圓的一般方程-數(shù)學(xué)必修2

1、4.1.2 圓的一般方程 思考：思考：1 1、方程、方程 表示什么圖形？表示什么圖形？222410 xyxy 對(duì)方程對(duì)方程222410 xyxy 配方，可得配方，可得22(1)(2)4xy此方程表示以此方程表示以為圓心，為圓心，2 2為半徑的圓。為半徑的圓。(1, 2)220 xyDxEyF2 2、是不是形如、是不是形如 的方程均可表示的方程均可表示圓？圓？請(qǐng)把方程請(qǐng)把方程進(jìn)行配方，觀察此方程進(jìn)行配方，觀察此方程222460 xyxy對(duì)方程對(duì)方程222460 xyxy配方，可得配方，可得22(1)(2)1xy 所以這個(gè)方程不表示任何圖形。所以這個(gè)方程不表示任何圖形。由于不存在點(diǎn)的坐標(biāo)由于不存在

2、點(diǎn)的坐標(biāo) 滿足此方程滿足此方程, ,( , )x y表示什么圖形？表示什么圖形？探究：探究： 方程方程220 xyDxEyF在什么條件下表示圓？在什么條件下表示圓？配方可得：配方可得：把方程把方程220 xyDxEyF22224()()224DEDEFxy2240DEF（1 1）當(dāng)）當(dāng)時(shí)時(shí)方程方程220 xyDxEyF表示以表示以為圓心，為圓心，(,)22DE22142DEF為半徑的圓。為半徑的圓。2240DEF（2 2）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，22224()()224DEDEFxy只有一解只有一解,22DExy 方程方程它表示一個(gè)點(diǎn)它表示一個(gè)點(diǎn)(,)22DE2240DEF（3 3）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，222

3、24()()224DEDEFxy沒(méi)有實(shí)數(shù)解，它不表示任何圖形。沒(méi)有實(shí)數(shù)解，它不表示任何圖形。方程方程圓的一般方程圓的一般方程220 xyDxEyF 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，方程時(shí)，方程 表示一個(gè)圓，我們把它叫做圓的一般方程表示一個(gè)圓，我們把它叫做圓的一般方程. .圓心為圓心為 ，半徑為半徑為2240DEF(,)22DE22142DEF注意：注意：（1 1）x x2 2和和y y2 2系數(shù)相同，都不等于系數(shù)相同，都不等于0 0；（2 2）沒(méi)有）沒(méi)有xyxy這樣的二次項(xiàng)這樣的二次項(xiàng). .標(biāo)準(zhǔn)方程：標(biāo)準(zhǔn)方程：圖形特征一目了然，圖形特征一目了然，明確地指出了圓心和半徑；明確地指出了圓心和半徑；一般方程：一般方程：突

4、出了代數(shù)方程的形式結(jié)構(gòu)突出了代數(shù)方程的形式結(jié)構(gòu)，思考：思考：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？例例1 1：下列方程各表示什么圖形：下列方程各表示什么圖形? ?22(1)0 xy22(2)2460 xyxy222(3)20 xyaxb（1 1）原點(diǎn)）原點(diǎn)(0,0)(0,0)答案：答案：(2)1211圓心為（， ），半徑為的圓；2222300.abaab（ ）當(dāng)時(shí)，圓心為（， ），半徑為的圓2200 0 .ab當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)（ ， ）練習(xí)：練習(xí)：判斷下列方程能否表示圓的方程判斷下列方程能否表示圓的方程, ,若能若能, ,寫出圓心寫出圓心與半徑與半徑2

5、2(1)2440 xyxy22(2)2212440 xyxy22(3)26410 xyxy22(4)26500 xyxy22(5)3520 xyxyxy（1 1）是）是圓心（圓心（1 1，-2-2）半徑）半徑3 3圓心（圓心（3 3，-1-1）半徑）半徑（2 2）是）是2 3（3 3）不是）不是（4 4）不是）不是（5 5）不是）不是答案答案例例2 2：求過(guò)三點(diǎn)：求過(guò)三點(diǎn)并求出圓心坐標(biāo)和半徑并求出圓心坐標(biāo)和半徑的圓的方程，的圓的方程，12(0,0),(1,1),(4,2)OMM解：解：設(shè)圓的方程為設(shè)圓的方程為220 xyDxEyF把點(diǎn)把點(diǎn) 的坐標(biāo)代入得方程組的坐標(biāo)代入得方程組12(0,0),(

6、1,1),(4,2)OMM02042200FDEFDEF解這個(gè)方程組得解這個(gè)方程組得8,6,0DEF 故所求圓的方程為故所求圓的方程為22860 xyxy因此所求圓的圓心為因此所求圓的圓心為(4, 3),半徑長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)為22145.2DEF用用“待定系數(shù)法待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟：求圓的方程的大致步驟：（2 2）根據(jù)條件列出關(guān)于）根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F的方程組；的方程組；（1 1）根據(jù)題意，選）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；（3 3）解出）解出a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F，代，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程入標(biāo)準(zhǔn)方

7、程或一般方程例例3 3、已知線段、已知線段ABAB的端點(diǎn)的端點(diǎn)B B的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(4,3),(4,3),端點(diǎn)端點(diǎn)A A在圓在圓(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上運(yùn)動(dòng)，求線段上運(yùn)動(dòng)，求線段ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M的軌跡方程的軌跡方程. .yx .O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A分析：分析：yx .O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A A的運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M M的運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A A在圓上運(yùn)動(dòng)在圓上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)A A的坐標(biāo)滿足方程的坐標(biāo)滿足方程22(1)4xy建立點(diǎn)建立點(diǎn)M M的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)A A的的坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可坐標(biāo)之

8、間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn)以建立點(diǎn)M M的坐標(biāo)滿足的坐標(biāo)滿足的條件，求出點(diǎn)的條件，求出點(diǎn)M M的的軌跡方程軌跡方程解：解：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A A的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是( , ),x y00(,).xy由于點(diǎn)由于點(diǎn)B B的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(4,3),(4,3), 且點(diǎn)且點(diǎn)M M是線段是線段ABAB的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以0043,22xyxy于是有于是有0024,23(1)xxyy因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)A A在圓在圓 上上，22(1)4xy所以所以2200(1)4(2)xy把（把（1 1）代入（）代入（2 2）得）得22(24 1)(23)4xy 整理得整理得2233()()122xy所以點(diǎn)所以

9、點(diǎn)M M的軌跡是以的軌跡是以 為圓心，半徑長(zhǎng)為為圓心，半徑長(zhǎng)為1 1的圓。的圓。3 3( , )2 2所以點(diǎn)所以點(diǎn)M M的軌跡方程是的軌跡方程是2233()()122xy練習(xí)：練習(xí)：如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)P P是圓是圓x x2 2+y+y2 2=16=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A A是是x x軸上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為（軸上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為（1212，0 0），當(dāng)點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)P P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段段PAPA的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M的軌跡是什么？的軌跡是什么？P M A xoy答案答案: :22(6)4xy以點(diǎn)（以點(diǎn)（6,06,0）為圓心，）為圓心，半徑長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)為2 2的圓。的圓。

10、線段線段PAPA的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M的軌跡的軌跡1 1圓圓x x2 2+y+y2 2+4x+26y+b+4x+26y+b2 2=0=0與坐標(biāo)軸相切，那么與坐標(biāo)軸相切，那么b b可以取的可以取的值是（值是（ ）（A A）2 2或或13 13 （B B）1 1或或2 2（C C）1 1或或2 2 （D D）1 1或或1 1A A2 2方程方程x x2 2+2xy+y+2xy+y2 2+x+y+x+y2=02=0表示的曲線是（表示的曲線是（ ）（A A）兩條相交直線）兩條相交直線 （B B）兩條平行直線）兩條平行直線（C C）不是圓也不是直線）不是圓也不是直線 （D D）圓）圓B B3 3若方程若方程

11、x x2 2+y+y2 2+ax+2ay+2a+ax+2ay+2a2 2+a+a1=01=0表示圓，則表示圓，則a a的取值的取值范圍是范圍是 。 2( 2, )34 4三角形三角形ABCABC的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)A A(1(1，4)4)，B B( (2 2，3)3)，C C(4(4，5)5)，則，則ABCABC的外接圓方程是的外接圓方程是_. _. x2+y22x+2y23=05 5已知已知ABCABC的邊的邊ABAB長(zhǎng)為長(zhǎng)為2a2a，若，若BCBC的中線為定長(zhǎng)的中線為定長(zhǎng)m m，求頂，求頂點(diǎn)點(diǎn)C C的軌跡方程的軌跡方程. .解：解：由題意，以由題意，以ABAB中點(diǎn)為原點(diǎn)，邊中點(diǎn)為原點(diǎn)，邊A

12、BAB所在的直線為所在的直線為x x軸建軸建立直角坐標(biāo)系立直角坐標(biāo)系, ,如圖，則如圖，則A(A(a a，0)0)，B(aB(a，0),0),設(shè)設(shè)C(xC(x，y)y)，則則BCBC中點(diǎn)為中點(diǎn)為E E(,)22xa y因?yàn)橐驗(yàn)閨AE|=m|AE|=m，所以，所以 22()( )22xayam化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得(x+3a)(x+3a)2 2+y+y2 2=4m=4m2 2. .由于點(diǎn)由于點(diǎn)C C在直線在直線ABAB上時(shí)，不能構(gòu)成三角形，故去上時(shí)，不能構(gòu)成三角形，故去掉曲線與掉曲線與x x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，軸的兩個(gè)交點(diǎn)，從而所求的軌跡方程是從而所求的軌跡方程是(x+3a)(x+3a)2 2+y+y2 2=4m=4m2 2. . (y0)(y0) (1) (1) 任何一個(gè)圓的方程都可以寫任何一個(gè)圓的方程都可以寫x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的形式，的形式，但是方程但是方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的曲線不一定是圓的曲線不一定是圓, ,只有在只有在D D2 2+E