北京市西城區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（word版含答案）

1、北京市西城區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷數(shù) 學(xué)2022.1本試卷共6頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，則（A）（B）（C）（D）（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）在ABC中，若，則（A）（B）（C）（D）（4）若雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（A）（B）（C）（D）（5）如圖，在直三

2、棱柱中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（A）平面（B）平面（C）平面（D）平面（6）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（7）已知為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則（A）（B）（C）（D）（8）已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不斷，則“”是“在上存在零點(diǎn)”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9）按照“碳達(dá)峰”、“碳中和”的實(shí)現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時(shí)期，2060年實(shí)現(xiàn)碳中和，到2060年，純電動(dòng)汽車在整體汽車中的滲透率有望超過(guò)70%，新型動(dòng)力電池迎來(lái)了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量（單

3、位：），放電時(shí)間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為Peukert常數(shù).為了測(cè)算某蓄電池的Peukert常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間；當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間.則該蓄電池的Peukert常數(shù)大約為（參考數(shù)據(jù)：）（A）（B）（C）（D）（10）設(shè)集合的最大元素為，最小元素為，記的特征值為，若集合中只有一個(gè)元素，規(guī)定其特征值為.已知，是集合的元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，且，則的最大值為（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi).（用數(shù)字作答）（12）已知點(diǎn)在拋物線上，

4、為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).則拋物線的方程為_(kāi)；的面積為_(kāi).（13）在長(zhǎng)方形中，且，則_，_.（14）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的一個(gè)取值為_(kāi).（15）在棱長(zhǎng)為的正方體中，過(guò)點(diǎn)的平面分別與棱交于點(diǎn),，記四邊形在平面上的正投影的面積為，四邊形在平面上的正投影的面積為.給出下面有四個(gè)結(jié)論：四邊形是平行四邊形；的最大值為2；的最大值為；四邊形可以是菱形，且菱形面積的最大值為.則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題13分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)在線段上，且.（）求證：平面；（）求二面角的余弦值.（17）（本小題13

5、分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，在條件、條件、條件這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知（）求函數(shù)的解析式；（）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的最大值條件：；條件：；條件：注：如果選擇多個(gè)條件組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分（18）（本小題14分）2021年7月11日18時(shí)，中央氣象臺(tái)發(fā)布暴雨橙色預(yù)警，這是中央氣象臺(tái)2021年首次發(fā)布暴雨橙色預(yù)警.中央氣象臺(tái)預(yù)計(jì)，7月11日至13日，華北地區(qū)將出現(xiàn)2021年以來(lái)的最強(qiáng)降雨.下表是中央氣象臺(tái)7月13日2:00統(tǒng)計(jì)的24小時(shí)全國(guó)降雨量排在前十的區(qū)域.北京密云山東樂(lè)陵河北遷西山東慶云北京懷柔河北海興河北唐山天津渤海A平臺(tái)河北豐南山東長(zhǎng)清180毫米175毫米14

6、4毫米144毫米143毫米140毫米130毫米127毫米126毫米126毫米（）從這10個(gè)區(qū)域中隨機(jī)選出1個(gè)區(qū)域，求這個(gè)區(qū)域的降雨量超過(guò)135毫米的概率；（）從這10個(gè)區(qū)域中隨機(jī)選出3個(gè)區(qū)域，設(shè)隨機(jī)變量表示選出的區(qū)域?yàn)楸本﹨^(qū)域的數(shù)量，求的分布列和期望；（）在7月13日2:00統(tǒng)計(jì)的24小時(shí)全國(guó)降雨量排在前十的區(qū)域中，設(shè)降雨量超過(guò)140毫米的區(qū)域降雨量的方差為，降雨量在140毫米或140毫米以下的區(qū)域降雨量的方差為，全部十個(gè)區(qū)域降雨量的方差為.試判斷，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）已知函數(shù).（）若，求在點(diǎn)處的切線方程；（）若在上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若對(duì)

7、于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（20）（本小題15分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值為.（）求橢圓的方程；（）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求與的面積之比.（21）（本小題15分）已知數(shù)列，其中，且.若數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，或，則稱為數(shù)列的“緊數(shù)列”.例如，數(shù)列的所有“緊數(shù)列”為；.（）直接寫出數(shù)列的所有“緊數(shù)列”；（）已知數(shù)列滿足：，若數(shù)列的所有“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求證：所有符合條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為；（）已知數(shù)列滿足：，對(duì)于數(shù)列的一個(gè)“緊數(shù)列”，定義集合，如果對(duì)任意，都有，那么稱為數(shù)列的“強(qiáng)緊數(shù)列”.若數(shù)列存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，求的最小值.（用關(guān)于的代數(shù)式表示

8、）北京市西城區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A（2）B（3）A（4）C（5）D（6）D（7）C（8）A（9）B（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）（13）（14）（答案不唯一）（15）三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（）因?yàn)槠矫妫矫?，所?因?yàn)?，所以?所以.所以，所以.又因?yàn)椋云矫?5分（）因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以?又因?yàn)槭蔷匦?，所以兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，.于是.因?yàn)槠矫?，取平面的法向量?

9、則.由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值是.13分（17）（共13分）解：（）選條件：因?yàn)?，所以，即，則.由題意可知，則.因?yàn)?，所以，?因?yàn)椋裕?所以.6分選條件：因?yàn)?，所以，即，則.由題意可知，則.因?yàn)椋?，?因?yàn)?，所以?所以.6分選條件：因?yàn)?，所以，即，則.由題意可知，則.因?yàn)?，所以，?因?yàn)椋裕?所以.6分（）由題意得.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為由，得.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，此時(shí).所以，所以的最大值是.13分（18）（共14分）解：（）設(shè)這個(gè)區(qū)域降雨量在135毫米以上為事件，區(qū)域降雨量在135毫米以上的區(qū)域共有6個(gè)，所以答：這個(gè)區(qū)域降雨量在135毫米以上的概率為4分

10、（）由題意分析可知，.隨機(jī)變量的分布列為:所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為:.11分（）.14分（19）（共15分）解：（）當(dāng)時(shí)，所以，所以切線方程為.4分（）由，得.令，得，.若，則，在上恒成立，因此，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不符合題意.若，則，與的情況如下：極大值極小值因此，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若在上有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，則需，所以.綜上，的取值范圍是.9分（）因?yàn)椋?，?又因?yàn)椋?，?令，所以.因?yàn)?，所以，又，所以，所以為上減函數(shù)，所以，所以綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.15分（20）（共15分）解：（）由題設(shè)，所以.又因?yàn)?，所?解得，.所以橢圓的方程為.5分（）由題意可知，直線斜率存在，設(shè)直線的方程為.由得.設(shè)，則，.因?yàn)檩S，所以.直線方程為，所以.因?yàn)檩S，所以.因?yàn)椋?所以.所以三點(diǎn)共線.因?yàn)椋?，所以，所?15分（21）（共15分）解：（）；.5分（）依題意，對(duì)任意，有或,或，因?yàn)榫鶠檫f增數(shù)列，所以有，即同時(shí)滿足：，.因?yàn)闉檫f增數(shù)列，因此和恒成立.又因?yàn)闉檎麛?shù)數(shù)列，對(duì)于，也恒成立.對(duì)于，一方面，由，得，即.另一方面，所以，即從第項(xiàng)到第項(xiàng)是連續(xù)的正整數(shù)，所以，因此，故共有種不同取值，即所有符合條件的數(shù)列共有個(gè).10分（）記，依題意，對(duì)任意，有或，注意到，即對(duì)任意，有，若，則，即；若，則，即，即對(duì)任意，或者，或者.所