三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布

1、 數(shù)理統(tǒng)計中常用的分布除正態(tài)分布外，還有數(shù)理統(tǒng)計中常用的分布除正態(tài)分布外，還有三個非常有用的三個非常有用的連續(xù)連續(xù)型分布，即型分布，即 2分布分布t 分布分布F分布分布 數(shù)理統(tǒng)計的三大分布數(shù)理統(tǒng)計的三大分布( (都是都是連續(xù)連續(xù)型型) ). .它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系. .在本章中特別要求掌握對在本章中特別要求掌握對正態(tài)正態(tài)分布分布、 2 分布分布、t 分布分布、F 分布的一些結(jié)論的熟練運用。分布的一些結(jié)論的熟練運用。 三大三大抽樣分布抽樣分布是是后面各章的后面各章的基礎(chǔ)基礎(chǔ)。第四節(jié)第四節(jié) 三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布 ( (卡方

2、卡方) ) 分布分布 定義定義1: 1: 設(shè)總體設(shè)總體 , , 是是 的的一個樣本，則統(tǒng)計量一個樣本，則統(tǒng)計量 X12, . ,nXXX222212nXXX的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 10(0)txtxe dx t其中 ( )為 函數(shù)。稱統(tǒng)計量稱統(tǒng)計量 服從自由度為服從自由度為 的的 分分布，記作布，記作222212nXXX222( ).n0 x00 x)2(21)(2122xnnexnxf01XN,n20 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖圖5-4f(y)其圖形隨自由度其圖形隨自由度 的不同而有所改變的不同而有所改變. .

3、分布密度函數(shù)的圖形分布密度函數(shù)的圖形 2n注：自由度是指獨立隨機變量的個數(shù)，注：自由度是指獨立隨機變量的個數(shù)， dfnn性質(zhì)性質(zhì)1 1： 2 2分布的數(shù)學(xué)期望與方差分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)設(shè) ，則，則E( ) = n，D( ) = 2n.性質(zhì)性質(zhì)2 2： 2 2分布的可加性分布的可加性設(shè)設(shè)221122(),(),XnXn 且且12 , XX相互獨立相互獨立，則則21212()XXnn XXX 2n 222 3,1lim22txnXnXnPedtnxx性質(zhì) ：設(shè)則對任意實數(shù)有2 , 2.nnN nn這個性質(zhì)說明當(dāng)很大時，自由度為的分布趨于正態(tài)分布 （）定理定理1 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)

4、總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn 證明：證明： 由已知，有由已知，有Xi N( ， 2)且且X1，X2，Xn相互獨立，相互獨立，則則 (0, 1)iXN ，且各，且各iX 相互獨立，相互獨立， 由定義由定義1 :得得2221212 ()( ).nniiiiXXn 定理定理3 :3 : 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則(1) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互獨立；相互獨立； X222122()(1)(1)niiXXnSn (2)(4.1)(4.1)式的自由度為什么是式的自由

5、度為什么是n- -1？從表面上看，從表面上看，21()niiXX 是是n個正態(tài)隨機變量個正態(tài)隨機變量的平方和，的平方和，iXX 但實際上它們不是獨立的，但實際上它們不是獨立的，它們之間有一種線性約束關(guān)系：它們之間有一種線性約束關(guān)系：11()nniiiiXXXnX =0這表明，當(dāng)這個這表明，當(dāng)這個n個正態(tài)隨機變量中有個正態(tài)隨機變量中有n- -1個取值給定時，剩下個取值給定時，剩下的一個的取值就跟著唯一確定了，故在這的一個的取值就跟著唯一確定了，故在這n項平方和中只有項平方和中只有n- -1項是獨立的項是獨立的. .所以所以(4.1)式的自由度是式的自由度是n- -1. 定理定理3 3： 設(shè)設(shè)(X

6、1，X2，Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則(1) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互獨立；相互獨立； X222122()() 11(niiXnSXn (2)(4.1)與以下補充性質(zhì)的結(jié)論比較：與以下補充性質(zhì)的結(jié)論比較： 性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn 其幾何意義見圖其幾何意義見圖5-5所示所示.其中其中f(x)是是 2分布的概率密度。分布的概率密度。f(x)xO 2( )n 圖圖5-5顯然，在自由度顯然，在自由度n取定以后，取定以后， 的值只與的

7、值只與 有關(guān)。有關(guān)。 2( )n 2 2分布的分布的 上側(cè)分位點上側(cè)分位點222( )222( ),01 ,( )()()()nnXnP Xnf x dxn定義 ：設(shè)對于給定的正數(shù) （）稱滿足條件的點為分布的上側(cè)分位點。例如：當(dāng)例如：當(dāng) n = 21， = 0.05 時，由附表時，由附表3可查得，可查得，20.05(21) 32.67，即即 2(21)32.670.05.P 二、二、 分布分布定義定義3: 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量XN(0，1)，Y 2(n) ，且，且X與與Y相互相互獨立獨立，則稱統(tǒng)計量，則稱統(tǒng)計量 XTYn 服從自由度為服從自由度為 n 的的 t 分布，分布， 記作記作t分布的概

8、率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為Tt(n).1221()2( )(1),()( )2nntf ttnnn 其圖象如圖其圖象如圖 5-6 所示，其形狀類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布所示，其形狀類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的圖象。的概率密度函數(shù)的圖象。當(dāng)當(dāng) n 較大時，較大時， t 分布分布近似于近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t定理定理4設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則統(tǒng)計量的樣本，則統(tǒng)計量證：證：由于由于與與S 2相互獨立，且相互獨立，且 X(0,1),XUNn 222(1)(1)nSn 由定義由定義3得得22 (1)(1)(1)XnXTt nSnnSn

9、 (n/ 1)XTSnt定理定理5 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn1) 和和 (Y1，Y2，Yn2) 分分別是來自正態(tài)總體別是來自正態(tài)總體N( 1 ， 2) 和和 N( 2 ， 2)的樣本，且的樣本，且它們相互獨立，則統(tǒng)計量它們相互獨立，則統(tǒng)計量121212() (2)(5.10)11nXYTt nnSnn 其中其中22112212(1)(1),2nnSnSSnn 、21S22S分別為兩總體的樣本方差。分別為兩總體的樣本方差。1222122222122112212222222112212221212122X()(0,1)(1)(1)(1),(1)(1)(1)(2)3()(nn2)11nYNnnnSnS

10、nnnSnSnnXYtTSSSnn獨證 明 ： 由 例 知且與相 互， 由分 布 的 性立質(zhì) 知知再 由 定 義 分布的分布的 上側(cè)分位點上側(cè)分位點對于給定的對于給定的 (0 45時，如無詳細(xì)表格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)時，如無詳細(xì)表格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布代替正態(tài)分布代替t分布查分布查t (n)的值的值. 即即當(dāng)當(dāng) n45時時， t (n) u 一般的一般的t分布臨界值表中，詳列至分布臨界值表中，詳列至n=30，當(dāng)，當(dāng)n30就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)來近似來近似.三、三、F F分布分布服從第一自由度為服從第一自由度為n1，第二自由度為，第二自由度為n2的的F分布，分布，定義定義5.5 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X 2(n1)、Y 2(n2)，且，且與相互獨立，則稱隨機變量與相互獨立，則稱隨機變量 12X nFY n 記作記作FF(n1，n2)，其概率密度函數(shù)為：其概率密度函數(shù)為：11211222(1),0( )0,0nnnnAyyyf yny 其中其中11212122()2() ,() ()22nnnnAnnn 其圖形見圖其圖形見圖5-9 (P108)。 1X性質(zhì)性