極限思想在數(shù)學(xué)中的地位與作用及求極限的方法

1、高等數(shù)學(xué)解題方法探究極限 極限思想在高等數(shù)學(xué)中的地位和應(yīng)用引言： 數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可以是特殊的或一般的，可以是具體的或抽象的，可以是靜止的或運(yùn)動(dòng)的，可以是有限的或無限的，它們之間都是矛盾的對(duì)立統(tǒng)一正是由于對(duì)象之間的對(duì)立統(tǒng)一，為我們解決這些對(duì)立統(tǒng)一事物提供了研究的方法有限與無限相比，有限顯得具體，無限顯得抽象，對(duì)有限的研究往往先于對(duì)無限的研究，對(duì)有限個(gè)對(duì)象的研究往往有章法可循，并積累了一定的經(jīng)驗(yàn)而對(duì)于無限個(gè)對(duì)象的研究，卻往往不知如何下手。于是將對(duì)無限的研究就轉(zhuǎn)化成對(duì)有限的研究？就成了解決無限問題的畢經(jīng)之路反之當(dāng)積累了解決無限問題的經(jīng)驗(yàn)之后，可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決這種無限化有限，有限化無

2、限的解決數(shù)學(xué)問題的方法就是有限與無限的思想? 極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級(jí)數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來得到這個(gè)結(jié)果。正文：一、極限理論在數(shù)學(xué)分析中的地位1. 建立概念的極限思想 極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終?？梢哉f數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思 想

3、方法,然后利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：（1）函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義，是當(dāng)自變量的增量時(shí)，函數(shù)值的增量趨于零的極限。（2）函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義，是函數(shù)值的增量與自變量的增量之比，當(dāng)時(shí)的極限。（3）函數(shù)在上的定積分的定義，是當(dāng)分割的細(xì)度趨于零時(shí)，積分和式的極限。（4）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列的極限來定義的。2. 解決問題的極限思想極限思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題（例如求瞬時(shí)速度、曲

4、線弧長(zhǎng)、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它采用了極限的思想方法。有時(shí)我們要確定某一個(gè)量，首先確定的不是這個(gè)量的本身而是它的近似值，而且所確定的近似值也不僅僅是一個(gè)而是一連串越來越準(zhǔn)確的近似值；然后通過考察這一連串近似值的趨向，把那個(gè)量的準(zhǔn)確值確定下來。這就是運(yùn)用了極限的思想方法。二、極限理論在數(shù)學(xué)分析中的作用1. 導(dǎo)數(shù)是特殊的極限物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、曲線在某點(diǎn)處的切線斜率、非恒穩(wěn)電流強(qiáng)度以及化學(xué)反應(yīng)速度等等，都可以歸結(jié)為是函數(shù) 的改變量與自變量的改變量的比值當(dāng)時(shí)的極限，而導(dǎo)數(shù)就是在這個(gè)基礎(chǔ)上下定義的。下面是劉玉璉編著的數(shù)學(xué)分析第四版上冊(cè)所給的定義：設(shè)函數(shù)y = 在有定義，在自變數(shù)的改變

5、量是，相應(yīng)函數(shù)的改變量是。若極限 存在，稱函數(shù)在處可導(dǎo)，此極限稱為函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)，若此極限不存在則稱函數(shù)在不可導(dǎo)。從定義看出，有了極限才有導(dǎo)數(shù)，沒有極限就沒有導(dǎo)數(shù)。2. 定積分是和的極限為了計(jì)算平面上任意形狀封閉曲線圍成區(qū)域的面積，我們可以將封閉區(qū)域分割成個(gè)相等的小矩形，用小矩形的面積之和近似代替封閉區(qū)域的面積。每個(gè)小矩形的面積是已知的，當(dāng)不斷增大時(shí)，小矩形就會(huì)不斷變小，小矩形的面積之和就越來越接近封閉區(qū)域的面積，當(dāng)時(shí)，每個(gè)小矩形的面積趨于零，所有小矩形的面積之和達(dá)到一個(gè)極限，這個(gè)極限就是封閉區(qū)域的面積。同樣，要計(jì)算物體非等速直線運(yùn)動(dòng)從時(shí)刻到時(shí)刻所經(jīng)過的路程時(shí)，可以將這段時(shí)間分割成個(gè)時(shí)間段，物體

6、在各個(gè)時(shí)間段里的運(yùn)動(dòng)看成是勻速運(yùn)動(dòng)，那么物體在段時(shí)間里所走的路程之和就可以近似地代替物體從時(shí)刻到的路程。越大，這個(gè)路程之和就越精確。當(dāng)時(shí)，路程之和也達(dá)到一個(gè)極限，這個(gè)極限就是物體從時(shí)刻到時(shí)刻所經(jīng)過的路程。這兩個(gè)例子雖然實(shí)際意義不同，但從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，它們都是函數(shù)在區(qū)間上具有特定結(jié)構(gòu)的和的極限。定積分的概念就是在“和的極限”這個(gè)基礎(chǔ)上作出定義的。 數(shù)學(xué)分析的主要任務(wù)是研究函數(shù)的各種性態(tài)以及函數(shù)值的計(jì)算或近似計(jì)算，主要內(nèi)容是微積分。在微積分中幾乎所有的基本概念都是用極限來定義的?？梢哉f，沒有極限理論就沒有微積分 三、極限的定義和判別準(zhǔn)則1、極限的定義在數(shù)學(xué)分析中極限有兩個(gè)定義，一個(gè)是數(shù)列極限

7、的定義另一個(gè)是函數(shù)極限的定義。數(shù)列極限的定義是：設(shè)有數(shù)列，是常數(shù)。若對(duì)任意0，總存在正數(shù)N，對(duì)任意正數(shù)N，有，則稱數(shù)列的極限是。用邏輯符號(hào)可表示如下： 0，N，有。 而函數(shù)極限的定義又要分兩種情況：（1）當(dāng)自變量時(shí)，函數(shù)極限的定義為：設(shè)函數(shù)在區(qū)間（）有定義，是常數(shù)。若0，A()，有，則稱函數(shù)（當(dāng)時(shí)）的極限為。（2）當(dāng)自變量時(shí)，函數(shù)極限的定義為：設(shè)函數(shù)在鄰域（）有定義，是常數(shù)若0，0，：0（x（），有 ，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限是。2、極限存在的判別法1 極限存在 <=>左右極限存在且相等;2 夾逼定理;3 連續(xù)性定理: 單調(diào)有界數(shù)列必有極限;4 柯西準(zhǔn)則；四、有關(guān)極限的定理這里給出函數(shù)極

8、限 的情形，至于數(shù)列的極限和其它形式的函數(shù)極限也都有類似的結(jié)果。 （1） 唯一性 如果在點(diǎn)有極限，則極限是唯一的。（2） 有界性 如果在點(diǎn)有極限，則存在正數(shù)和M。使當(dāng)0時(shí)，有M。（3）保號(hào)性 如果存在，并且A0（或A0)，則存在0，使得對(duì)一切滿足0的，都有0（0 ）。（4）兩邊夾定理 如果存在0，使當(dāng)0時(shí)，并且，則。（5）運(yùn)算法則 設(shè)，則；。在B0時(shí)，又有 。若，在的某個(gè)鄰域內(nèi)有界，則 。五、應(yīng)用極限思想的各種方法1約去零因子求極限例1：求極限【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去?！窘狻?42分子分母同除求極限例2：求極限【說明】型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過分子分母同除

9、來求?！窘狻俊咀ⅰ?1) 一般分子分母同除的最高次方；(2) 3分子(母)有理化求極限例3：求極限【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式?！窘狻坷?：求極限【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵4應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限兩個(gè)重要極限是和，第一個(gè)重要極限過于簡(jiǎn)單且可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。主要考第二個(gè)重要極限。例5：求極限【說明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出，再湊，最后湊指數(shù)部分?！窘狻坷?：(1)；(2)已知，求。5用等價(jià)無窮小量代換求極限【說明】(1)常見等價(jià)無窮小有：當(dāng) 時(shí),；(2) 等價(jià)無窮小量代換,只能代換極限式中的因式

10、；(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。例7：求極限【解】 .例8：求極限【解】6用羅必塔法則求極限例9：求極限【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求?！窘狻俊咀ⅰ吭S多變動(dòng)上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限【解】 由于,于是 =7用對(duì)數(shù)恒等式求極限 例11：極限 【解】 =【注】對(duì)于型未定式的極限，也可用公式=因?yàn)槔?2：求極限.【解1】 原式 【解2】 原式 8利用Taylor公式求極限 例13 求極限 .【解】 , ; .例14 求極限.【解】 .9數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例15：極限【說明】這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅

11、必塔法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解?！窘狻靠紤]輔助極限所以，10n項(xiàng)和數(shù)列極限問題n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算;(2)利用兩邊夾法則求極限.例16：極限【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算,是把看成0,1定積分?！窘狻吭嚼?7：極限【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解； (2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的?！窘狻恳?yàn)橛炙?2單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18：設(shè)數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計(jì)算. 【分析】

12、一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在. 【詳解】 （）因?yàn)椋瑒t.可推得，則數(shù)列有界.于是，（因當(dāng)）， 則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得，解得，即.（）因，由（）知該極限為型， (使用了羅必塔法則)故.13利用極限的四則運(yùn)算例19 求 。解：當(dāng)0時(shí)，由極限的四則運(yùn)算可得；當(dāng)= 0時(shí)，；當(dāng)0時(shí)， ， 。從而。綜上所述，可得14.利用初等函數(shù)的連續(xù)性設(shè)是初等函數(shù)。如果有意義，則在處連續(xù)，從而。于是，求函數(shù)在處的極限就歸結(jié)為求函數(shù)值。例20 求 。解：因?yàn)榕c都在點(diǎn)連續(xù)，因此這兩個(gè)函數(shù)的和也在連續(xù)。則有注意，如果是

13、初等函數(shù)，并且，則冪指數(shù)也是初等函數(shù)。15.利用初等數(shù)學(xué)的恒等式將函數(shù)或數(shù)列化為易于求極限的形式后再計(jì)算 常用的恒等式有：三角恒等式，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，某些自然數(shù)集的和的公式，以及根式有理化等。例 21 求 .解：因?yàn)?所以：所以 .例22 . 設(shè)1，求 .解：因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，而1，故.因此.例23 . 求 解：因 2 ，故 注意：在時(shí)，與均沒有極限，因此原極限不能寫成極限的差的形式。16.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限例24.求 解：考慮級(jí)數(shù)，由比值法，1. 故級(jí)數(shù)收斂，從而有.17.將數(shù)列的極限化為定積分設(shè)函數(shù)在連續(xù) .將分為份：，對(duì)于每一個(gè)，任取，令，并令，則. 如果將等分：，則，再取，便有即 .特別地，若，便有如果取為小區(qū)間的左端點(diǎn)，則有. 例25.計(jì)算 解：例26.計(jì)算 .解：.總結(jié): 極