牛頓法求非線性方程的根(共7頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上學科前沿講座論文班級：工程力學13-1班姓名：陸樹飛學號：專心-專注-專業(yè)牛頓法求非線性方程的根一 實驗目的 （1） 用牛頓迭代法求解方程的根（2） 了解迭代法的原理，了解迭代速度跟什么有關題目：用Newton法計算下列方程 （1） ， 初值分別為，； （2） 其三個根分別為。當選擇初值時給出結果并分析現象,當，迭代停止。二 數學原理對于方程f(x)=0，如果f(x)是線性函數，則它的求根是很容易的。牛頓迭代法實質上是一種線性化方法，其基本思想是將非線性方程f(x)=0逐步歸結為某種線性方程來求解。設已知方程f(x)=0有近似根xk(假定) ，將函數f(x)在點xk進

2、行泰勒展開，有于是方程f(x)=0可近似的表示為這是個線性方程，記其根為xk+1，則xk+1的計算公式為 ，k=0,1,2,這就是牛頓迭代法。三 程序設計（1）對于，按照上述數學原理，編制的程序如下 program newtonimplicit nonereal : x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分別為自變量x，函數f(x)和一階導數f1(x)integer : kwrite(*,*) "x(0)="read(*,*) x(0) !輸入變量：初始值x(0) open(10,file='1.txt')do k=1,50,1 fx(k)=

3、x(k-1)*3-x(k-1)-1 f1x(k)=3*x(k-1)*2-1 x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛頓法 write(*,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) !輸出變量：迭代次數k及x的值 write(10,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) if(abs(x(k)-x(k-1)<1e-6) exit !終止迭代條件end dostopend（2）對于，按照上述數學原理，編制的程序如下program newtonimplicit nonereal : x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)

4、!分別為自變量x，函數f(x)和一階導數f1(x)integer : kwrite(*,*) "x(0)="read(*,*) x(0) !輸入變量：初始值x(0) open(10,file='1.txt')do k=1,50,1 fx(k)=x(k-1)*3+94*x(k-1)*2-389*x(k-1)+294 f1x(k)=3*x(k-1)*2+188*x(k-1)-389 x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛頓法 write(*,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) !輸出變量：迭代次數k及x的值 write

5、(10,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) if(abs(x(k)-x(k-1)<5e-6) exit !終止迭代條件end dostopend四 結果分析和討論（1）對于方程 ， 當初始值初值分別為，時；所得結果如下分析與討論：從計算結果可以看出，當取的初始值不同時，雖然均得到了近似解x*=1.，但收斂速度明顯不同。當初始值x0充分接近于方程的單根時，可保證迭代序列快速收斂。在本例中，初始值1、0.7和0.5距方程的單根越來越遠，故收斂速度越來越慢。（2） 對于方程，當初始值x0=2時計算結果如下分析與討論：牛頓法有明顯的幾何解釋，方程f(x)=0的根x*可解釋為曲線y=f(x)與x軸的交點的橫坐標。設xk是根x*的某個近似值，過曲線y=f(x)上橫坐標為xk的點Pk引曲線y=f(x)的切線，并將該切線與x軸的交點坐標xk+1作為x*的新的近似值。本題中，當初始值x0=2時，在這個點的切線方程與x軸的交點恰為方程的一個根x=-98,因此迭代了兩次就