13季節(jié)ARIMA模型

1、2.8 季節(jié)時(shí)間序列模型在某些時(shí)間序列中，存在明顯的周期性變化。這種周期是由于季節(jié)性變化（包括季度、月度、周度等變化）或其他一些固有因素引起的。這類序列稱為季節(jié)性序列。比如一個(gè)地區(qū)的氣溫值序列（每隔一小時(shí)取一個(gè)觀測(cè)值）中除了含有以天為周期的變化，還含有以年為周期的變化。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，季節(jié)性序列更是隨處可見。如季度時(shí)間序列、月度時(shí)間序列、周度時(shí)間序列等。處理季節(jié)性時(shí)間序列只用以上介紹的方法是不夠的。描述這類序列的模型之一是季節(jié)時(shí)間序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。較早文獻(xiàn)也稱其為乘積季節(jié)模型（multiplicative seasonal model）。設(shè)

2、季節(jié)性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的變化周期為s，即時(shí)間間隔為s的觀測(cè)值有相似之處。首先用季節(jié)差分的方法消除周期性變化。季節(jié)差分算子定義為， Ds = 1- Ls 若季節(jié)性時(shí)間序列用yt表示，則一次季節(jié)差分表示為 Ds yt = (1- Ls) yt = yt - yt - s 對(duì)于非平穩(wěn)季節(jié)性時(shí)間序列，有時(shí)需要進(jìn)行D次季節(jié)差分之后才能轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)的序列。在此基礎(chǔ)上可以建立關(guān)于周期為s的P階自回歸Q階移動(dòng)平均季節(jié)時(shí)間序列模型（注意P、Q等于2時(shí)，滯后算子應(yīng)為(Ls)2 = L2s。 AP (Ls) DsDyt = BQ (Ls) ut (2.60)對(duì)于上述模型，相當(dāng)于假定ut是平穩(wěn)的

3、、非自相關(guān)的。當(dāng)ut非平穩(wěn)且存在ARMA成分時(shí)，則可以把ut描述為 Fp (L) Ddut = Qq (L) vt (2.61)其中vt為白噪聲過程，p, q分別表示非季節(jié)自回歸、移動(dòng)平均算子的最大階數(shù)，d表示ut的一階（非季節(jié)）差分次數(shù)。由上式得ut = Fp-1(L) D-d Qq (L) vt (2.62)把 (2.62) 式代入 (2.60) 式，于是得到季節(jié)時(shí)間序列模型的一般表達(dá)式。 Fp(L) AP(Ls) (DdDsDyt) = Qq(L) BQ(Ls) vt (2.63)其中下標(biāo)P, Q, p, q分別表示季節(jié)與非季節(jié)自回歸、移動(dòng)平均算子的最大滯后階數(shù)，d, D分別表示非季節(jié)和

4、季節(jié)性差分次數(shù)。上式稱作 (p, d, q) ´ (P, D, Q)s 階季節(jié)時(shí)間序列模型或乘積季節(jié)模型。保證（DdDsDyt）具有平穩(wěn)性的條件是Fp(L)AP(Ls) = 0的根在單位圓外；保證（DdDsDyt）具有可逆性的條件是Qq (L)BQ (Ls) = 0的根在單位圓外。當(dāng)P = D = Q = 0時(shí)，SARIMA模型退化為ARIMA模型；從這個(gè)意義上說，ARIMA模型是SARIMA模型的特例。當(dāng)P = D = Q = p = q = d = 0時(shí)，SARIMA模型退化為白噪聲模型。 (1, 1, 1) ´ (1, 1, 1)12 階月度SARIMA模型表達(dá)為 (

5、1- f1 L) (1- a1 L12) D D12 yt = (1+q1 L) (1+b1 L12) vt D D12 yt具有平穩(wěn)性的條件是 | f1 | < 1，| a1 | < 1，D D12 yt具有可逆性的條件是 | q1 | < 1，| b1 | < 1。設(shè)log(Yt) = yt，變量D D12 yt在EViews中用DLOG(Y,1,12)表示（這樣表示的好處是EViews可以直接預(yù)測(cè)到Y(jié)），上式的EViews估計(jì)命令是 DLOG(Y,1,12) AR(1) SAR(12) MA(1) SMA(12) (0, 1, 1) ´ (0, 1, 1

6、)12 階月度SARIMA模型表達(dá)為 D D12 yt = (1+ q1 L) (1+ b1 L12) vt (2.64)(2.64) 式的EViews估計(jì)命令是 DLOG(Y,1,12) MA(1) SMA(12) 由(2.64) 式得 DD12 yt = (1+q1 L) (1+b1 L12 ) vt = vt +q1 L vt +b1 L12vt + q1 b1 L13vt = vt +q1 vt 1 +b1 vt 12 + q1 b1 vt 13 上式對(duì)應(yīng)的EViews估計(jì)命令是DLOG(Y,1,12) MA(1) MA(12) MA(13)模型表達(dá)式是 DD12 yt = vt +q

7、1 vt 1 +q12 vt 12 + q13 vt 13這是一個(gè)非季節(jié)模型表達(dá)式。以上兩個(gè)EViews估計(jì)命令是等價(jià)的，都是估計(jì)MA(13)模型。注意：唯一不同點(diǎn)是上式對(duì)vt 13的系數(shù)沒有約束，而對(duì)季節(jié)模型來說，相當(dāng)于增加了一個(gè)約束條件，q13 =q1 b1。進(jìn)一步化簡 D (yt yt - 12) = vt +q1 vt 1 +b1 vt 12 + q1 b1 vt 13 D yt D yt - 12 = vt +q1 vt 1 +b1 vt 12 + q1 b1 vt 13用于預(yù)測(cè)的模型型式是 yt = yt -1 + yt - 12 yt 13 + vt +q1 vt 1 +b1 v

8、t 12 + q1 b1 vt 13 (2.65)從上式可以看出SARIMA模型可以展開為ARIMA模型。 對(duì)乘積季節(jié)模型的季節(jié)階數(shù)，即周期長度s的識(shí)別可以通過對(duì)實(shí)際問題的分析、時(shí)間序列圖以及時(shí)間序列的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖分析得到。以相關(guān)圖和偏相關(guān)圖為例，如果相關(guān)圖和偏相關(guān)圖不是呈線性衰減趨勢(shì)，而是在變化周期的整倍數(shù)時(shí)點(diǎn)上出現(xiàn)絕對(duì)值相當(dāng)大的峰值并呈振蕩式變化，就可以認(rèn)為該時(shí)間序列可以用SARIMA模型描述。 建立SARIMA模型，（1）首先要確定d, D。通過差分和季節(jié)差分把原序列變換為一個(gè)平穩(wěn)的序列。令 xt = DdDsD yt （2）然后用xt 建立 Fp (L) AP (Ls) xt =

9、Qq (L) BQ (Ls) vt模型。注意：（1）用對(duì)數(shù)的季節(jié)時(shí)間序列數(shù)據(jù)建模時(shí)通常D不會(huì)大于1，P和Q不會(huì)大于3。（2）乘積季節(jié)模型參數(shù)的估計(jì)、檢驗(yàn)與前面介紹的估計(jì)、檢驗(yàn)方法相同。利用乘積季節(jié)模型預(yù)測(cè)也與上面介紹的預(yù)測(cè)方法類似。2.9 季節(jié)時(shí)間序列建模案例 案例1：（文件名：b2c3，5b2c3）北京市1978:11989:12社會(huì)商品零售額月度數(shù)據(jù)（yt，單位：億元人民幣）曲線見圖2.32，數(shù)據(jù)見表2.3。yt與時(shí)間呈指數(shù)關(guān)系且存在遞增型異方差。對(duì)數(shù)的社會(huì)商品零售額月度數(shù)據(jù)（Ln yt）曲線見圖2.33。Lnyt與時(shí)間近似呈線性關(guān)系（異方差問題也得到抑制）。 圖2.32 yt 圖2.33

10、 Lnyt通過Lnyt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（見圖2.34）可以看到Lnyt是一個(gè)非平穩(wěn)序列（相關(guān)圖衰減很慢）且Lnyt與其12倍數(shù)的滯后期存在自回歸關(guān)系。圖2.34 Lnyt的相關(guān)圖（下）和偏相關(guān)圖（上）對(duì)Lnyt進(jìn)行一階差分，得DLnyt（圖2.35）。圖2.36是對(duì)Lnyt進(jìn)行2次一階差分的結(jié)果，序列D2Ln yt是過度差分序列。從 DLnyt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（圖2.37）可以看到，通過差分 DLnyt的平穩(wěn)性得到很大改進(jìn)，但與其12倍數(shù)的滯后期存在顯著的自相關(guān)關(guān)系。 圖2.35 DLn yt 圖2.36 D2Ln yt圖2.37 DLnyt的相關(guān)圖（下）和偏相關(guān)圖（上）對(duì)Lnyt進(jìn)行一次

11、季節(jié)性差分（或12階差分），得 D12 Lnyt（圖2.38）。從 D12 Lnyt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（圖2.39）可以看到 D12 Lnyt仍然是非平穩(wěn)的。 圖2.38 D12 Lnyt，（EViews：DLOG(Y,0,12)） 圖2.39 D12 Lnyt的相關(guān)圖（下）和偏相關(guān)圖（上） 對(duì)Lnyt進(jìn)行一階差分和一階季節(jié)性差分，得DD12 Lnyt（見圖2.40）。從xt 的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（見圖2.41）可以看到DD12 Lnyt近似為一個(gè)平穩(wěn)過程。圖2.40 D D12 Lnyt = xt，（EViews：DLOG(Y,1,12)）圖2.41 DD12 Lnyt的相關(guān)圖（下）和偏相關(guān)圖

12、（上） 用1978:11989:11期間數(shù)據(jù)，估計(jì)yt 的 (1, 1, 1) ´ (1, 1, 0)12階季節(jié)時(shí)間序列模型，得結(jié)果如下： (1+ 0.5924 L) (1 + 0.4093 L12) DD12Lnyt = (1+0.4734 L) vt (2.66)(4.5) (5.4) (1.9)R2 = 0.33, s.e. = 0.146, Q36 = 15.5, c20.05(36-2-1) = 44EViews估計(jì)命令是DLOG(Y,1,12) AR(1) SAR(12) MA(1)EViews輸出結(jié)果見圖2.42。注意：（1）仔細(xì)對(duì)照（2.66）式和圖2.42輸出結(jié)果，

13、不要把自回歸系數(shù)估計(jì)值的符號(hào)寫錯(cuò)。通過自回歸特征根倒數(shù)-0.59可知，把表達(dá)式中的算子寫作(1+ 0.5924 L)是正確的。通過移動(dòng)平均特征根倒數(shù)-0.47可知，把表達(dá)式中的算子寫作(1+0.4734 L) 是正確的。（2）表達(dá)式中，季節(jié)和非季節(jié)因子（特征多項(xiàng)式）之間是相乘關(guān)系。 （3）在EViews估計(jì)命令中把變量寫作DLOG(Y,1,12)的好處是可以直接對(duì)yt和DD12 Lnyt預(yù)測(cè)。模型殘差序列的相關(guān)與偏相關(guān)圖如圖2.43。圖2.42 EViews估計(jì)結(jié)果 圖2.43模型殘差序列的相關(guān)與偏相關(guān)圖對(duì)于DD12 Lnyt來，模型參數(shù)全部有顯著性，Q36 = 15.5 < c20.0

14、5(36-2-1) = 44。兩種檢驗(yàn)通過。見輸出結(jié)果（2.42），對(duì)于DD12 Lnyt，模型共有14個(gè)特征根。 圖2.44 D12DLnyt的實(shí)際與預(yù)測(cè)序列 圖2.45 yt的實(shí)際與預(yù)測(cè)序列對(duì)1989年第12月份yt進(jìn)行樣本外1期預(yù)測(cè)，結(jié)果如圖2.46。圖2.46 EViews預(yù)測(cè)結(jié)果預(yù)測(cè)誤差是 h = 0.076用1978:11989:12期間數(shù)據(jù)得EViews (0, 1, 1) ´ (0, 1, 1)12 模型估計(jì)結(jié)果如下 D D12 Lnyt = (1- 0.35 L) (1 - 0.61 L12) vt (2.67)(- 4.4) (- 9.1) R2 = 0.36,

15、DW = 1.86, F = 71.9, s.e. = 0.038, Q36 = 21.88, c20.05 (36-2) = 44模型參數(shù)全部有顯著性，Q36 = 21.88 < c20.05 (36-2) = 44。兩種檢驗(yàn)通過。上式變換為， DLn yt D Lnyt - 12 = vt - 0.35 vt 1 - 0.61 vt 12 + 0.2135 vt 13 Lnyt = Lnyt -1 +Ln yt - 12 Lnyt 13 + vt - 0.35 vt 1 - 0.61 vt 12 + 0.2135 vt 13 (2.68)（2.67）式也是一個(gè)可以選用的模型。表2.3

16、 北京市社會(huì)商品零售額（yt）月度數(shù)據(jù)（單位：億元人民幣，1978:11989:12）年：月yt年：月yt年：月yt年：月yt年：月yt1978:01134.31980:06168.21982:11205.81985:04343.41987:09499.51978:02119.41980:07163.51982:12248.21985:05341.21987:10505.21978:03128.31980:08161.61983:01243.21985:06346.01987:11518.71978:04126.41980:09172.91983:02217.51985:07329.91987

17、:12617.91978:05128.81980:10166.51983:03226.21985:08328.11988:01570.71978:06127.81980:11175.21983:04223.51985:09358.21988:02561.31978:07121.11980:12197.71983:05221.01985:10358.41988:03570.41978:08118.41981:01212.11983:06220.51985:11376.61988:04567.91978:09125.71981:02177.91983:07205.81985:12451.01988

18、:05570.91978:10123.61981:03182.91983:08206.91986:01412.01988:06603.91978:11128.51981:04184.21983:09218.81986:02374.51988:07591.81978:12145.21981:05184.01983:10216.01986:03390.01988:08636.21979:01164.71981:06182.41983:11235.01986:04387.01988:09674.51979:02126.21981:07175.61983:12282.01986:05389.81988

19、:10647.71979:03143.71981:08172.01984:01268.41986:06397.71988:11640.51979:04143.71981:09184.91984:02227.61986:07381.41988:12804.21979:05145.51981:10184.71984:03248.61986:08386.91989:01694.31979:06143.71981:11195.11984:04247.01986:09429.81989:02673.81979:07138.41981:12224.81984:05249.91986:10428.81989

20、:03718.71979:08136.71982:01233.61984:06253.11986:11444.41989:04690.31979:09145.51982:02182.01984:07245.51986:12527.71989:05676.61979:10150.71982:03206.61984:08249.61987:01478.31989:06665.81979:11149.01982:04202.21984:09272.31987:02442.41989:07642.21979:12164.71982:05201.71984:10278.71987:03461.41989

21、:08638.91980:01190.31982:06202.61984:11299.41987:04458.21989:09674.11980:02174.91982:07192.81984:12366.31987:05458.21989:10652.71980:03163.21982:08186.21985:01364.81987:06468.51989:11641.91980:04168.41982:09199.31985:02349.11987:07454.51989:12734.11980:05168.61982:10198.21985:03359.11987:08458.9 案例2

22、 香港季節(jié)GDPt數(shù)據(jù)的擬合（季節(jié)時(shí)間序列模型，file：HongKong）1980:12002:4年香港季度GDPt序列曲線見圖2.27（數(shù)據(jù)見表2.4，單位：港元）。19801997年GDPt隨時(shí)間呈指數(shù)增長。1997年由于遭受東南亞金融危機(jī)的影響，經(jīng)濟(jì)發(fā)展處于停滯狀態(tài)，19982002年底GDPt總量幾乎沒有增長。另一個(gè)特征是GDPt隨時(shí)間呈遞增型異方差。所以，用對(duì)數(shù)的季度GDPt數(shù)據(jù)（LnGDPt，曲線見圖2.48）建立季節(jié)時(shí)間序列模型。 圖2.47 GDPt 圖2.48 LnGDPt通過LnGDPt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（圖2.49）可以看到LnGDPt是一個(gè)非平穩(wěn)序列（相關(guān)圖衰減得很慢

23、）。圖2.49 LnGDPt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖對(duì)LnGDPt進(jìn)行一階差分，得 DLnGDPt（見圖2.50）。DLnGDPt的平穩(wěn)性得到很大改進(jìn)，但其季節(jié)因素影響還很大。從 DLnGDPt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（圖2.51）也可以明顯地看到這個(gè)特征。若對(duì)LnGDPt直接進(jìn)行一次季節(jié)差分（四階差分），得D4LnGDPt見圖2.52。其波動(dòng)性也很大。相關(guān)圖和偏相關(guān)圖見圖2.53。D2LnGDPt顯然是過度差分序列（圖2.54）。 圖2.50 DLnGDPt ,（s.d. = 0.062） 圖2.51 DLnGDPt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖 圖2.52 D4LnGDPt,（s.d. = 0.076） 圖2.5

24、3 D4LnGDPt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖 圖2.54 D2LnGDPt ,（s.d. = 0.062） 在DLnGDPt的基礎(chǔ)上進(jìn)行一階季節(jié)差分，或在D4LnGDPt基礎(chǔ)上進(jìn)行一階非季節(jié)差分，得 D4DLnGDPt（圖2.55）。其相關(guān)圖和偏相關(guān)圖見圖2.56。D4DLnGDPt中已經(jīng)基本消除了季節(jié)變化因素。在D4DLnGDPt的基礎(chǔ)上建立時(shí)間序列模型。 圖2.55 D4DLnGDPt,（s.d. = 0.029） 圖2.56 D4DLnGDPt的相關(guān)和偏相關(guān)圖通過對(duì)D4DLnGDPt的相關(guān)和偏相關(guān)圖分析，應(yīng)該建立(2, 1, 2) ´ (1, 1, 1)4 模型。EViews估計(jì)命令

25、是DLOG(GDP,1,4) C AR(1) AR(2) SAR(4) MA(1) MA(2) SMA(4)用1980:12002:3的數(shù)據(jù)得估計(jì)結(jié)果如下（EViews輸出結(jié)果如圖2.57）：D4DLnGDPt = - 0.0023 + ut （1980:12002:3） (-2.4)(1-1.20 L+0.66 L2) (1 - 0.33 L4) ut = (1 - 1.16 L+ 0.97 L2) (1 - 0.95 L4) vt (2.69) (14.4) (-8.8) (2.8) (55.9) (86.1) (-32.8) R2 = 0.57, DW = 2.0, F = 16.1,

26、Q36 = 19.3, c20.05 (36-3-3-1) = 42.6圖2.57 EViews估計(jì)結(jié)果 圖2.57模型(2.99)誤差項(xiàng)的相關(guān)和偏相關(guān)圖注意：（1）不要把自回歸系數(shù)估計(jì)值的符號(hào)寫錯(cuò)。不要把均值（- 0.0023）項(xiàng)表達(dá)錯(cuò)。EViews仍然是對(duì)(D4DLnGDPt + 0.0023)建立(2, 1, 2) ´ (1, 1, 1)4 階季節(jié)時(shí)間序列模型，而不是對(duì)D4DLnGDPt建立季節(jié)時(shí)間序列模型。（2）季節(jié)和非季節(jié)因子之間是相乘關(guān)系。 （3）在EViews估計(jì)命令中把變量寫作DLOG(GDP,1,4)，好處是預(yù)測(cè)時(shí)可直接預(yù)測(cè)GDPt，也可以預(yù)測(cè)D4DLnGDPt。模

27、型參數(shù)全部有顯著性，Q36 = 19.6 <c20.05 (36-3-3-1) = 42.6。兩種檢驗(yàn)通過。依據(jù)輸出結(jié)果，對(duì)于D4DLnGDPt，模型共有12個(gè)特征根。4個(gè)實(shí)根，8個(gè)復(fù)根。 圖2.58 D4DLnGDPt的實(shí)際與預(yù)測(cè)序列 圖2.59 GDPt的實(shí)際與預(yù)測(cè)序列對(duì)2002年第4季度GDPt進(jìn)行樣本外1期預(yù)測(cè)，結(jié)果如下：預(yù)測(cè)誤差是 h = 0.006表2.4 香港季度GDPt數(shù)據(jù)（1980:12002:4，單位：港元）年：月GDPt /1011年：月GDPt /1011年：月GDPt /1011年：月GDPt /10111980:10.314891985:40.709511991:31.805801997:23.323351980:20.345051986:10.691081991:41.867221997:33.515011980:30.376411986:20.731021992:11.766611997:43.534311980:40.385661986:30.833721992:21.891291998:13.095481981:10.388301986:40.884191992:32.100271998:23.189781981:20.4063