二重積分的概念與性質40033

1、1第九章第九章 重重 積積 分分Ozyx2 重積分是定積分的推廣和發(fā)展重積分是定積分的推廣和發(fā)展.其同定積分其同定積分一樣也是某種確定和式的極限一樣也是某種確定和式的極限,其其基本思想基本思想是四是四步曲步曲: 分割、取近似、求和、取極限分割、取近似、求和、取極限. 定積分的被積函數是一元函數定積分的被積函數是一元函數,其積分區(qū)域其積分區(qū)域是一個確定區(qū)間是一個確定區(qū)間. 而二重、三重積分的被積函數是二元、三而二重、三重積分的被積函數是二元、三元函數元函數,其積分域是一個平面有界閉區(qū)域和空其積分域是一個平面有界閉區(qū)域和空間有界閉區(qū)域間有界閉區(qū)域. 重積分有其廣泛的應用重積分有其廣泛的應用.序序

2、言言3問題的提出問題的提出二重積分的概念二重積分的概念二重積分的性質二重積分的性質小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)double integral第一節(jié)第一節(jié) 二重積分二重積分的概念的概念與性質與性質第九章第九章 重積分重積分4一、問題的提出一、問題的提出定積分中會求平行截面面積為已知的定積分中會求平行截面面積為已知的 一般立體的體積如何求一般立體的體積如何求先從先從曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積開始開始.而而曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積的計算問題的計算問題,一般立體的體積可分成一些比較簡單的一般立體的體積可分成一些比較簡單的 回想回想立體的體積、立體的體積、 旋轉體的體積旋轉體的體積.曲頂柱體的

3、體積曲頂柱體的體積.二重積分的一個模型二重積分的一個模型.可作為可作為二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質5),(yxfz 曲頂柱體體積曲頂柱體體積=特點特點1曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積D困難困難曲頂柱體曲頂柱體0),( yxf),(yxfz 以以xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D為底為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面軸的柱面,側面以側面以頂是曲面頂是曲面且在且在D上連續(xù)上連續(xù)).oyxz曲頂曲頂頂是曲的頂是曲的二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質6柱體體積柱體體積 = 特點特點 分析分析曲邊梯形面積是如何求曲邊梯形面積是如何求以直代曲、以直代曲

4、、如何創(chuàng)造條件使如何創(chuàng)造條件使 解決問題的思路、步驟與解決問題的思路、步驟與回憶回憶思想是思想是分割、分割、平頂平頂平平曲曲這對矛盾互相轉化這對矛盾互相轉化與與以不變代變以不變代變.曲邊梯形面積曲邊梯形面積的求法類似的求法類似取近似、取近似、 求和、求和、 取極限取極限. .二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質 底面積底面積高高7步驟如下步驟如下用若干個小平用若干個小平頂柱體體積之頂柱體體積之和和D),(yxfz 先任意分割曲頂柱體的底，先任意分割曲頂柱體的底， V曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積并任取小區(qū)域并任取小區(qū)域，近似表示近似表示曲頂柱體的體積，曲頂柱體的體積，iiniif ),(10

5、lim 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質xzyO),(ii ),(iif i 8(1) 分割分割相應地此曲頂相應地此曲頂柱體分為柱體分為n個小曲頂柱體個小曲頂柱體.(2) 取近似取近似iii ),(第第i個小曲頂柱體的體積的近似式個小曲頂柱體的體積的近似式 iVn ,21(用用 表示第表示第i個子域的面積個子域的面積) .i 將域將域D任意分為任意分為n個子域個子域在每個子域內任取一點在每個子域內任取一點ni, 3 , 2 , 1 iiif ),(二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質9(3) 求和求和 即得曲頂柱體體積的近似值即得曲頂柱體體積的近似值: (4) 取極限取極限)趨于零

6、趨于零,iiniifV ),(lim10iiinif ),(1iiinifV ),(1求求n個小平頂柱體體積之和個小平頂柱體體積之和令令n個子域的直徑中的最大值個子域的直徑中的最大值(記作記作上述和式的極限即為上述和式的極限即為曲頂柱體體積曲頂柱體體積二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質102. 非均勻平面薄片的質量非均勻平面薄片的質量(1) 將薄片將薄片分割分割成成n個個小塊，小塊，看作看作均勻薄片均勻薄片. iM(2) M(3) M(4)近似近似 任取小塊任取小塊 i 設有一平面薄片設有一平面薄片,DxOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域占有占有),(),(yxyx 處的面密度為處的面密度為在

7、點在點Dyx在在假定假定),( ,上連續(xù)上連續(xù)求平面薄片的質量求平面薄片的質量M.iii ),(iinii ),(1 iinii ),(1 0lim 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質xyO),(ii i 11也表示它的面積也表示它的面積,),(上的有界函數上的有界函數是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域設設Dyxf,個小區(qū)域個小區(qū)域表示第表示第其中其中ii ),(iii 上任取一點上任取一點在每個在每個 二、二重積分的概念二、二重積分的概念1. 二重積分的定義二重積分的定義定義定義個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域任意分成任意分成將閉區(qū)域將閉區(qū)域nD,21n 作乘積作乘積 iiif ),(), 2 , 1(ni

8、 并作和并作和 .),(1iiniif 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質12,d),( Dyxf 這和式這和式則稱此則稱此零時零時,如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于趨近于 的極限存在的極限存在,iiniif ),(1極限為函數極限為函數二重積分二重積分, ,上的上的在閉區(qū)域在閉區(qū)域Dyxf),(記為記為即即iiniiDfyxf ),(limd),(10二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質13曲頂柱體體積曲頂柱體體積,d),( DyxfV 它的面密度它的面密度.d),( DyxM 曲頂曲頂 即即在底在底D上的上的二二重積分重積分,),(yxfz

9、 平面薄片平面薄片D的質量的質量即即二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質0 ),(yx 在薄片在薄片D上的二重積分上的二重積分, 14 2. 在直角坐標系下用在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域劃分區(qū)域D, Dyxf d),(二重積分可寫為二重積分可寫為注注定積分中定積分中1.重積分重積分與與定積分的區(qū)別定積分的區(qū)別:重積分中重積分中, 0d xd可正可負可正可負.yxdd Dyxf),(則面積元素為則面積元素為二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質Oxyyxddd 15中中iiniiDfyxyxf ),(limdd),(10(A) 最大小區(qū)間長最大小區(qū)間

10、長;(B) 小區(qū)域最大面積小區(qū)域最大面積;(C) 小區(qū)域直徑小區(qū)域直徑;(D)最大小區(qū)域直徑最大小區(qū)域直徑.D選擇題選擇題).(是是 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質162. 二重積分的存在定理二重積分的存在定理 設設f(x,y)是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數上的連續(xù)函數 Dyxf d),(存在存在.連續(xù)函數一定可積連續(xù)函數一定可積注注 今后的討論中今后的討論中,積積分區(qū)域內總是連續(xù)的分區(qū)域內總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數時或是分片連續(xù)函數時,則則都假定被積函數在相應的都假定被積函數在相應的二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質17(2)3. 二重積分的幾何意義二重積分的幾何意

11、義(3) (1)在在D上的上的二重積分就等于二重積分就等于二重積分是二重積分是二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負的而在其它的部分區(qū)域上是負的. 這些這些部分區(qū)域上的部分區(qū)域上的柱體體積的代數和柱體體積的代數和.那末那末,),(yxf,0),(時時當當 yxf,0),(時時當當 yxf柱體體積的負值柱體體積的負值;柱體體積柱體體積;在在D上的若干部分區(qū)域上是正的上的若干部分區(qū)域上是正的,),(yxf當當二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質18例例 設設D為圓域為圓域222Ryx 二重積分二重積分 DyxR d222=解解 222yxRz 上述積分等于上述積分等于 DyxR d222

12、332R 由由二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義可知，可知，是上半球面是上半球面上半球體的體積：上半球體的體積：二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質RyxzOD19性質性質為常數為常數, 則則(二重積分與定積分有類似的性質二重積分與定積分有類似的性質)二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質三、二重積分的性質三、二重積分的性質 Dyxgyxf d),(),( 、設設 DDyxgyxf d),(d),(根據根據二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義,確定積分值確定積分值,d)(22 Dyxb0 ab222ayxD 為為其中其中ba2 332a 20以以1為高的為高的 性質性質2 將區(qū)域將區(qū)域

13、D分為兩個子域分為兩個子域 Dyxf d),(性質性質3 若若 為為D的面積的面積)(21DDD oxyD1D2 注注 D d既可看成是以既可看成是以D為底為底,柱體體積柱體體積. 對積分區(qū)域的可加性質對積分區(qū)域的可加性質.D1與與D2除分界線除分界線外無公共點外無公共點.D 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf 21,DD D d1 D d又可看成是又可看成是D的面積的面積.二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質21二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質),(yxf若若在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D1上可積上可積,且且,21DD 則必有則必有.dd),(dd),(21 DDyxyxfyxy

14、xf22 Dyxf d),(特殊地特殊地性質性質4(4(比較性質比較性質) ),(),(yxgyxf 設設 ,),(Dyx 則則 Dyxg d),( Dyxf d),( Dyxf d),( 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質例例 41222222ddsinyxyxyxyx 的值的值= ( ).(A) 為正為正(B) 為負為負(C) 等于等于0(D) 不能確定不能確定為負為負B23選擇題選擇題 比較比較與與 d)(21 DyxI, 1)1()2( :22 yxD其中其中(D) 無法比較無法比較.oxy 1 12C(2,1)性質性質4(4(比較性質比較性質) ).)()(32yxyx d)(

15、32 DyxI的大小的大小,則則( ).)(21IIA .)(21IIB .)(21IIC 1 yx,),(Dyx , 1 yx二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質24220yx 0)ln(22 yx解解例例 判斷判斷的正負號的正負號. 1|22dd)ln(yxryxyx時時當當1| yxr 2|)|(|yx 1 故故)ln(22yx 0 1|22dd)ln(yxryxyx于是于是0 又當又當,1|時時 yx二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質25 DMyxfm d),(幾何意義幾何意義以以m為高和以為高和以M為高的兩個為高的兩個證證 D d再用再用性質性質1和和性質性質3, 性質性質

16、5(5(估值性質估值性質) )則則,),(Myxfm 設設為為D的面積的面積,Myxfm ),(,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂柱體則曲頂柱體的體積介于以的體積介于以D為底為底,平頂柱體體積之間平頂柱體體積之間.證畢證畢. D d D d Dyxf d),(),(),(yxgyxf 設設,),(Dyx 則則 Dyxg d),( 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質2622yxe d)(22 Dyxe222d)(aDyxeabeab 解解估值性質估值性質 DMyxfm d),(區(qū)域區(qū)域D的面積的面積 ab 在在D上上220yx 例例 不作計算不作計算,d)(22的值的值估計估計

17、 DyxeI).0( , 1:2222abbyaxD 是橢圓閉區(qū)域是橢圓閉區(qū)域其中其中2a 2ae 0e 12ae 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質mM27性質性質6(6(二重積分中值定理二重積分中值定理) ),( Dyxf d),(體積等于體積等于),( f以以 顯然顯然 DMyxfm d),(幾何意義幾何意義證證在閉區(qū)域在閉區(qū)域設設),(yxfD上連續(xù)上連續(xù),為為D的面積的面積, 則在則在D上至少存在一點上至少存在一點使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂柱體則曲頂柱體以以D為底為底 為高的平頂柱體體積為高的平頂柱體體積.將將性質性質5中不等式各除以中不等

18、式各除以 DMyxfm d),(1二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質. 0 , 有有28 DMyxfm d),(1的最大值的最大值M與最小值與最小值m之間的之間的. Dyxf d),(1由閉區(qū)域上連續(xù)函數的介值定理由閉區(qū)域上連續(xù)函數的介值定理. Dyxf d),(1兩端各乘以兩端各乘以 ),( 點的值點的值證畢證畢.即是說即是說,確定的數值確定的數值是介于函數是介于函數),(yxf在在D上至少存在一點上至少存在一點使得函數在該使得函數在該),( f 與這個確定的數值相等與這個確定的數值相等,即即二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質, 29選擇題選擇題222 yx).(d),(1lim

19、22220是是極限極限 yxyxf(A)(B)(C) (D)提示提示: :B是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域D:),(yxf設設上的上的連續(xù)函數連續(xù)函數,不存在不存在.).0 , 0(f).1 , 1(f).0 , 1(f利用積分中值定理利用積分中值定理.二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質30利用利用積分中值定理積分中值定理,),(lim0 f 解解即得即得: 222d),(1lim20 yxyxf求求 222222d),(d),( yxyxfyxf222 yx),( 222d),(1lim20 yxyxf).0 , 0(f ,0時時當當 ),( 點點由函數的連續(xù)性知由函數的連續(xù)性知,),(2

20、f顯然顯然,).0 , 0(其中點其中點是圓域是圓域內的一點內的一點.二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質 ),(d),(fyxfD 31 補充補充在分析問題和算題時常用的在分析問題和算題時常用的設設區(qū)域區(qū)域D關于關于x軸對稱軸對稱,如果函數如果函數 f(x, y)關于坐標關于坐標y為偶為偶函數函數. Dyxf d),(oxyD1性質性質7 7）即即),(),(yxfyxf 則則D1為為D在第在第 一象一象限中的部分限中的部分,對稱性質對稱性質 1d),(2Dyxf 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質坐標坐標y為奇函數為奇函數0d),( Dyxf ),(),(yxfyxf 即即則則設

21、設區(qū)域區(qū)域D關于關于x軸對稱軸對稱,如果函數如果函數 f (x, y)關于關于32設設f(x, y)關于關于y為偶為偶函數函數, D1i i oxy Dniiiiiiiyxfyxfyxf10),(),(limd),( ).,(),(yxfyxf 即即 證證),(),(iiiiyxfyxf 由由則則),(iiyx),(iiyx 得得二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質軸的軸的分為許多對稱于分為許多對稱于將域將域xD,子域子域內取一內取一中的子域中的子域在在iD 1軸的子域軸的子域與其對稱于與其對稱于點點xyxii),(,i 也記成也記成).,(iiyx 取一點取一點33iiniiyxf ),

22、(lim210 1d),(2Dyxf 坐標坐標y為奇函數為奇函數0d),( Dyxf 自證自證! ! Dniiiiiiiyxfyxfyxf10),(),(limd),( ),(),(yxfyxf 即即則則設設區(qū)域區(qū)域D關于關于x軸對稱軸對稱,如果函數如果函數 f(x,y)關于關于二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質34這個性質的這個性質的幾何意義幾何意義如圖如圖:OxyzOxyz 區(qū)域區(qū)域D關于關于x軸對稱軸對稱f(x,y)關于坐標關于坐標y為偶為偶函數函數 區(qū)域區(qū)域D關于關于x軸對稱軸對稱f(x,y)關于坐標關于坐標y為奇函為奇函數數二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質35 Dyxf

23、 d),(如果函數如果函數 f(x,y)關于坐標關于坐標x為奇函數為奇函數0d),( Dyxf oxyD1如果函數如果函數 f(x,y)關于坐標關于坐標x則則,),(),(）即即yxfyxf 為偶為偶函數函數,),(),(）即即yxfyxf 則則類似地類似地,設設區(qū)域區(qū)域D關于關于y軸對稱軸對稱,且且D1為為D在在第一象限中的部分第一象限中的部分, 1d),(2Dyxf 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質36設設D為圓域為圓域(如圖如圖) d2Dy d212 Dy d3Dy0 d2Dx d222 Dx d3Dx0D1為上半圓域為上半圓域D2為右半圓域為右半圓域二重積分的概念與性質二重積分

24、的概念與性質yxOyxO37,d)sin()sin(22 DyxxyA 計算二重積分計算二重積分 解解D積積分分區(qū)區(qū)域域)sin()sin(22yxxy 和和由性質得由性質得 Dxy d)sin(2 DyxxyA d)sin()sin(22000 例例,是奇函數是奇函數和和分別關于分別關于yx,軸軸都都對對稱稱軸軸、關關于于yx d)(sin2yxD 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質11, 11),( yxyxD其中其中38 ).(ddsincos等于等于則則yxyxxyD 為頂點的三角形區(qū)域為頂點的三角形區(qū)域,(A).ddsincos21yxyxD (B).dd21yxxyD (C)

25、 .ddsincos41yxyxxyD (D) 0.A1991年研究生考題年研究生考題, 選擇選擇,3分分)1, 1()1 , 1(),1 , 1( 和和平面上以平面上以是是設設xOyDD1是是D在第一象限的部分在第一象限的部分,二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質39 yxyxxyDddsincos D1D2D3D4記記 I=則則I= I1+ I2, 其中其中I1=yxxyDdd I2=yxyxDddsincos 而而 I1 =yxxyDdd yxxyDDdd21 yxxyDDdd43 D1與與D2關于關于y軸對稱軸對稱D3與與D4關于關于x軸對稱軸對稱xy關于關于x和關于和關于y都是奇

26、函數都是奇函數000 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質)1 , 1( )1 , 1( )1, 1(xyO40而而 I2 =yxyxDddsincos yxyxDDddsincos21 yxyxDDddsincos43 是是關于關于x的偶函數的偶函數,yxyxDddsincos21 關于關于y的奇函數的奇函數. 所以所以 yxyxDddsincos21 yxyxDddsincos21 21III 0 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質yxsincosD1D2D3D4)1 , 1( )1 , 1(xyO )1, 1(41 今后在計算重積分利用今后在計算重積分利用對稱性簡化計算對稱性簡化計算時時, 注意注意被積函數的奇偶性被積函數的奇偶性. . 積分區(qū)域積分區(qū)域的對稱性的對稱性, ,要特別注意考慮兩方面要特別注意考慮兩方面:二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質42 思考思考 Dyxf d),( iDyxf d),(當當f為為關于關于x且且關于關于y的偶函數的偶函數時時：當當f為為關于關于x或或關于關于y的奇函數的奇函數時時： Dyxf d),(04Di是區(qū)域是區(qū)域D位于第位于第i(i=1,2,3,4)象限的區(qū)域象限的區(qū)域 設區(qū)域