大一高數(shù)復(fù)習(xí)資料54651

1、高數(shù)復(fù)習(xí)第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 函數(shù)鄰域（去心鄰域） 第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列極限的證明【題型示例】已知數(shù)列，證明【證明示例】語(yǔ)言1由化簡(jiǎn)得，2即對(duì)，當(dāng)時(shí)，始終有不等式成立，第三節(jié) 函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)極限的證明【題型示例】已知函數(shù)，證明【證明示例】語(yǔ)言1由化簡(jiǎn)得，2即對(duì)，當(dāng)時(shí)，始終有不等式成立，時(shí)函數(shù)極限的證明【題型示例】已知函數(shù)，證明【證明示例】語(yǔ)言1由化簡(jiǎn)得，2即對(duì)，當(dāng)時(shí)，始終有不等式成立，極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則第一個(gè)重要極限：，（特別地，）單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則第二個(gè)重要極限：（一般地，其中）【題型示例】求值：【求解示例】第四節(jié) 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小與無(wú)窮大的本質(zhì)函數(shù)無(wú)窮小函數(shù)無(wú)

2、窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大的相關(guān)定理與推論（定理三）假設(shè)為有界函數(shù)，為無(wú)窮小，則（定理四）在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，若 為無(wú)窮大，則為無(wú)窮?。环粗魹闊o(wú)窮小，且，則為無(wú)窮大【題型示例】計(jì)算：（或）1函數(shù)在的任一去心鄰域內(nèi)是有界的；（，函數(shù)在上有界；）2即函數(shù)是時(shí)的無(wú)窮?。唬春瘮?shù)是時(shí)的無(wú)窮??；）3由定理可知（）無(wú)窮小量的階等價(jià)無(wú)窮小（P65/P77） (外加此公式)（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：【求解示例】【題型示例】求值【求解示例】解：因?yàn)椋瑥亩傻?，所以原式（其中為函?shù)的可去間斷點(diǎn)）倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解（詳見(jiàn)第三章第二節(jié)）：解：連續(xù)函數(shù)穿越定理（復(fù)合函數(shù)的極限求解）（定理五）若函數(shù)是

3、定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，【題型示例】求值：【求解示例】【題型示例】求值：【求解示例】 第五節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)連續(xù)的定義間斷點(diǎn)的分類(lèi)（特別地，可去間斷點(diǎn)能在分式中約去相應(yīng)公因式）【題型示例】設(shè)函數(shù) ，應(yīng)該怎樣選擇數(shù)，使得成為在上的連續(xù)函數(shù)？【求解示例】12由連續(xù)函數(shù)定義閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點(diǎn)定理【題型示例】證明：方程至少有一個(gè)根介于與之間【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；2（端點(diǎn)異號(hào)）3由零點(diǎn)定理，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得，即（）4這等式說(shuō)明方程在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念（導(dǎo)數(shù)公式表P111）高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義【題型示例】已知函

4、數(shù) ，在處可導(dǎo)，求，【求解示例】1，2由函數(shù)可導(dǎo)定義【題型示例】求在處的切線與法線方程（或：過(guò)圖像上點(diǎn)處的切線與法線方程）【求解示例】1，2切線方程：法線方程：第二節(jié) 求導(dǎo)的基本法則函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則1線性組合（定理一）：特別地，當(dāng)時(shí)，有2函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）：3函數(shù)商的求導(dǎo)法則（定理三）：反函數(shù)的求導(dǎo)【題型示例】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【求解示例】由題可得為直接函數(shù)，其在定于域 上單調(diào)、可導(dǎo)，且；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(P習(xí)題2.2)【題型示例】設(shè)，求【求解示例】高階導(dǎo)數(shù)（或）【題型示例】求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)【求解示例】，第三節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)（等式兩邊對(duì)求導(dǎo)）【題型示

5、例】試求：方程所給定的曲線：在點(diǎn)的切線方程與法線方程【求解示例】由兩邊對(duì)求導(dǎo)即化簡(jiǎn)得切線方程： 法線方程：參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)【題型示例】設(shè)參數(shù)方程，求【求解示例】1.2.第四節(jié) 函數(shù)的微分基本初等函數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則第六節(jié) 微分學(xué)中值定理羅爾定理（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)（2）在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)（3）f(a)=f(b)則至少存在一點(diǎn)在（a,b）使f(x)內(nèi)可導(dǎo)拉格朗日中值定理【題型示例】證明不等式：當(dāng)時(shí)，【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)，則對(duì)，顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，并且；2由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又，化簡(jiǎn)得，即證得：當(dāng)時(shí)，【題型示例】證明不等式

6、：當(dāng)時(shí)，【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)，則對(duì)，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，并且；2由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，化簡(jiǎn)得，又，即證得：當(dāng)時(shí)，第七節(jié) 羅比達(dá)法則運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟1等價(jià)無(wú)窮小的替換（以簡(jiǎn)化運(yùn)算）2判斷極限不定型的所屬類(lèi)型及是否滿足運(yùn)用羅比達(dá)法則的三個(gè)前提條件 A屬于兩大基本不定型（）且滿足條件， 則進(jìn)行運(yùn)算： （再進(jìn)行1、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出） B不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型）型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式）【題型示例】求值：【求解示例】（一般地，其中）型（通分構(gòu)造分式，觀察分母）【題型示例】求值：【求解示例】 型（對(duì)數(shù)求極限法）【題型

7、示例】求值：【求解示例】 型（對(duì)數(shù)求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】 型（對(duì)數(shù)求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思路通分獲得分式（通常伴有等價(jià)無(wú)窮小的替換）取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式）3 取對(duì)數(shù)獲得乘積式（通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算將指數(shù)提前）第八節(jié) 函數(shù)形態(tài)研究連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）【題型示例】試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【求解示例】1函數(shù)在其定義域上連續(xù)，且可導(dǎo)2令，解得：3（三行表）極大值極小值4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為； 單調(diào)遞減區(qū)間為【題型示例】證明：當(dāng)時(shí)，【證明示例】1（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)，（）2，（）3既證：當(dāng)時(shí)，【題型示例】證明：當(dāng)時(shí)，【證明示

8、例】1（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)，（）2，（） 3既證：當(dāng)時(shí)，連續(xù)函數(shù)凹凸性【題型示例】試討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點(diǎn)【證明示例】 1 2令解得： 3（四行表） 4函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為, 單調(diào)遞增區(qū)間為,； 函數(shù)的極小值在時(shí)取到，為，極大值在時(shí)取到，為； 函數(shù)在區(qū)間,上凹，在區(qū)間,上凸； 函數(shù)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為函數(shù)的極值和最大、最小值函數(shù)的極值與最值的關(guān)系設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果的某個(gè)鄰域，使得對(duì)，都適合不等式，我們則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極大值；令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值滿足：；設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果的某個(gè)鄰域，使得對(duì)，都適合不等式，我們則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極小值；令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值滿足：；【題型示例】求

9、函數(shù)在上的最值【求解示例】1函數(shù)在其定義域上連續(xù)，且可導(dǎo)2令，解得：3（三行表）極小值極大值4又 函數(shù)圖形的描繪第三章 一元函數(shù)積分學(xué)第四節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)（積分表P208/P213）原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即當(dāng)自變量時(shí)，有或成立，則稱為的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，則在上必存在可導(dǎo)函數(shù)使得，也就是說(shuō)：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)（可導(dǎo)必連續(xù)）不定積分的概念在定義區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為在定義區(qū)間上的不定積分，即表示為：（稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為積分表達(dá)式，則稱為積分變量）基本積分表（P208、P2

10、13很重要）不定積分的線性性質(zhì)（分項(xiàng)積分公式）換元積分法第一類(lèi)換元法（湊微分）(P226)（的逆向應(yīng)用）【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】 第二類(lèi)換元法（去根式P216）（的正向應(yīng)用）對(duì)于一次根式（）：令，于是，則原式可化為對(duì)于根號(hào)下平方和的形式（）：令（），于是，則原式可化為；對(duì)于根號(hào)下平方差的形式（）：a：令（），于是，則原式可化為；b：令（），于是，則原式可化為；【題型示例】求（一次根式）【求解示例】【題型示例】求（三角換元）【求解示例】分部積分法（P228）設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其分部積分公式可表示為：分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對(duì)、冪、三、指”運(yùn)用分部積分法計(jì)算

11、不定積分的基本步驟：遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序；就近湊微分：（）使用分部積分公式：展開(kāi)尾項(xiàng)，判斷 a若是容易求解的不定積分，則直接計(jì)算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果）； b若依舊是相當(dāng)復(fù)雜，無(wú)法通過(guò)a中方法求解的不定積分，則重復(fù)、，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復(fù)過(guò)程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求（構(gòu)造法）【求解示例】定積分的定義（稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，則稱為積分變量，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區(qū)間）定積分的性質(zhì)（線性性質(zhì)）（積分區(qū)間的可加性）若函數(shù)在積分區(qū)間上滿足，則；（推論一） 若函數(shù)、函數(shù)在積分區(qū)間上滿足，則；（推論二）積分中值定理（不作要求）微積分基本公式牛頓-萊布尼茲公式（定理三）若果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則變限積分的導(dǎo)數(shù)公式（上上導(dǎo)下下導(dǎo)）【題型示例】求【求解示例】第五節(jié) 定積分的換元法及分部積分法定積分的換元法（第一換元法）【題型示例】求【求解示例】 （第二換元法）設(shè)函數(shù)，函數(shù)滿足：a，使得；b在區(qū)間或上，連續(xù)則：【題型示例】求（分部積分法）偶倍奇零設(shè)，則有以下結(jié)論成立：若，則2 若，則第四節(jié) 定積分的應(yīng)用（P248） 面積增量的近似值為 f上(x)- f下(x)dx