北交大激光原理 第4章 諧振腔部分

1、第三章第三章 光學諧振腔理論光學諧振腔理論一、一、學習要求與重點難點學習要求與重點難點學習要求學習要求1 了解光學諧振腔的構成、分類和模式等基本知識，及其研究方法。2 理解腔的損耗和無源腔的單模線寬。3 掌握傳播矩陣和光學諧振腔的穩(wěn)定條件。4 理解自再現模積分本征方程，了解針對平行平面腔模的數值迭代解法，理解針對球面對稱共焦腔模式積分本征方程的近似方法及其解。5 掌握等價共焦腔方法，掌握諧振腔的模式概念和光束特性。6 了解非穩(wěn)腔的模式理論。重點重點1 諧振腔的作用，諧振腔的構成和分類，腔和模的聯系；2 傳播矩陣分析方法；3 光學諧振腔的穩(wěn)定條件；4 模自再現概念；5 自再現模積分本征方程的建立

2、，及其近似；6 球面對稱共焦腔積分本征方程的近似方法，及其解；7 諧振腔的橫縱模式和光束特性；8 穩(wěn)定諧振腔的等價共焦腔。難點難點1 傳播矩陣的近似；2 非穩(wěn)腔；3 模自再現概念；4 自再現模積分本征方程的建立5 球面對稱共焦腔積分本征方程的近似方法，及其解；6 諧振腔的橫縱模式和光束特性；二、知識點總結二、知識點總結 ,mnqTEMm nq 駐波條件自再現模分立的本征態(tài)有限范圍的電磁場形成駐波縱模光的頻率（振蕩頻率，空間分布）模式的形成反映腔內光場的分布諧振腔的作用腔和模的聯系衍射篩選橫模光場橫向能量分布腔內存在的電磁場激光模式模式的表示方法：橫模指數，縱模指數衍射理論：不同模式按場分布，損

3、耗，諧振頻率來區(qū)分，理論方法幾何光學干涉儀理12121212()11)12()10101,1ADADADg gorggLLggRR 論：忽略鏡邊緣引起的衍射效應，不同模式按傳輸方向和諧振頻率區(qū)分粗略但簡單明了光腔的損耗光子的平均壽命無源腔的Q值無源腔的線寬1-1穩(wěn)定腔2（非穩(wěn)定腔適用任何形式的腔，只要列出往返矩陣就能判斷其穩(wěn)定與否1共軸球面腔的穩(wěn)定條件：穩(wěn)定判據臨界腔2只使用于簡單的共軸球面鏡腔（直腔）1 諧振腔衍射積分方程推導 自再現模的概念求解方法引進復常數因子解析解：特殊腔（對稱共焦腔）本征函數振幅和相位分布（等相位面）菲涅爾基爾霍夫積分公式推廣到諧振腔自再現模積分方程數值求解（數值迭代

4、法）本征值模的損耗、相移和諧振頻率22/0000(1)(1)2( , )N11 4( ,1)( ,1)arg(1)2xyLmnmnomonmnmnmnx yc eNRCRCkLmn 基模：角向長橢球函數；本征函數振幅和相位 高階橫模不是很小時，厄密高斯函數相位分布：反射鏡構成等相位面方形鏡：對單程損耗：稱本征值徑向長橢球函數單程相移：共焦諧振頻率：諧振條件2-腔的自再現模2/00002(1)4( , )Narg(21)2mnqrLmnmnmncqmnLx yc ekLmn q 2基模：超橢球函數；本征函數振幅和相位 高階橫模不是很小時，拉蓋爾高斯函數相位分布：反射鏡構成等相位面圓形鏡：單程損耗

5、：只有精確解能夠給出。本征值單程相移：諧振頻率：諧振條件22(21)4mnqcqmnL-q 22222( )00002( , , ( )(1)( )22 ( )limxywzzwLzx y zA Eew zw zfw zz000基模振幅： E模體積腔內行波場等相位面：腔軸線附近近似為球面遠場發(fā)散角：一般穩(wěn)定球面腔共焦腔與穩(wěn)定球面腔的等價關系高斯光束22/0000(1)(1)2( , )N11 4( ,1)( ,1)arg(1)2xyLmnmnomonmnmnmnx yc eNRCRCkLmn 基模：角向長橢球函數；本征函數振幅和相位 高階橫模不是很小時，厄密高斯函數相位分布：反射鏡構成等相位面

6、方形鏡：對單程損耗：稱本征值徑向長橢球函數單程相移：共焦諧振頻率：諧振條件2-腔的自再現模2/00002(1)4( , )Narg(21)2mnqrLmnmnmncqmnLx yc ekLmn q 2基模：超橢球函數；本征函數振幅和相位 高階橫模不是很小時，拉蓋爾高斯函數相位分布：反射鏡構成等相位面圓形鏡：單程損耗：只有精確解能夠給出。本征值單程相移：諧振頻率：諧振條件22(21)4mnqcqmnL-q 22222( )00002( , , ( )(1)( )22 ( )limxywzzwLzx y zA Eew zw zfw zz000基模振幅： E模體積腔內行波場等相位面：腔軸線附近近似為

7、球面遠場發(fā)散角：一般穩(wěn)定球面腔共焦腔與穩(wěn)定球面腔的等價關系高斯光束三、典型三、典型問題的分析思路問題的分析思路1縱模間隔問題根據縱模頻率間隔的公式計算，問題還可以變?yōu)榍婚L如何選擇，可獲得單縱模2qcL輸出等。2分析某一諧振腔的穩(wěn)定性問題這類問題分三種情況，第一種是只由兩個球面鏡組成的共軸球面鏡腔，可以利用下面的穩(wěn)定腔判據公式：121212120101,1g gorggLLggRR 第二種情況是兩個球面鏡組成的共軸球面鏡腔中插入其它光學元件。這時要首先寫出這個諧振腔的傳輸矩陣。利用下面的穩(wěn)定判據公式：()11)12()1ADADAD1-1穩(wěn)定腔2（非穩(wěn)定腔1臨界腔2分析諧振腔各參數所應滿足的條件

8、。第三種情況是非共軸球面鏡腔，如折疊腔和環(huán)形腔。求環(huán)形腔、折疊腔的往返矩陣時，要將其化為直腔，如果考慮象散，需要對往返矩陣的修正。對于共軸球面鏡腔的近(傍)軸光線。而對于環(huán)形腔和折疊腔（非共軸球面腔） ，由于象散，球面鏡在子午面和弧矢2Rf 面的焦距不共點。其中子午面為環(huán)形回路所在平面，弧矢面為包含回路一邊長，垂直于子午面的平面。對于在由光軸組成的平面內傳輸的子午光線，。對于在與此cos2Rf子午垂直的平面內傳輸的弧矢光線，為光軸與球面鏡法線的夾角。2cosRf弧矢3諧振腔損耗問題光學諧振腔積分方程的特征值，它的實部決定腔損耗，特征值的虛部決定光波e 的單程相移。將特征值代入中得：。即表示腔內

9、經11qqUU1iqqUe U ee單程度越后自再現模的振幅衰減。即的實部決定腔損耗，表示每經一次度越的相位滯后，所以的虛部決定的單程相移。單程損耗:2221111mnmnmnmn 單程相移:1argargmnmnmn 共焦腔模的諧振條件22mnq 1(1)221(21)22mnqmnqcqmnLcqmnL方形鏡共焦腔諧振頻率圓形鏡共焦腔諧振頻率4共焦腔問題例如求方形鏡或圓形鏡共焦腔面上各階（低階）橫模的節(jié)線位置。對于方形鏡共焦腔，鏡面上的高階橫模與基模光斑尺寸之比為0021,21msnssswwmnww而圓形鏡共焦腔鏡面上的高階橫模的光斑半徑。只要求得了鏡面上122plsoswplw 基模光

10、斑的大小，就可求出高階橫模的光斑半徑。我們知道方形鏡和圓形鏡鏡面上基模光斑的大小都為。 0sLw方形鏡共焦腔和圓形鏡共焦腔的基模光束的振幅分布、基模光斑尺寸、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角都完全相同?；稣穹植?zwyxezwwEAzyxE222000000,基模光斑尺寸 20202211212fzwfzwfzLzws鏡面上基模的光斑半徑，高斯光束的基模的腰斑半徑，坐標原點選在腔的中心。腰0sw0w斑尺寸： 鏡面上光斑尺寸： 共0022swLfw 0sLw zwfw焦腔基模體積： 高階模體積:202000122sLVL w (模階次愈高模體積愈大)等相位面（共212122120LnmwwL

11、Vnsmsmn焦場的等相位面近似為球面）的曲率半徑： 200000zffR zzfzfz等相位面與共焦腔鏡面重合。 0022LzfR zfL 等相位面為平面 00000;zR zzR z (共焦腔基模光束)遠場發(fā)散角：弧度 2limzw zzfzfzLze2122lim221221 21ln20.9392eL5一般穩(wěn)定球面腔問題可以借助于其等價共焦腔行波場的解析解的特性表達出來，此處可參考教科書。6非穩(wěn)定諧振腔問題關于非穩(wěn)定諧振腔的問題主要包括求出共軛像點和的位置；計算非穩(wěn)腔的能量損耗率、1P2P幾何放大率等。共軛像點和的位置分別為，由球面鏡成像公式1P2P12,l l122211112112

12、LllRLllR解得：2121211211212212L LRL LRLRLRRlRRL LRL LRLRLRRlRR（）+（）（）（）2L（）+（）（）（）2L幾何放大率鏡的單程放大率1M111ama鏡的單程放大率2M222ama非穩(wěn)腔對幾何自再現波型在腔內往返一周的放大率12Mm m對望遠鏡非穩(wěn)定腔（實共焦腔和虛共焦腔）2121212221111RRmmMRRaamaam 平均單程能量損耗1212111111m mM 單程往返能量損耗1222212111111m mM 往返四、思考題四、思考題1.光學諧振腔的作用是什么？2.光學諧振腔的構成要素有哪些，各自有哪些作用？3.光學諧振腔有哪些常

13、用研究方法？4.什么是光學諧振腔的模式？對縱、橫模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？5.光學諧振腔的橫模模斑形狀是客觀存在，還是有人為因素，為什么？6.光學諧振腔的穩(wěn)定條件是什么，有沒有例外？穩(wěn)定條件的導出根據何在？7.所謂“自洽”在光學諧振腔模式討論中是如何應用的？8.諧振腔穩(wěn)定條件的推導過程中，只是要求光線相對于光軸的偏折角小于 90 度。因此，諧振腔穩(wěn)定條件是不是一個要求較低的條件，為什么？9.共焦腔是什么腔？穩(wěn)定性如何？10. 共焦腔是不是穩(wěn)定腔？為什么？11. 什么樣的光學諧振腔腔內存在焦點？12. 試分析 ABCD 定律在光學諧振腔分析中的作用。13. 一般穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其

14、等價共焦諧振腔，有什么相同，有什么不同？14. 非穩(wěn)腔的優(yōu)點是什么？15. 幾何損耗存在于哪一類型的諧振腔中？16. 光學諧振腔的衍射損耗與其什么參數相關？17. 穩(wěn)定諧振腔有哪些可能的形式？與非穩(wěn)定諧振腔相比有哪些缺點？ 18. Fox-Li 的數值迭代法解平行平面鏡諧振腔，有哪些結論，有哪些意義？19. 分別由方形鏡和圓形鏡組成穩(wěn)定諧振腔有沒有區(qū)別，為什么？20. 為什么說光學諧振腔積分方程的特征值的實部決定腔損耗？21. 為什么說光學諧振腔積分方程的特征值的虛部決定光波的單程相移？22. 穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線的單程相對功率損耗 1-1/2，它與單程衍射損耗因子之間有何關系？23. 如果

15、使用一個參數描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，你愿意用哪個，為什么？24. 為什么說對稱共焦腔非常重要？25. 試由行波場導出圓形鏡共焦腔內的波前表示。26. 同一個光學諧振腔中的不同橫模，有什么異同？27. 高階橫模的不同模斑若相遇，能否干涉，為什么？28. 若 A 激光器的激光束經透鏡變換匹配地射入 B 激光器，B 激光器的激光束能不能匹配地射入 A 激光器，為什么？29. 能否得到穩(wěn)定諧振腔橫模的解析表示，為什么？四、練習題四、練習題1.光學諧振腔的作用。是什么？2.光學諧振腔的構成要素有哪些，各自有哪些作用？3.CO2激光器的腔長 L1.5m，增益介質折射率 n1，腔鏡反射系數分別為r10

16、.985，r20.8，忽略其它損耗，求該諧振腔的損耗，光子壽命，Q 值和R無源腔線寬。4.證明：下圖所示的球面折射的傳播矩陣為。折射率分別為的2121201R21,兩介質分界球面半徑為 R。5.證明：下圖所示的直角全反射棱鏡的傳播矩陣為。折射率為 n 的棱1021d鏡高 d。6.導出下圖中 1、2、3 光線的傳輸矩陣。R 1 2 3 d 7.已知兩平板的折射系數及厚度分別為 n1，d1，n2，d2。(1)兩平板平行放置，相距l(xiāng)，(2)兩平板緊貼在一起，光線相繼垂直通過空氣中這兩塊平行平板的傳輸矩陣，是什么? 8.光學諧振腔的穩(wěn)定條件是什么，有沒有例外？諧振腔穩(wěn)定條件的推導過程中，只是要求光線相

17、對于光軸的偏折角小于 90 度。因此，諧振腔穩(wěn)定條件是不是一個要求較低的條件，為什么？9.有兩個反射鏡，鏡面曲率半徑，R1=50cm，R2=100cm，試問：(1)構成介穩(wěn)腔的兩鏡間距多大?(2)構成穩(wěn)定腔的兩鏡間距在什么范圍?(3)構成非穩(wěn)腔的兩鏡間距在什么范圍?10. 共焦腔是不是穩(wěn)定腔，為什么？11. 腔內有其它元件的兩鏡腔中，除兩腔鏡外的其余部分所對應傳輸矩陣元為ABCD，腔鏡曲率半徑為、，證明：穩(wěn)定性條件為，其中1R2R1201g g；。11/gDB R22/gAB R12. 試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡腔的穩(wěn)定性條件。13. 激光器諧振腔由一面曲率半徑為 1m 的凸面鏡和曲率半徑

18、為 2m 的凹面鏡組成，工作物質長 0.5m，其折射率為 1.52，求腔長 L 在什么范圍內是穩(wěn)定腔。14. 如下圖所示三鏡環(huán)形腔，已知 l，試畫出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑 R 在什么范圍內該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形腔為非共軸球面鏡腔，在這種情況下，對于在由光軸組成的平面內傳輸的子午光線，f = Rcos/2，對于在于此垂直的平面內傳輸的弧矢光線，f = R/(2cos)，為光軸與球面鏡法線的夾角。lll15. 什么樣的光學諧振腔腔內存在焦點？16. 試分析 ABCD 定律在光學諧振腔分析中的作用。17. 一般穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價共焦諧振腔，有什么相同，有什么不同？18. 非穩(wěn)腔

19、的優(yōu)點是什么？19. 幾何損耗存在于哪一類型的諧振腔中？20. 光學諧振腔的衍射損耗與其什么參數相關？21. 為什么說光學諧振腔積分方程的特征值的模決定腔損耗？22. 為什么說光學諧振腔積分方程的特征值的幅角決定光波的單程相移？23. 穩(wěn)定諧振腔有哪些可能的形式？與非穩(wěn)定諧振腔相比有哪些缺點？24. 光學諧振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再現模？采用衍射積分方程方法研究激光器的模式和采用幾何光學的辦法研究各有什么優(yōu)缺點？25. 什么是光學諧振腔的模式？對縱、橫模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？26. 諧振腔腔長 L1m，介質折射率 n1，兩腔鏡反射系數分別為 r11，r20.99，求

20、1500MHz 線寬內包含的縱模個數。27.，的對稱腔，相鄰縱模的頻率差為多少？100Rcm40Lcm28. 若法卜里珀羅平面干涉儀的腔長為 4.5，它的自由譜寬為多少，能否分辨cm，=0.01nm 的 HeNe 激光譜線？46 10 mm29. Fox-Li 的數值迭代法解平行平面鏡諧振腔，有哪些結論，有哪些意義？30. 穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線的單程相對功率損耗 1-1/2，它與單程衍射損耗因子之間有何關系？31. 試由方形鏡共焦腔內行波場，導出腔內等相位面表示。32. 同一個光學諧振腔中的不同橫模，有什么異同？33. 高階橫模的不同模斑若相遇，能否干涉，為什么？34. 分別由方形鏡和圓形鏡

21、組成的穩(wěn)定諧振腔有沒有區(qū)別，為什么？35. 能否得到穩(wěn)定腔橫模的解析表示，為什么？36. 為什么說對稱共焦腔非常重要？37. 如果使用一個參數描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，你愿意用哪個，為什么？38. 腔長 L=1m 的雙凹穩(wěn)定腔，兩腔鏡的半徑分別為 R11.5m，R23m，求其等效共焦腔的腔長，并畫出等效共焦腔的位置。39. 方形孔徑共焦腔氦氖激光器，腔長L=30cm，腔鏡反射率分別為r11，r20.96，方形孔邊長d=2a=0.12cm，其它損耗以每程 0.003 計，工作波長=632.8nm。此激光器能否作單模運轉？如果想在共焦鏡面附近加一個方形小孔闌來選擇模，小孔的邊長應為多大？試根據

22、公式00TEM估算氦氖增益，l 為增益介質放電管長度。0g4e1 3 10lld 40. 腔長 L 的對稱雙凹腔，反射鏡曲率半徑為 R=2.5L，工作波長為，求鏡面上的基模高斯光束的光斑半徑。41. 今有一平面反射鏡和一曲率半徑為R=1m的凹面反射鏡，問：應如何構成一平-凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠場角；畫出光束發(fā)散角與腔長 L 的關系曲線。42. 試導出如下腔型所對應的共軛共焦腔結構和輸出光參數。 R=1m L=0.3m 43. 試求出方形鏡共焦腔面上模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎？30TEM44. 求圓形鏡共焦腔和模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。20TEM02TEM45. 腔長 L=0.8m

23、 的球面腔，腔鏡曲率半徑分別為 R1=1.5m 和 R2=1m。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價共焦腔的參數；在圖上畫出等價共焦腔的具體位置。46. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm，R=2m，2a=1cm，。6.10試計算、各為多少。s1s20010020047. 試證明，在所有相同而 R 不同的對稱球面鏡穩(wěn)定腔中，共焦腔的衍射損La /2耗最低。L 表示腔長，為腔鏡的曲率半徑，a 為鏡面半徑。21RRR48. 推導出平-凹穩(wěn)定腔基模在鏡面上光斑大小的表示式，做出：（1）當R=100cm時，、隨 L 而變化的曲線；（2）當L=100cm時，、隨 R 而變化s1s2s1s2的曲線。4

24、9. 平凹腔中凹面鏡曲率半徑為 R，腔長 L=0.2R，光波長為，求此平凹腔產生的基模高斯光束的束腰半徑。50. 試證明經過焦距為 F 的薄透鏡，高斯光束的 q 參數傳播滿足 ABCD 定律。51. 若 A 激光器的激光束經透鏡變換匹配地射入 B 激光器，B 激光器的激光束能不能匹配地射入 A 激光器，為什么？52. 已知一高斯光束束腰半徑為0，束腰與焦距為 f 的薄透鏡相距為 l，經透鏡變換后傳輸距離 l1，又經一折射率為 n，長 L 的透明介質后輸出（如下圖所示） ，求：1)高斯光束在介質出射面處的 q 參數和光斑半徑；2)若將介質移到薄透鏡處，即 l10 (不考慮可能存在的間隙)，求輸出

25、高斯光束的遠場發(fā)散角；53. 兩支 He-Ne 激光器都采用平凹腔，尺寸如圖所示，請問在何處插入焦距為多少的透鏡可以實現而者的模式匹配。54. 采用方形共焦腔 He-Ne 激光器的腔長 L=30cm，反射鏡尺寸為 2a=0.2cm，如果一個模式的光斑大小超過鏡面尺寸，則認為該模式不可能存在，求此激光器的最高橫模階次。55. 已知高斯光束的束腰半徑為0，求：1）A 點與束腰相距為 z，求光斑半徑(z)；2）如果測量到 A 點光斑光強下降到最大值的處的半徑為p，求p和(z)的關系。21六、部分答案六、部分答案1.光學諧振腔的作用。是什么？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：光學諧振腔答：答：一

26、是提供正反饋，二是控制振蕩模式特性。2.光學諧振腔的構成要素有哪些，各自有哪些作用？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：光學諧振腔，構成要素，作用答：答：光學諧振腔的構成要素有：是否有邊界、是否有反射鏡以外的反射面、反射鏡外形、反射鏡面形狀、鏡曲率半徑與腔長關系。是否有邊界，決定光學諧振腔是否是封閉腔、波導腔或開式腔；是否有反射鏡以外的反射面，決定光學諧振腔是復合腔還是簡單腔；反射鏡面形狀，決定光學諧振腔是球面腔、非球面腔，以及是否是雙凹腔、平凹腔、平平腔、凹凸腔、雙凸腔；鏡曲率半徑與腔長關系，決定光學諧振腔是穩(wěn)定腔、臨界腔或非穩(wěn)腔。3.CO2 激光器的腔長 L1.5m，增益介質折射率 n

27、1，腔鏡反射系數分別為r10.985，r20.8，忽略其它損耗，求該諧振腔的損耗，光子壽命，Q 值和無R源腔線寬。解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：諧振腔單程損耗因子、光子壽命、Q 值和無源腔縱模線寬，腔鏡R反射系數，CO2激光器的波長關鍵公式：關鍵公式： 1 211ln2rrRLc2RQ1 21ln4RcLrr解：解：1 211ln2rr11ln0.11920.985 0.8RLc881.54.2 10 ( )0.119 3 10s 2RQ88663 1024.2 107.47 1010.6 101 21ln4RcLrr863 101ln3.8 10 ()41.50.985 0.8Hz

28、4.證明：下圖所示的球面折射的傳播矩陣為。折射率分別為的兩介2121201R21,質分界球面半徑為 R。解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：折射，傳播矩陣關鍵公式：關鍵公式： 1221sin=sin證：證：兩介質分界球面光線出射處： (1)=izr r由折射定律和旁軸光線近似： (2)211122sinsin以及入射、反射和折射光線間的幾何關系： (3)2112zzirRi12ri rzz式(1) (3)聯立解得：11221(1)zizzirrrR上式寫成矩陣形式：2112210izizrrR證畢5.證明：下圖所示的直角全反射棱鏡的傳播矩陣為。折射率為的棱鏡高 d。2101d解題思考：解題

29、思考：關鍵概念：關鍵概念：傳播矩陣關鍵公式：關鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：，平面鏡反射傳播矩陣：101L，平面界面透射傳播矩陣：100112100nn關鍵點：關鍵點：以光線傳播順序對相應光學元件的傳播矩陣進行逆序乘積。解：設圖中棱鏡材料中光垂直方向傳播距離為解：設圖中棱鏡材料中光垂直方向傳播距離為 2lll=100101dl10011201l1001101dl10102101d6.導出下圖中 1、2、3 光線的傳輸矩陣。R 1 2 3 d 解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：傳播矩陣關鍵公式：關鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：，球面界面反射傳播矩陣：101L，平面鏡反射傳播

30、矩陣：，球面界面透射傳播矩陣：1201R10012121201nnRnnn關鍵點：關鍵點：以光線傳播順序對相應光學元件的傳播矩陣進行逆序乘積。解：解：設圖中透鏡材料的折射率為 n光線 1：1201R光線 2：=101 nnR 101d1001101d1011nnRn221212(1)1212nddnRnnnddRnR光線 3：=100n101d1011nnRn1111nddnRnnR7.已知兩平板的折射系數及厚度分別為 n1，d1，n2，d2。(1)兩平板平行放置，相距 l，(2)兩平板緊貼在一起，光線相繼垂直通過空氣中這兩塊平行平板的傳輸矩陣，是什么? 解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念

31、：傳播矩陣關鍵公式：關鍵公式：長方體傳播傳輸矩陣：,各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：101nL，平面界面透射傳播矩陣：101L12100nn關鍵點：關鍵點：以光線傳播順序對相應光學元件的傳播矩陣進行逆序乘積。解：解：(1) =22101dn101L11101dn1212101ddLnn(2) =22101dn11101dn1212101ddnn另法解：= 2100n2101d12100nn1101d11010n1212101ddnn8.光學諧振腔的穩(wěn)定條件是什么，有沒有例外？諧振腔穩(wěn)定條件的推導過程中，只是要求光線相對于光軸的偏折角小于 90 度。因此，諧振腔穩(wěn)定條件是不是一個要求較低的條件，為

32、什么？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：光學諧振腔，光學諧振腔穩(wěn)定條件關鍵公式：關鍵公式：1111rDBCArnnn11nnnnACrBD答：答：光學諧振腔穩(wěn)定條件是。1021gg這是一個要求很高的條件，沒有例外。這是因為，在導出這一穩(wěn)定條件時，盡管只是要求光線相對于光軸的偏折角小于 90 度，并沒有限定光線的往還次數，因此這是一個嚴苛的條件。9.有兩個反射鏡，鏡面曲率半徑，R1=50cm，R2=100cm，試問：(1)構成介穩(wěn)腔的兩鏡間距多大?(2)構成穩(wěn)定腔的兩鏡間距在什么范圍?(3)構成非穩(wěn)腔的兩鏡間距在什么范圍?解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：光學諧振穩(wěn)定條件： 1021

33、gg111RLg221RLg關鍵公式：關鍵公式：穩(wěn)定腔：，介穩(wěn)腔：或，非穩(wěn)腔：1021gg120g g 121g g 或120g g 121g g 解：解：(1)由，有，解得：或(無物理意義，舍棄)120g g (1)(1)050100LL100L 50L 由，有，解得：或(無物理意義，舍棄)121g g (1)(1)150100LL50L 0L 構成介穩(wěn)腔的兩鏡間距：或50L 100(2)由，有，解得：或 1021gg0(1)(1)150100LL50100L500L(無物理意義，舍棄)構成穩(wěn)定腔的兩鏡間距：50100L(3)由，有，解得：或(無物理意義，舍棄)120g g (1)(1)05

34、0100LL100L 50L 由，有，解得：121g g (1)(1)150100LL050L構成非穩(wěn)腔的兩鏡間距：或100L 050L10. 共焦腔是不是穩(wěn)定腔，為什么？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：共焦腔、對稱共焦腔、穩(wěn)定腔關鍵公式：關鍵公式：光學諧振穩(wěn)定條件：，共焦腔：1021gg212121RRL關鍵點：關鍵點：腔鏡曲率半徑的正負解：解：共焦腔：212121RRL 121221121212121(1)(1)(1)(1)(2)224RRRRRRLLg gRRRRRR121221121212011(2)040RRRRRRRRRRRR 對稱共焦腔若該共焦腔為雙凹腔，令：2112RR

35、abRR由： 122120()0RRabRR有：12221222RRabRR所以：122112121201(2)04RRRRg gRRRR若該共焦腔為凹凸腔：2112121(2+)4RRg gRR可令：2112RRabRR有：1221121212=1=-()1(2+)41-RRRRg gRRRR非共焦腔舍棄綜上所述，由光學諧振穩(wěn)定條件：判定，共焦腔不是穩(wěn)定腔；只有對稱1021gg共焦腔是介穩(wěn)腔，其它結構類型的共焦腔均是非穩(wěn)腔。11. 腔內有其它元件的兩鏡腔中，除兩腔鏡外的其余部分所對應傳輸矩陣元為 ABCD，腔鏡曲率半徑為、，證明：穩(wěn)定性條件為，其中；1R2R1201g g11/gDB R。2

36、2/gAB R解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：光學諧振腔、穩(wěn)定腔、傳播矩陣關鍵公式：關鍵公式：球面界面反射傳播矩陣：1201R關鍵點：關鍵點：以光線傳播順序對相應光學元件的傳播矩陣進行逆序乘積，并考慮光線在諧振腔中的多次往返。解：解：光線在諧振腔中的一次往返：11021RABCD21021RABCDEFGH其中：2222211211222222()()222()()ABEABCRBFABBDRABAGACDCRRRABBBHBCDDRRR 由：， 11BgDR22BgAR可得：， 111DgRB221AgRB則：22222212222211122222(g2g2gg)2g2g -2 g

37、 +4g g2gEAgABCFBgABBDGAAAADCACDCBHDADDBC光線在腔內往返諧振 n 次，由 Sylvester 定理可得 sinsin(1)sin1sinsinsin(1)sinnnnnnEFEFEnnFnGHGHGnHnn其中，。1cos()2EH若希望旁軸光線不橫向逸出腔外，應要求這四個矩陣元值不能無限大，即要求：1cos也就是要求：1()12EH對于題目所述球面鏡諧振腔：22121122112g g - ggg()22EHADAgDBCAD對于光學諧振腔來說，光線傳輸矩陣元須滿足： det1TEHFG即：2211221g -g -g -()12ADAgDBCAD所以：

38、12EH1221g g 光學諧振腔穩(wěn)定性條件為：1021gg12. 試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡腔的穩(wěn)定性條件。解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡光學諧振腔、鏡腔曲率半徑正負取值規(guī)定、穩(wěn)定性判據關鍵公式：關鍵公式：1021gg解：解：(1)平凹腔平面鏡曲率半徑為無窮大：，假設凹面鏡腔對應正曲率半徑：11g 2R221LgR 由穩(wěn)定性條件：1021gg可得：2RL可見，凹面鏡腔正曲率半徑超過腔長的平凹腔，為穩(wěn)定腔。(2) 雙凹腔假設凹面鏡腔正曲率半徑和，且：，1R2R21RR111LgR 221LgR 由穩(wěn)定性條件：1021gg可得： 2LR或1LR可見，雙凹鏡

39、腔的腔長取值，或者超過兩凹面腔鏡中曲率半徑較大的曲率半徑，或者小于兩者之中曲率半徑較小的曲率半徑，即為穩(wěn)定腔。(3) 凹凸腔假設凹面鏡腔正曲率半徑，凸面鏡腔的負曲率半徑：，1R2R111LgR 221LgR 由穩(wěn)定性條件：1021gg可得： 12LRR或2LR 進一步分析不等式解中對腔長取值要求可見，若凹面腔鏡曲率半徑值等于凸面腔鏡曲率半徑值的二倍：，腔長取值：時為穩(wěn)定腔；若凹面腔鏡曲率半徑值小于122RR 2LR 凸面腔鏡曲率半徑值的二倍：，腔長取值：時也為穩(wěn)定腔；122RR 212RLRR若凹面腔鏡曲率半徑值大于凸面腔鏡曲率半徑值的二倍：，則兩鏡無法組成穩(wěn)定122RR 腔，即凹面腔鏡曲率半

40、徑值須低于凸面腔鏡曲率半徑值二倍是凹凸鏡組成穩(wěn)定腔的前提。13. 激光器諧振腔由一面曲率半徑為 1m 的凸面鏡和曲率半徑為 2m 的凹面鏡組成，工作物質長 0.5m，其折射率為 1.52，求腔長 L 在什么范圍內是穩(wěn)定腔。解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：凹凸面鏡諧振腔、鏡腔曲率半徑正負取值規(guī)定、等效腔長、穩(wěn)定性判據關鍵公式：關鍵公式：1021gglLLln 解：解：，11R 22R 0.5l 1.52n lLLln ，111LgR 221LgR 由穩(wěn)定性條件：1021gg120(1)(1)1llLlLlnnRR 0(0.829)(2.17)2LL可得： 2.17(m)1.17(m)L或

41、 (腔長小于工作物質長度，不合理，舍棄)00.17(m)L腔長 L 取值在1.17m, 2.17m范圍內是穩(wěn)定腔。14. 如下圖所示三鏡環(huán)形腔，已知 l，試畫出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑 R在什么范圍內該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形腔為非共軸球面鏡腔，在這種情況下，對于在由光軸組成的平面內傳輸的子午光線，f = Rcos/2，對于在于此垂直的平面內傳輸的弧矢光線，f = R/(2cos)，為光軸與球面鏡法線的夾角。lll15. 什么樣的光學諧振腔腔內存在焦點？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：穩(wěn)定腔、介穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔，諧振腔腔內行波、束腰、焦點關鍵公式：關鍵公式：22121221212

42、122112221212112122121121221)2()1 ()()()()(2) 1()()()(2) 1()()()(ggggLggggRLRLLRRLRLRLFgggggLgRLRLLRLzgggggLgRLRLLRLz解：解：焦點即諧振腔腔內行波束最細之處，即束腰之處。腔內存在行波束，即存在穩(wěn)定模式，是光學諧振腔內存在焦點的前提。光學諧振腔又分為非穩(wěn)腔、介穩(wěn)腔和穩(wěn)定腔，完整的解答本題需要針對非穩(wěn)腔、介穩(wěn)腔和穩(wěn)定腔三種情形分別予以討論。但是，本課程對非穩(wěn)腔和介穩(wěn)腔腔內行波束性質涉及的較少，所以針對非穩(wěn)腔和介穩(wěn)腔腔內是否存在焦點，也只能根據本課程已介紹的內容來回答。針對穩(wěn)定腔則可以通

43、過與等價的對稱共焦腔作細致的討論。對于非穩(wěn)腔情形，雙凹鏡組成的不對稱實共焦腔腔內存在焦點。對于介穩(wěn)腔情形，雙凹鏡組成的對稱共焦腔腔內存在束腰，存在焦點。對于穩(wěn)定腔情形，其有等價的對稱共焦腔腔內存在束腰，若該束腰位于穩(wěn)定腔兩腔鏡之間： 2121122122112221()0()()()0()()()()()0()()L RLzLRLRL RLzLRLRL RL RL RRLFLRLR則對應穩(wěn)定腔腔內存在焦點。由上述方程組解得： 12RLRL或者1212RLRLRRL分別對應由曲率半徑超過腔長的雙凹面鏡組成的穩(wěn)定腔，以及由曲率半徑不超過腔長但兩鏡曲率半徑之和超過腔長的兩鏡組成的穩(wěn)定腔。16. 試分

44、析 ABCD 定律在光學諧振腔分析中的作用。解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：傳播矩陣、ABCD 定律、諧振腔穩(wěn)定性解：解：在光學諧振腔分析中，光學諧振腔中光線 n 次往返反射傳播所對應的傳播矩陣為：sinsin(1)sin1sinsinsin(1)sinnnnnnABABAnnBnCDCDCnDnn按照 ABCD 定律，光學諧振腔中光線的最終坐標通過傳播矩陣中的矩陣元素 ABCD 與初始坐標聯系起來。在初始坐標為近軸光線的情況下，通過要求傳播矩陣中的矩陣元素ABCD 為有限量，得到了光學諧振腔的穩(wěn)定性條件?？梢?，ABCD 定律在在光學諧振腔的穩(wěn)定性分析中發(fā)揮了重要作用。17. 一般穩(wěn)定

45、球面鏡諧振腔與其等價共焦諧振腔，有什么相同，有什么不同？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：對稱共焦腔、穩(wěn)定腔、等價對稱共焦腔、腔內行波場、等相位面答：與答：與穩(wěn)定腔等價的對稱共焦腔，是通過以對稱共焦腔行波等相位面相同曲率半徑反射鏡的插入而獲得這種等價關系的，根據是光線可逆原理。因此，這種等價關系是建立在幾何光學的基礎之上的，而不是建立在波動衍射光學的基礎之上的。穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價對稱共焦諧振腔真正相同的是腔行波的等相位面，即便是等相位面上的光電場大小分布也不一定相同。所以，穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價對稱共焦諧振腔，在諧振腔結構上相同的只有均為球面鏡，不一定相同的有菲涅爾數，腔鏡的曲率

46、半徑、反射率和尺寸，以及腔長；在腔內行波上相同的有等相位面分布、雙曲線形狀、束腰位置及大小、遠程發(fā)散角，不一定相同的有縱模間距、衍射損耗、模體積、鏡面光斑大小，以及輸出激光束的束腰位置及大小、遠程發(fā)散角等輸出激光參數。18. 非穩(wěn)腔的優(yōu)點是什么？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：非穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔模式答：答：非穩(wěn)腔的主要優(yōu)點有：(1)幾何損耗高，容易鑒別和控制橫模，適用于高功率激光器；(2)模式體積大，對增益介質的體積利用率高；(3)有平行光輸出模式，易于得到單端輸出和準直的平行光束，應用方便。19. 幾何損耗存在于哪一類型的諧振腔中？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：幾何損耗、衍射損

47、耗，穩(wěn)定腔、介穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔答：答：諧振腔中的損耗主要是指旁軸光線或稱近軸光線的損耗，其中幾何損耗存在于介穩(wěn)腔和非穩(wěn)腔中，穩(wěn)定腔中的旁軸光線不存在幾何損耗。20. 光學諧振腔的衍射損耗與其什么參數相關？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：穩(wěn)定腔、衍射損耗、菲涅爾數、橫模關鍵公式：關鍵公式：，2(1)(1)2omon21 () ( ,1)( ,1)mnCRCRC 222aCNL答：答：光學諧振腔中的衍射損耗，主要由其菲涅爾數和橫模模階數決定。21. 為什么說光學諧振腔積分方程的特征值的模決定腔損耗？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：光學諧振腔、特征值、衍射損耗、自再現模關鍵公式：關鍵公式

48、：qquu11答：答：在光學諧振腔中，自再現模單程傳播所經受的光電場衰減由式中諧振腔qquu11積分方程的特征值描述。將光電場換成光強，即對上式兩邊取平方：e 2211qqqIII e與諧振腔單程損耗因子：0eII比較可得：2可見，腔損耗由特征值的模決定。22. 為什么說光學諧振腔積分方程的特征值的幅角決定光波的單程相移？23. 穩(wěn)定諧振腔有哪些可能的形式？與非穩(wěn)定諧振腔相比有哪些缺點？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：穩(wěn)定腔、非穩(wěn)腔、模式答：答：穩(wěn)定腔的主要形式有：(1)雙凹腔；(2) 平凹腔；(3) 凸凹腔。與非穩(wěn)定諧振腔相比，穩(wěn)定腔的主要缺點有：(1)損耗小，選模能力差；(2)模式

49、體積小，對增益介質的體積利用率低。24. 光學諧振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再現模？采用衍射積分方程方法研究激光器的模式和采用幾何光學的辦法研究各有什么優(yōu)缺點？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：光學諧振腔、自再現模、模式、衍射積分方程方法、幾何光學辦法答：答：研究光學諧振腔常用的方法有兩種，一是幾何光學辦法，一是衍射積分方程方法。在光學諧振腔研究中，一般以幾何光學辦法探討近軸光線在光學諧振腔中的傳播行為，研究光學諧振腔的穩(wěn)定性問題；近軸光線在光學諧振腔中的衍射行為，則采用衍射積分方程方法研究。自再現模則是在考慮了衍射行為的近軸光線，在光學諧振腔中反復反射往還后，所形成的有相對穩(wěn)定函

50、數分布的光電場分布，即光學諧振腔模式。幾何光學處理方法，具有簡潔易懂的優(yōu)勢，但只能討論光學諧振腔的穩(wěn)定性；衍射積分方程方法相對深奧復雜，但可以提供光學諧振腔中自再現模的形成、模式光電場的強度和相位分布、腔內行波場、衍射損耗等光學諧振腔模式的所有性質。25. 什么是光學諧振腔的模式？對縱、橫模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：穩(wěn)定腔、縱模、橫模答：答：電磁場理論表明，在具有一定邊界條件的腔內，電磁場只能存在于一系列分立的本征狀態(tài)之中，場的每種本征狀態(tài)將具有一定的振蕩頻率和空間分布。通常諧振腔內可能存在的電磁場本征態(tài)稱為腔的模式。光學諧振腔的模式，即是這

51、種能夠自再現的穩(wěn)定的電磁場分布，對應著光學諧振腔的一系列本征態(tài)。其中包含著模式自再現物理思想。不同的縱模相應于不同的 q 值，對應不同的頻率。不同的橫模，對應于不同的橫向穩(wěn)定的光場分布和頻率。對縱模要求電磁場在頻域上滿足由駐波條件所要求的諧振條件，對橫模要求損耗小，主要是衍射損耗。26. 諧振腔腔長 L1m，介質折射率 n1，兩腔鏡反射系數分別為 r11，r20.99，求1500MHz 線寬內包含的縱模個數。27.，的對稱腔，相鄰縱模的頻率差為多少？100Rcm40Lcm28. 若法卜里珀羅平面干涉儀的腔長為 4.5，它的自由譜寬為多少，能否分辨cm，=0.01nm 的 HeNe 激光譜線？4

52、6 10 mm29. Fox-Li 的數值迭代法解平行平面鏡諧振腔，有哪些結論，有哪些意義？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：平行平面鏡諧振腔、Fox-Li 的數值迭代法答：答：主要結論有：(1). 鏡面上的振幅分布為中央強邊緣弱，偶對稱；(2). 鏡面上的相位不是等相位面分布；(3). 單程相移由幾何相移和與橫模相關的附加相移構成；(4). 諧振頻率不只由腔長決定，還與橫模相關。主要意義有：(1). 首次得到模式，證明模式自再現思想的正確性；它逐次近似計算直接求出了一系列自再現模，從而第一次證明了開腔模式的存在性，并從數學上論證了開腔自再現模積分方程解的存在性； (2). 迭代一次，光

53、在腔內傳播一次，是個針對光傳輸的精確計算方法；數學運算過程與模在腔中往返傳播而形成自再現模的物理過程相對應，能加強理解自再現模形成的物理過程；(3). 原則上可應用于任何腔型的自再現模計算，利用標準化計算機程序可以求得任意精確度的數值解，具有普遍適用性。30. 穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線的單程相對功率損耗 1-1/2，它與單程衍射損耗因子之間有何關系？31. 試由方形鏡共焦腔內行波場，導出腔內等相位面表示。32. 同一個光學諧振腔中的不同橫模，有什么異同？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：橫模、諧振腔積分本征方程答：答：同一個光學諧振腔中不同橫模的相同點有，都是諧振腔積分本征方程的本征解，都

54、是旁軸傳輸的電磁波在諧振腔中經反復衍射損耗形成的穩(wěn)定的光電場的穩(wěn)定分布。同一橫模的不同模斑具有反相或同相的相位。同一個光學諧振腔中不同橫模的不同點有，光斑形狀、大小以及光電場偏振方向，另外，相位無固定關系。33. 高階橫模的不同模斑若相遇，能否干涉，為什么？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：橫模、橫模的相位關系答：答：同一高階橫模的不同模斑間，具有反相或同相的固定的相位關系。若相遇，則干涉相消或加強。不同高階橫模，相位無固定關系。若相遇，不會干涉。34. 分別由方形鏡和圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔有沒有區(qū)別，為什么？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：方形腔鏡、圓形腔鏡、穩(wěn)定腔、等價對稱共

55、焦腔關鍵公式：關鍵公式： 222aCNL2aNL答：答：有區(qū)別。區(qū)別主要表現在兩者的模式場解上。雖然兩者在模式光束形狀、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角等方面有相同的表達式，但卻存在以下明顯的區(qū)別：（1）模斑形狀方形鏡對稱共焦腔模式場強的解主要由角向長橢球函數這種特殊函數構成，在腔的菲涅爾數 N 值較大的情況下可以近似為厄米多項式的形式，具有 x 軸和 y 軸對稱性。圓形鏡對稱共焦腔模式場強的解主要由超橢球函數構成，在腔的菲涅爾數 N 值較大的情況下，可以近似表示為拉蓋爾多項式的形式，具有圓對稱性。無論是方形鏡或者是圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔，其模式場模斑形狀軍營與其等價的對稱共焦腔的模式場相似，所

56、以，方形鏡和圓形鏡穩(wěn)定腔模斑形狀的區(qū)別，應為具有 x 軸和 y 軸對稱性的厄米多項式模斑形狀，與具有圓對稱性的拉蓋爾多項式模斑形狀的區(qū)別。（2）模式頻率方形鏡對稱共焦腔模式場對應相位的幅角解為：(1)2mnkL各階橫模的諧振頻率為：)1(212cmnqnmqL圓形鏡對稱共焦腔模式場對應相位的幅角解為：(21)2plkL 各階橫模的諧振頻率為：)12(212clpqLplq因穩(wěn)定諧振腔與其等價的對稱共焦腔在模式場上的相似性，方形鏡和圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔的模式頻率，也應有類似的區(qū)別。35. 能否得到穩(wěn)定腔橫模的解析表示，為什么？36. 為什么說對稱共焦腔非常重要？解題思考：解題思考：關鍵概念：關

57、鍵概念：穩(wěn)定腔、共焦腔、對稱共焦腔、等價對稱共焦腔答：答：對稱共焦腔的衍射積分本征方程，有解析解，因此其腔內行波場有解析函數表示，相關模式特征和形貌明確。穩(wěn)定腔是一類常用的激光器腔型，但其衍射積分本征方程一直未能獲得解析解，所以，其腔內行波場的模式特征和形貌不似對稱共焦腔中那樣能依靠解析解來獲得明確的描述。等價對稱共焦腔的存在，使得穩(wěn)定腔內行波場的模式特征和形貌，能夠通過與其等價的對稱共焦腔的解析解，來獲得較為明確的描述，可見對稱共焦腔對于激光器的研制工作具有非常高的重要性。37. 如果使用一個參數描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，你愿意用哪個，為什么？解題思考：解題思考：關鍵概念：關鍵概念：穩(wěn)定

58、腔、衍射損耗、損耗描述參數關鍵公式：關鍵公式： 222aCNL2aNL答：答：可以描述穩(wěn)定諧振腔中衍射損耗大小的參數有諧振腔單程損耗因子、平均光子壽命、Q 參數、縱模線寬及菲涅爾數等參數。如果須使用一個參數來描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，我愿意使用菲涅爾數。這是因為穩(wěn)定諧振腔中光電場本征函數解相對應本征值的模，直接決定穩(wěn)定諧振腔對應模式的衍射損耗，而該模函數為徑向長橢球函數，函數的自變量 C 為：222aCNL它與菲涅爾數：2aNL成正比。38. 腔長 L=1m 的雙凹穩(wěn)定腔，兩腔鏡的半徑分別為 R11.5m，R23m，求其等效共焦腔的腔長，并畫出等效共焦腔的位置。解題思考：解題思考：關鍵概念

59、：關鍵概念：穩(wěn)定腔、等價對稱共焦腔關鍵公式：關鍵公式：1201g g112211LgRLgR 22121221212122112221212112122121121221)2()1 ()()()()(2) 1()()()(2) 1()()()(ggggLggggRLRLLRRLRLRLFgggggLgRLRLLRLzgggggLgRLRLLRLz解：解： 1122113213LgRLgR 1220()19g g該雙凹腔為穩(wěn)定腔。因此，可以該雙凹穩(wěn)定腔的等價對稱共焦腔中心為坐標原點、以雙凹鏡面中心連線為 z 軸建立坐標系。假設該雙凹鏡在該坐標系中的坐標分別為 z1和 z2，等價對稱共焦腔的腔長

60、L為 2F。由：2111212122121222121221212(1)2(1)2(1)(2)Lggzggg gLg gzggg gg gg gLFggg g得：122240.8(m)510.2(m)514(m )45zzF 14221.12(m)45LF等效共焦腔腔鏡的位置如下圖虛線所示： 0 0.2 0.558 -0.558 -0.8 z R1 R2 39. 方形孔徑共焦腔氦氖激光器，腔長 L=30cm，腔鏡反射率分別為 r11，r20.96，方形孔邊長 d=2a=0.12cm，其它損耗以每程 0.003 計，工作波長=632.8nm。此激光器能否作單模運轉？如果想在共焦鏡面附近加一個方形