將軍飲馬問(wèn)題拓展

1、“將軍飲馬問(wèn)題”的探究與啟示【摘要】利用“將軍飲馬問(wèn)題”中的軸對(duì)稱思想去解決線段和最小的問(wèn)題，是較多學(xué)生解題的“障礙”問(wèn)題，現(xiàn)通過(guò)數(shù)學(xué)建模思想把這類問(wèn)題化歸為“將軍飲馬問(wèn)題”，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”加以證明，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)教育工作者提出了啟示。【關(guān)鍵詞】軸對(duì)稱 最小值 問(wèn)題探究 問(wèn)題啟示【正文】一、問(wèn)題再現(xiàn)基本問(wèn)題：人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)P42有一道探究題，源于古希臘著名的“將軍飲馬問(wèn)題”，大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題。課文原題如下：如圖1，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A，B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？ 課本給出了如下的作圖及證明方法：&#

2、160;    如圖2，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B，連結(jié)AB與直線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的位置. 證明：如圖3，在直線l上另取任一點(diǎn)C，連結(jié)A C，B C， BC，因?yàn)橹本€l是點(diǎn)B，B的對(duì)稱軸，點(diǎn)C，C在l上，CB=CB， CB= CB，AC+CB=AC+C B=A B . 在A CB中，A BA C+ CB，AC+CBA C+ CB即AC+CB最小.反思：本問(wèn)題實(shí)際上是利用軸對(duì)稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中C在A B與l的交點(diǎn)上，即A、C 、B三點(diǎn)共線）

3、。本問(wèn)題可歸納為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”的問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。二、問(wèn)題探討1、在三角形（或四邊形）中的運(yùn)用：已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)。則DN+MN的最小值為多少？分析：要求DN+MN的最小值，聯(lián)想“將軍飲馬問(wèn)題”，作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，且易知點(diǎn)E應(yīng)該在線段BC上，這樣MN=NE，那么題目就轉(zhuǎn)化成求DN+NE的最小值了，由于點(diǎn)N在AC上移動(dòng)且D、N、E可能構(gòu)成一個(gè)三角形，因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間線段最短”，所以，當(dāng)點(diǎn)N移動(dòng)到DE與AC交點(diǎn)處，即點(diǎn)D、N、E共線時(shí)，DN+NE=DE=10，達(dá)到最小值。反思：若引導(dǎo)學(xué)生把題中的D、M看著

4、是基本問(wèn)題中的A、B兩點(diǎn)，把AC看著是基本問(wèn)題中的燃?xì)夤艿纋，本問(wèn)題即為基本問(wèn)題，學(xué)生可通過(guò)基本問(wèn)題的聯(lián)想和遷移解決本問(wèn)題。2、在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)用：（2009年濟(jì)南）已知：拋物線的對(duì)稱軸為X=1，與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)其中、（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長(zhǎng)最小請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）過(guò)點(diǎn)D作交軸于點(diǎn)連接、設(shè)的長(zhǎng)為，的面積為求與之間的函數(shù)關(guān)系式試說(shuō)明是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 分析：（本題只對(duì)第2問(wèn)作詳細(xì)分析）（1）拋物線的解析式為.（2）連結(jié)AC、BC.因?yàn)榈拈L(zhǎng)度一定，要

5、使周長(zhǎng)最小，就是使最小。B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是A點(diǎn)，通過(guò)、C(0，-2)可求AC的解析式為AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。（3）當(dāng)時(shí)，反思：本題對(duì)第2問(wèn)的解答是轉(zhuǎn)化為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)B、C的距離和的最小值”，它的原型就是“將軍飲馬問(wèn)題”的基本問(wèn)題，由于和函數(shù)結(jié)合一起，增加了命題的想象空間，這里，蘊(yùn)含了豐富的“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。3、在代數(shù)式中的運(yùn)用：已知a 、b均為正數(shù)，且 a+b=8，求代數(shù)式的最小值。分析：由a 、b均為正數(shù)，且 a+b=8，得 = ，構(gòu)造合適圖形可將其轉(zhuǎn)化為求兩條線段和的最小值問(wèn)題。如圖，取AC=2，BD=4，AB=8，作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C

6、，連接CD交AB于P，連接CP，設(shè)PA=a，則PB=8a，CP=，DP=。此時(shí)C、P、D三點(diǎn)共線，CD=CP+DP=10為最小值。反思：正是由于a 、b均為正數(shù)，可以把此題構(gòu)造“將軍飲馬問(wèn)題”的基本圖形，順利地求出的最小值為13，想法新奇但又順理成章。三、問(wèn)題推廣1、由“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”推廣到“求兩定直線上各一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”問(wèn)題：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)上冊(cè)P47第9題，如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊給馬喝水，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助他確定這一天的最短路線。分析：作A關(guān)于MN的對(duì)稱

7、點(diǎn)G，B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交MN于I，交直線l于L，連接AI、BL，即可得出答案；反思：根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)推出AI=GI，BL=HL，HK=BK，AJ=GJ，則四點(diǎn)G、I、L、H在同一直線上（基本問(wèn)題中三點(diǎn)共線的推廣），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求出答案。2、從用“三角形周長(zhǎng)最短”證明推廣到用“一邊為定值的四邊形周長(zhǎng)最短”的證明：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分析：由于DC、EF的長(zhǎng)為定值，如果四邊形CDEF的

8、周長(zhǎng)最小，即DE+FC有最小值為此，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，在CB邊上截取CG=2，當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小反思：此題主要考查軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題（將軍飲馬問(wèn)題），它是在基本圖形證明線段和（一邊為定值的三角形周長(zhǎng)）最短的基礎(chǔ)上增加了平移的線段（GE）和（兩邊為定值的四邊形周長(zhǎng)）最短的問(wèn)題，只要學(xué)生充分體會(huì)“將軍飲馬”的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基本問(wèn)題知識(shí)的類比與遷移，可以解決此問(wèn)題四、問(wèn)題啟示基于對(duì)“將軍飲馬問(wèn)題”的探索，筆者認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)教育工作者有兩方面的啟示：1、對(duì)習(xí)題設(shè)計(jì)者（試卷命題者）的啟示：對(duì)習(xí)題的變式題的設(shè)計(jì)要“從學(xué)生發(fā)展的內(nèi)在需要出發(fā)，從教學(xué)內(nèi)容的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的角度出發(fā)”，能融數(shù)學(xué)的教與學(xué)為一體，重視知識(shí)的形成過(guò)程，重視知識(shí)的“內(nèi)化”；對(duì)試題的設(shè)計(jì)要立足于教材，對(duì)例題或基本圖形進(jìn)行深入的挖掘，以教材的例題或基本圖形為起點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)歷，難度視本題型在試卷所處的位置而定。2、對(duì)教師教學(xué)的啟示：從本文的解法反思中可以看出，即使是比較復(fù)雜的問(wèn)題，所用到的知識(shí)也是簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)問(wèn)題，這就要求教師在日常的教學(xué)中，特別是單元復(fù)習(xí)和中考復(fù)習(xí)時(shí)，不僅要從不同角度去分析問(wèn)題，還原知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及形成的過(guò)程，教給學(xué)生解題的方法，而且要與學(xué)生共同探究基本問(wèn)題與解題的聯(lián)系，使學(xué)生能夠說(shuō)出“