當時，有從而有所以這就是說，當時，級數收斂，其和為

3、即當時，定理1：級數收斂的充要條件是級數與都收斂定理2：復數項級數收斂的必要條件是定義2：若級數收斂，則稱級數絕對收斂；若級數收斂，而發(fā)散，則稱級數條件收斂。（學會判斷各復數項級數的收斂性）定理3：若級數收斂，則級數必收斂，且有不等式成立。典型例題：例、判別復數項級數的斂散性解：因為級數與都收斂，所以級數收斂而發(fā)散，所以級數條件收斂第二節(jié)、冪級數（要求達到“領會”層次）1、冪級數的概念設為一復變函數列，其中各項在區(qū)域D內有定義，表達式稱為這級數的部分和。如果對于D內的某一點，極限存在，那么稱復變函數項級數在收斂，而稱為它的和，如果級數在D內出處收斂，那么它的和一定是z的一個函數，稱為級數的和函

4、數。當或時就得到復變函數項級數的特殊情形或，這種級數稱為冪級數。2、收斂圓與收斂半徑定義：若存在一個正數，使冪級數在內處處收斂，而在內處處發(fā)散，則稱為收斂圓，稱為收斂半徑。3、收斂半徑的求法定理：設冪級數若下列條件之一成立：1、（比值法）（全不為零）（此方法要重點掌握）2、（根值法）則冪級數的收斂半徑典型例題：例、選擇題：設冪級數和的收斂半徑分別為，則之間的關系是（ ）A、B、C、D、答案：D解題思路：冪級數中冪級數中冪級數中4、冪級數的運算和性質（1）有理數運算設有兩個冪級數，令，則在內，這兩個冪級數可進行如下的四則運算：加、減法乘法除法其中，假設，系數可由比較z的同次冪的系數決定。值得注意的是，相除后所得冪級數的收斂半徑可能比原來兩個冪級數的收斂半徑都小。如與的收斂半徑均為而它們的商的收斂半徑。（2）復合運算當時，在時，解析且，那么當時，。典型例題：例、把函數表成形如的冪級數解：把函數變形，使之