梯形常用輔助線(xiàn)的做法

1、梯形常用輔助線(xiàn)的做法平移一條對(duì)角線(xiàn)作悌形的中位線(xiàn) 過(guò)棉形一腰的中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形平移梯形的腰利用一腰中點(diǎn)癥轉(zhuǎn)將梯形補(bǔ)成平行四邊形將梯形補(bǔ)成等腰梯形1.平移梯形一腰或兩腰，把梯形的腰、兩底角等轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中，同時(shí)還得 到平行四邊形.【例1】已知：如圖,在梯形ABC呼上- - " - 1 .求證:分析：平移一腰BC到DE,將題中已知條件轉(zhuǎn)化在同一等腰三角形中解決，即AB=2CD.證明：過(guò)D作I.Li'iJm ,交AB于E. AB平行于CD,且二丄,四邊形丄二_ 是菱形.又V】_二二為等邊三角形.【例2】如圖,在梯形ABCD中,AD/ BC , E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),若

2、B M F N CI . . AD = 7 ,BC = 15 , 求 EF .分析：由條件-丨-',我們通過(guò)平移AB、DC ;構(gòu)造直角三角形 MEN使EF恰好是 MEN的 中線(xiàn).解：過(guò)E作EM/ AB ,EN / DC ,分別交BC于M、N , _-二一是直角三角形1 ,丄 一二、：分別是：、丄T的中點(diǎn),“EF 丄 二 4為二.的中點(diǎn),-變式：如圖1,梯形ABCD勺上底AB=3,下底CD=8腰AD=4求另一腰BC的取值范圍。圖1梯形匸丄 的面積相等求證：二匸三".析解：過(guò)點(diǎn)B作BM/AD交CD于點(diǎn)M則梯形ABCD轉(zhuǎn)化為 BCM和平行四邊形 ABMD 在 BCM中, BM=AD

3、=4 CM=CB DM=CB AB=8- 3=5,所以 BC的取值范圍是：5 4<BC<升 4，即 1<BC<Q2. 延長(zhǎng)梯形的兩腰，使它們交于一點(diǎn)，可得到兩個(gè)相似三角形或等腰三角形、直 角三角形等進(jìn)一步解決問(wèn)題.【例3】.如圖,在梯形一匸中，一 -/，匚，梯形一的面積與分析：條件是兩個(gè)梯形的面積相等，而結(jié)論是三線(xiàn)段長(zhǎng)的 平方關(guān)系，如果延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)，就可得到三個(gè)相似的 三角形，再利用相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系變形 就可得出結(jié)論.證明：延長(zhǎng)丄;一、一' 使它們相交于J點(diǎn),亠；dOSF2血F加-少eP$駆應(yīng)助=応迦F 一爲(wèi)血同理,bc2-ef2EpdOSF

4、故得山“一二二 L .'變式 1 如圖5，在梯形 ABCD中,AD/BC,/ B=50°,Z C=80°, AD=2 BC=5,求 CD的長(zhǎng)。析解：延長(zhǎng)BA CD交于點(diǎn)巳在 BCE中，/ B=50°,Z C=80°。所以/ E=50°,從而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EG ED=5- 2=3變式2:如圖所示，四邊形 ABCD中, AD不平行于 BC AC= BD AD= BC.判斷四邊形 ABCD 的形狀，并證明你的結(jié)論.變式3：（延長(zhǎng)兩腰）如圖，在梯形 二中為二、_'!的中點(diǎn)。3. 從梯形上底的兩端向下底

5、引垂線(xiàn)作高，可以得到一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角 形然后利用構(gòu)造的直角三角形和矩形解決問(wèn)題.例4.如圖,在梯形二二中，一m 二-工.求證：一一二分析：過(guò)上底向下底作兩高，構(gòu)造Rt,然后利用兩三角形全等解決問(wèn)題 證明：分別過(guò)D C、作AB的垂線(xiàn),垂足分別為E、F.丄二一 一變式：如圖7,在直角梯形 ABCD中, AB/DC,/ ABC=90 , AB=2DC對(duì)角線(xiàn) AC丄BD,垂 足為F,過(guò)點(diǎn)F作EF/AB，交AD于點(diǎn)E,求證：四邊形 ABFE是等腰梯形。析證：過(guò)點(diǎn)D作DGL AB于點(diǎn)G則易知四邊形 DGBC1矩形，所以DC=BG因?yàn)锳B=2DC所以AG=GB從而 DA=DB 于是/ DAB=/ DB

6、A又EF/AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。如圖8,在梯形 ABCD中, AD為上底，AB>CD求證：BD>ACA析證：作AEL BC于E,作DF丄BC于F,則易知 AE=DF在Rt ABE和Rt DCF中，因?yàn)?AB>CD AE=DF所以由勾股定理得 BE>CF即 BF>CE 在 Rt BDF和 Rt CAE中由勾股定理得BD>AC4. 平移對(duì)角線(xiàn)一般是過(guò)上底的一個(gè)端點(diǎn)作一條對(duì)角線(xiàn)的平行線(xiàn) ，與另一底的延 長(zhǎng)線(xiàn)相交,得到一個(gè)平行四邊形和三角形，把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角 形問(wèn)題解決.【例5】如圖，等腰梯形一一中，二 _二，2 _f ,且二，一二 是

7、高，是中位線(xiàn),求證:工;購(gòu)二丄（CD+血）w分析：由梯形中位線(xiàn)性質(zhì)得1,欲證丄一二,只要證' 汀過(guò)C點(diǎn)作C別仍,交血的延長(zhǎng)線(xiàn)于E ,就可以把、一 和移到三角形二中,再證明等式成立就簡(jiǎn)單多了.證明：過(guò)一"點(diǎn)作一二交丄的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)二，則四邊形丄是平行四D C邊形.VCD , EC=BD四邊形是等腰梯形,又.膽丄BD，.必丄饑,C月丄應(yīng)AH = HEJCH = -AE2C/i = -（AB+CD）【例6】.已知：如圖,在梯形中.求證：梯形是 等腰梯形.證明：過(guò)D作丄二一,交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于E.則四邊形是平行四邊形.D C又二丄, 一于是，可得A0A8 = AC7M二梯形ABCD是等腰梯

8、形.變式 1 如圖 3,在等腰梯形 ABCD中, AD/BC, AD=3 BC=7, BD=5<2，求證：AC丄BD。析解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BC CE=BD=5.2，所以 AE=AD DE=ADF BC=3 7=10。在等腰梯形 ABCD中, AC=BD=5 2 , 所以在 ACE 中，AC2 CE2 =(5.,2)2 ® 2)2 =100 二AE2，從而 AC丄 CE 于是 ACL BC。變式2:(平移對(duì)角線(xiàn))已知梯形 ABCD勺面積是32,兩底與高的和為16,如果其中一條對(duì)角線(xiàn)與兩底垂直，則另一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為

9、高DH=12cm求梯形ABCD變式 3:如圖 4,在梯形 ABCD中, AD/BC, AC=15cm BD=20cm 的面積。ACED是平行四邊形，即析解：過(guò)點(diǎn)D作DE/AC，交二 S.DcE 。所以S梯形 ABCD - S .DBE由勾股定理得 EH = . DE2 -DH2 = AC2 -DH2h：152 -122 =9 (cm)BH h ；BD2 -DH2 =孑202 - 122 =16 (cm)11所以 S DBEBE DH (9 16) 12=150(cm2)，即梯形 ABCD勺面積是 150cm2。225. 遇到梯形一腰中點(diǎn)的問(wèn)題可以作出梯形的中位線(xiàn) ，中位線(xiàn)與上、下底都平行 且三

10、線(xiàn)段有數(shù)量關(guān)系或利用“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn) 并延長(zhǎng)與下底延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形解決問(wèn)題.【例7】.已知：如圖4,在梯形中二& 是一 的中點(diǎn),且B亠二.求證：亠二證明：取J的中點(diǎn)F,連結(jié)FE.則AD+BC = 2EF呼二苕.亠-【例8】.已知：梯形 ABCD中AD BC,E為AB中點(diǎn),且AM BC=DC , 求證: DEL EC,DE平分/ ADC,CE平分/ BCD證法1:取DC中點(diǎn)F,連結(jié)EF,E為AD中點(diǎn),則EF為梯形的中位線(xiàn)1 EF/ AD/ BC EF= (AD+ BC)/ 仁/ 5, / 3=7 6/ DC=A+ BC2 EF= DC=DF=CF7

11、1=72, 73=747 2=7 5, 7 4=7 6 7 1 + 7 3+7 2+7 4=180° 7 1 + 7 3=90° DELC,DE平分 ADC,CE平分7 CD證法2:延長(zhǎng)CE與DA延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)F,過(guò)程略.證法3:在DC上截取DF=AD連結(jié)AF BF、EF解決.變式 1如圖9,在梯形 ABCD中, AB/DC，0是BC的中點(diǎn)，/ AOD=90 ,求證：AB+ CD=AD圖91析證：取AD的中點(diǎn)E,連接0E則易知0E是梯形ABCD的中位線(xiàn)，從而OEd （AB+ CD）2在厶 AOD中，/ AOD=90 , AE=DE所以O(shè)E二丄人。 2由、得AB+ CD=AD

12、變式2:在梯形 ABCD中, AD/ BC / BAD=90, E是DC上的中點(diǎn)，連接 AE和BE,求/AEB=2/ CBE解、分析：分別延長(zhǎng) AE與BC，并交于F點(diǎn)，從而等到人。£與厶FCE是全等的，在利用“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半就可以求出結(jié)論”。解：分別延長(zhǎng) AE與BC，并交于F點(diǎn)/ BAD=90且 AD/ BC/ FBA=180/ BAD=90又 AD/ BC / DAE=/ F（兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等）/ AED=/ FEC（對(duì)頂角相等）DE=EC（E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)） ADEA FCE （AAS AE=FE在厶 ABF 中/ FBA=9d 且 AE=FE BE=F

13、E （直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半） 在厶 FEB中 / EBF=/ FEB/ AEB=/ EBF+ / FEB=2/ CBE6.已知梯形兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線(xiàn)中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交， 使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線(xiàn)。例10如圖10,在梯形 ABCD中, AD/BC, E、F分別是BD AC的中點(diǎn)，求證：(1)1EF/AD ; (2) EF 二丄(BC _AD)。2圖10析證：連接DF,并延長(zhǎng)交 BC于點(diǎn)G,易證 AFDA CFG貝U AD=CG DF=GF由于DE=BE所以EF是厶BDG的中位線(xiàn)1從而 EF/BG，且 EF BG2因?yàn)?AD/BG, BG 二 BC -

14、CG 二 BC -AD1所以 EF/AD , EF（BC - AD）27.當(dāng)遇到以上的梯形輔助線(xiàn)添加后不能解決問(wèn)題時(shí)，可以特題特解，結(jié)合具體問(wèn) 題中的具體條件，尋求特殊的方法解決問(wèn)題.比如可將對(duì)角線(xiàn)繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) L.、利用一腰中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1一、將梯形補(bǔ)成平行四邊形或三角形問(wèn)題【例9】.已知：如圖5,在梯形ABCD中,' M、N分別是BD、AC的中點(diǎn).求證：證明：連結(jié)并延長(zhǎng)二,交一T于e.則 m 二-厶.I又N是AC的中點(diǎn),MN-EC 2 ,MlfBC,MN = -BC-AD故一取一腰的中點(diǎn)，連結(jié)頂點(diǎn)和這個(gè)中點(diǎn)并延長(zhǎng)與對(duì)邊的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，可得兩個(gè)全 等三角形.【例10】.如圖,梯形二二 中， 】

15、，丄、心 分別平分和；，二D CF AB為丄 中點(diǎn),求證-.分析：要證明丄、一-,可以利用二為一中點(diǎn),延長(zhǎng) 丄 與小 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于：，丄丄 !-,得到,再證明_ '一 一 J 即可.證明：延長(zhǎng) 丄、丄 交于點(diǎn)F,顯然丄二丄.CD二畝 CEFBJ丄丄是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).評(píng)注：添加輔助線(xiàn)后，溝通了丄T、丄二 與一' 的聯(lián)系，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì) 得出亠 -,從而問(wèn)題獲得解決.利用一腰中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)L【例11】.已知：如圖,在梯形中咒三三是cd的中 點(diǎn).求證:亠一 _.證明：延長(zhǎng) AE BC相交于點(diǎn)F.易證二二一二_：T.曲二CF , AE = EF二；， m Jr 即 yi. BE是等腰

16、底邊上的高. 曲丄朋.說(shuō)明：在圖5中，丄上二相當(dāng)于由工二繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)得到；在圖6中，二匸是由二亠繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)L.得到.【例12】.如圖,梯形二匸中，匸二，二 為腰丄T的中點(diǎn),求證:MASCO證明：延長(zhǎng)使丄 二，延長(zhǎng)上，使一丄,則四邊形分析：上丄I與梯形ABCD勺面積關(guān)系不明顯,如果利用梯形 助特點(diǎn)把它補(bǔ)成如圖7的平行四邊形，它們之間的關(guān)系就清晰了梯形補(bǔ)成平行 四邊形,各種關(guān)系明顯、直觀(guān)，解題思路清晰是平行四邊形廠(chǎng)為亠 的中點(diǎn),連結(jié)丄工，丄工 與上 交于點(diǎn)-連結(jié)、二，則心械酉址國(guó)EF敘=心平肝四竝黴總CSF H丄，二 是_T 中點(diǎn),T為丄中點(diǎn)且是丄工中點(diǎn).四邊形 二：_是平行四邊形,如 .血二產(chǎn)心J

17、【模擬試題】1. 若等腰梯形的銳角是 60°,它的兩底分別為11cm 35cm,則它的腰長(zhǎng)為 cm2. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中, AD/ BC / B= 60° , AD= 2, BC= 8，則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（）A. 19B. 20C.21D.223. 如圖所示，AB/ CD AE丄DC AE= 12, B»20, AC= 15,則梯形 ABCD的面積為(A. 130 B. 140 C. 150 D. 1604.如圖所示，在等腰梯形BC= 70,求BD的長(zhǎng).EDCABCD中，已知 AD/ BC,對(duì)角線(xiàn) AC與BD互相垂直，且AD= 30,5.如圖所示

18、，已知等腰梯形的銳角等于60°,它的兩底分別為 15cm和49cm求它的腰長(zhǎng)an6.如圖所示，已知等腰梯形 DE的長(zhǎng).ABCD中, AD/ BC, AC丄 BD, AD+ BC= 10, DEI BC于 E,求anCE7. 如圖所示，梯形 ABCD中, AB/ CD, / D= 2/ B, AM DC= 8,求 AB的長(zhǎng).DC8. 如圖所示，梯形 ABCD中, AD/ BC, ( 1)若E是AB的中點(diǎn)，且 AD+ BC= CD貝U DE與 CE有何位置關(guān)系？ (2) E是/ ADC與Z BCD的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)， 則DE與CE有何位置關(guān)系？【課后演練】1 (本小題滿(mǎn)分5分)已知：如圖，

19、梯形ABCD 中，AD / BC，AB=DC，Z BAD、/ CDA 的平分線(xiàn) AE、DF分別交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E、F.求證：CE=BF.2 .女口圖，在梯形 ABC fD ，A D/B ,CBD=CD, NBDC=90° AD =3, BC=8 .求 AB 的長(zhǎng).3.如圖6,在梯形ABCD中, 求BE的長(zhǎng).4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,A （ 2屈,0）, B （ 2麗,2）AD / BC，/A =90，/C =45 , DE=EC , AB=4,AD=2 ,把矩形OABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得到矩形OA1B1C1.(1 )求Bi點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求過(guò)點(diǎn)(2，0)且平分矩形OA&C,面

20、積的直線(xiàn)I方程；(3 )設(shè)(2)中直線(xiàn)|交y軸于點(diǎn)P,直接寫(xiě)出 PC1O與.PB1A1的面積和的值及APOA與PBiCi的面積差的值.丫OA備用圖5.如圖，矩形紙片ABCD中, BC=4 AB=3點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B C重合）現(xiàn)將 PCD& PD翻折，得到 PC' D;作/BPC的角平分線(xiàn)，交 AB于點(diǎn)E.設(shè)BP=x,BE= y,則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是6.已知：如圖，梯形ABCD中，DC / AB, AD=BC,對(duì)角線(xiàn) AC、BD交于點(diǎn) O, / COD=60 若 CD=3,AB=8，求梯形 ABCD的高.7 .已知如圖，直角梯形 ABCD 中，AD / BC, AB丄BC , AD=2 , BC=DC=5，點(diǎn)P在BC 上移動(dòng)，則當(dāng)PA+PD取最小值時(shí)， APD中邊AP上的高為 .8如圖，在矩形 ABCD中，AB=2，BC=1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)， 沿路線(xiàn)B > C > D作勻速運(yùn)動(dòng)，那么 ABP的面積S與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng) 的路程x之間的函數(shù)圖