2011初中數(shù)學課標解讀--圖形與幾何(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2011版新課標解讀-初中數(shù)學圖形與幾何 株洲市第十九中學 萬德勝一、圖形與幾何內(nèi)容結(jié)構(gòu)分析 原來課程標準實驗稿的幾何框架是按照圖形的認識、圖形與變換、圖形與坐標和圖形與證明四條主線來劃分的，新的課程標準修訂稿把四條主線變成三條主線，這三條主線分別是圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標。首先是圖形的性質(zhì)這條主線基本上涵蓋了原來圖形的認識和圖形與證明的內(nèi)容，除了對一些基本圖形的認識之外，還包含著對圖形一些命題的證明，同時還發(fā)展了對學生的空間觀念和推理能力的要求。第二條主線是圖形的變化，這里面包含了合同變換圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉(zhuǎn)，以及圖形的相似（包括位似），由

2、于和相似關(guān)系密切，因此直角三角形的邊角關(guān)系也包含其中，還有一類變換是仿射變換，在課程標準中呈現(xiàn)的標題就是投影。這部分主要研究圖形之間的關(guān)系，特別是從運動的觀點和變化的角度來研究圖形，這個方法本身也是十分重要的。第三條主線叫做圖形與坐標，它包含坐標與圖形的位置，還有坐標與圖形的運動，用坐標的方法刻畫在圖形的變換中所熟知的軸對稱，圖形的平移，圖形的位似等等。從具體的內(nèi)容增減變化上，首先會發(fā)現(xiàn)增加了打星號的內(nèi)容，如關(guān)于相似三角形判定的演繹證明，圓中的垂徑定理、切線長定理等。作為選取部分，反映了課程標準理念中的“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”，相當于給學生提供一個彈性的空間，對那些有余力、有興趣的學

3、生，給他進一步多學一點數(shù)學的機會，學生有選擇性的學或者教師有選擇性的教。另外十個核心概念中，增加了一個叫幾何直觀。這部分內(nèi)容針對的是圖形，幾何直觀簡單的說就是用圖形說事。還有一些關(guān)于基本事實的增減變化等等。作為一線教師，這些變化需要我們重新去領(lǐng)悟和把握。首先我覺得應(yīng)該對這部分的內(nèi)容結(jié)構(gòu)有一個整體的認識和把握，比如四條主線變成了三條主線，這三條主線不光是對具體的學習內(nèi)容的要求，更是從不同的角度，更多的維度對我們初中階段的幾何圖形進行了全方位的、立體化的研究，它可以看作圖形研究不同的三個途徑，比如說都是一個三角形，我既可以用歐式的綜合幾何的角度去認識它，也可以用變換的角度去認識，同樣可以把它放在坐

4、標系，從坐標的角度去認識它。所以同樣是這些圖形，有這樣三條主線，可能就豐富了我們對這些圖形的理解。理解好這一點，可以使大家更深刻的體會到幾何課程對學生們的教育意義。圖形與坐標這部分內(nèi)容，跟實驗稿相比要求提高了。比方說軸對稱、平移現(xiàn)在要放到坐標系當中，利用量化的辦法進行研究，所以從思維層次上講提高了。從要求上看，這個步子確實比較大，所以希望老師們能夠進一步研讀標準，以達到能夠準確地去把握。 二、圖形的性質(zhì)內(nèi)容與教學分析 首先，我們所研究的這些圖形可以從不同的角度進行分類，比如說把它們分成直線形、曲線形。從維度上，有一維圖形，重點是二維圖形，當然還有簡單的三維圖形。從圖形的復(fù)雜程度上，有

5、基本圖形與組合圖形。具體來講，這一部分由七個小的標題組成，前五個標題，詳細地介紹了我們在初中階段所要掌握的一些基本圖形，比如說第一部分是點、線、面，介紹了構(gòu)成幾何圖形的基本元素，第二部分是相交線與平行線，對相交與平行這兩種平面直線位置關(guān)系的概念、定義、性質(zhì)和判別做了介紹。接下來一部分是三角形，這部分內(nèi)容里面涉及到三角形邊角的基本性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、以及特殊的三角形（等腰三角形和直角三角形）的性質(zhì)。第四部分是四邊形，重點介紹了平行四邊形，以及特殊的平行四邊形矩形、菱形和正方形的判別和性質(zhì)。第五部分是圓，重點介紹了圓的中心對稱性和軸對稱性，以及由此引出的與圓有關(guān)的性質(zhì)。當然這里面還有圓與

6、其他圖形（圓與直線，圓與四邊形，圓與多邊形）的關(guān)系。在六、七這兩部分內(nèi)容中，作為幾何學習的一個有機組成部分，分別談到了尺規(guī)作圖和定義、公理、證明的相關(guān)知識。對于尺規(guī)作圖，除了這是一種作圖方法，更多的是運用了圖形判定的一些辦法，實際上是對圖形判定的一個具體應(yīng)用。另外，只有明確了定義，公理、定理和證明的意義，我們才能夠更好地對圖形的性質(zhì)進行探索和證明。在“圖形的認識”里也有一些變化，比如梯形沒有了，可能有的老師覺得不愿意把它去掉，我想是不是這樣考慮的：首先小學我們已經(jīng)有了梯形的概念，包括它的面積計算；其次對于梯形來說，我們往往是把它分割成平行四邊形和三角形來研究的，而平行四邊形和三角形已經(jīng)作為基本

7、圖形在前面研究得比較充分了，也就是說梯形自身已經(jīng)沒有更多新的東西了，即它的問題基本上都解決了。當然如果老師們愿意把梯形給學生們介紹一些也未嘗不可，但是標準沒有再單獨把它列入在本學段的內(nèi)容當中。另外，標準中增加了圓內(nèi)接四邊形，這里主要是一個初步的了解，目的是把直線形和曲線形結(jié)合起來認識，希望老師們在教學的時候能夠很好地把握，沒有必要任意擴充。關(guān)于認識圖形我們不能只關(guān)注圖形的概念和性質(zhì)這些知識點，還應(yīng)在這個過程中，關(guān)注圖形之間的關(guān)系，利用認識圖形發(fā)展空間觀念與幾何直觀，這都是我們教學當中應(yīng)該考慮的。標準實驗稿的基本事實（原稱公理）是6條，現(xiàn)在做了一些調(diào)整，是9條，從這些基本事實出發(fā)，證明了關(guān)于線段

8、、角、三角形，四邊形大概 40 幾個結(jié)論，還包括圓，相似形的一些性質(zhì)。這些方法都應(yīng)是有機地聯(lián)系的，往往一個結(jié)論我們先通過合情推理得到一種猜想，然后我們再用邏輯推理的辦法來進行證明。在這個過程當中，學生不但學會了證明，得到了一些結(jié)論，同時也積累了一些數(shù)學活動經(jīng)驗。這次課程標準的目標比較重要的變化就是，把雙基拓展到四基，從兩個能力拓展到四個能力。我們在認識圖形的方式方法的多樣性方面，如果給予關(guān)注，實際上也正是對從雙基到四基實踐的一個很好的機會。因為在這個過程當中，所謂的合情推理，包括歸納類比，一些數(shù)學的思想都會滲透其中?；净顒咏?jīng)驗的積累，畫圖、拼圖、測量，要讓學生經(jīng)歷這樣的過程，比如變換，折疊運

9、動很可能與后面演繹推理的輔助線的引出、圖形的構(gòu)造是聯(lián)系很密切的。其實這樣的操作活動對學生積累活動經(jīng)驗，提供了非常好的機會。所以老師們應(yīng)該認識到，圖形認識方法的多樣性，帶給孩子們的收獲不僅僅是一些具體的結(jié)論。圖形的性質(zhì)在我們教學當中占的比重比較大，所以老師對這部分內(nèi)容的處理是不是能夠很好地去按照標準的要求去做，對學生的“圖形與幾何”這部分內(nèi)容的學習還是關(guān)系很重大的。在研究圖形的性質(zhì)的過程當中，一個是研究的性質(zhì)有哪些我們要明確，第二個研究它的手段和途徑我們也要能夠按照課程標準的要求做好設(shè)計，在一節(jié)課當中，使過程性目標和結(jié)果性目標對接。三、圖形的變化內(nèi)容與教學分析 首先圖形的變化應(yīng)該是圖形一種屬性的

10、體現(xiàn)，比如有很多圖形本身就是軸對稱的，如等腰三角形、正方形等等，有一些圖形又表現(xiàn)為中心對稱，比如平行四邊形，當然平行四邊形也可以看成一條邊是由其對邊平移得到的。所以在我們所學的圖形中，大都已經(jīng)隱含了我們用變化的角度來認識它，來看待它這樣一種屬性；第二，在日常生活當中，我們也會看到圖形的運動。所以，能夠用運動變化的觀點來認識圖形，是更好認識我們周圍世界的另一個角度。圖形變換是比較新的內(nèi)容，這里面有合同變換軸對稱，旋轉(zhuǎn)，平移。對于這些概念，課程標準在教學實際上的要求，不是說要嚴格對它進行定義，只是直觀的描述。所以，老師們在這個地方也不必過多地去深挖定義，主要是和學生們一起對它的性質(zhì)做一些研究。同時

11、還有相似，相似的內(nèi)容比較多，其中包括位似，另外就是投影，平行投影和中心投影，還有視圖，都和相似聯(lián)系得比較密切。對于相似我們主要以三角形的相似為主，這里面還包括增加了一條基本事實-平行線分線段成比例。增加這個基本事實的目的，是希望能夠?qū)筮吶切蜗嗨频呐卸ㄌ峁┳C明的基礎(chǔ)，這部分證明是打星號的內(nèi)容，這個基本事實的給出實際上是針對學有余力的學生，對他們的證明學習進一步打基礎(chǔ)。關(guān)于相似里的位似，根據(jù)標準，要求是了解位似能夠把圖形放大或者縮小，老師們在這個地方也不必過多深究。另外就是關(guān)于旋轉(zhuǎn)，主要研究中心對稱。軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移，統(tǒng)稱為合同變換，因為它們的共同特征是保持圖形的大小不變。在學習合同變換時，

12、應(yīng)主要把它作為認識圖形的一種工具和途徑，比如說等腰三角形具有軸對稱性，我們發(fā)現(xiàn)它的底角能夠重合在一起是相等的，這成為我們認識圖形基本性質(zhì)的方法。另外，因為在生活中，軸對稱的現(xiàn)象、旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象、平移的現(xiàn)象都很常見，所以也是我們從數(shù)學的角度來認識現(xiàn)實世界的一個工具。在教學當中，圖形的變化這塊具體的教學，首先說圖形的變化這一部分，跟傳統(tǒng)的幾何教學的演繹證明還是不同的，可能老師有些時候?qū)﹄y度和深度的把握會有不同的理解。圖形的變化得建立在學生直觀經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，換句話，我們對軸對稱，對旋轉(zhuǎn)、平移，不僅從文字上去理解，或者能用它去做題，應(yīng)更多的讓學生建立豐富的大量的實例，只有經(jīng)歷這樣一個過程，才能夠把這種變換

13、內(nèi)化到自己對圖形的認識當中、自覺去從變換的角度認識圖形。另外一點，有些老師為什么不是很重視圖形變化這部分內(nèi)容呢？往往覺得，它和演繹證明聯(lián)系不大，作用不強。應(yīng)該說，雖然我們不能用變換的方式去完整地處理綜合證明的題，但是我們不妨用變換的角度去認識這些問題，挖掘這些問題的證明思路。我們會看到，所有跟等腰三角形有關(guān)的證明題，往往都跟等腰三角形的軸對稱性相關(guān)，如果要添加輔助線，往往都是在對稱軸上做文章。同樣所有跟平行四邊形有關(guān)的證明問題，往往跟對稱中心是相聯(lián)系的，兩條對角線的交點起著很關(guān)鍵的作用，所以圖形變換往往能夠成為我們解決和研究圖形非常有利的工具。四、圖形與坐標內(nèi)容與教學分析 引入直角坐標系，首先

14、就是要確定平面上一個點的位置，這和生活有很密切的聯(lián)系。比方說我們下棋的棋盤、電影院里的座位、地圖等等，把這個東西抽象出來就是坐標系了，在初中就是平面直角坐標系。我們畫函數(shù)的圖象當然利用的也是坐標，但這比確定點的位置更抽象，比如我們畫時間和路程關(guān)系的圖象，1 小時，50 公里，這兩個量的單位完全是不同的，但是它是有序數(shù)對這一點是不變的，所以我們可以借助坐標系畫出它的圖象，然后利用圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)。所以畫函數(shù)的圖象，應(yīng)該是平面直角坐標系的一個進一步的應(yīng)用。課程標準的研制可能基于這樣一個考慮，就是坐標系更多的還是確定點的位置的一個工具。因此在圖形與幾何里給出就是很自然的東西。有了坐標系之后，因為

15、有了有序數(shù)對和點的對應(yīng)，恰與函數(shù)中自變量和因變量之間的關(guān)系相似，所以使得坐標系又成為研究函數(shù)的工具。從這個意義上講，把坐標系放在圖形與幾何里應(yīng)該是順理成章的事情。從課程標準來講，首先是要熟悉坐標系最基本的要素，比如坐標軸、單位，原點等等，然后要讓學生了解用一個數(shù)對可以刻畫點的位置，進一步刻畫圖形的位置，一個圖形的關(guān)鍵點的位置確定了，這個圖形的位置就確定了。當然這時候都是靜止的，在學習了圖形的運動后，就進一步研究坐標的變化和圖形的變化之間的聯(lián)系。標準的修改稿和原來實驗稿有一些變化，提高了要求，比如要讓學生知道，沿著坐標軸的方向平移一個圖形，它的坐標變化和圖形變化的聯(lián)系。還有軸對稱等等。希望學生通

16、過這部分的學習，能夠體會用坐標系刻畫點的位置，點的位置和變化和圖形的運動變化之間的規(guī)律。在進行教學的時要抓住圖形與坐標的實質(zhì)，圖形、圖像與表達式的對應(yīng)，本質(zhì)上就是點和數(shù)的對應(yīng)，而這種認識根本上取決于對點的坐標意義的理解，想把這部分教好、學好，是花的筆墨最多的地方，不是在各種變化和題型的技巧上，而是應(yīng)該濃墨重彩地說明點的坐標的含義究竟是什么。把它作為認識圖形的另外一個途徑和手段，在坐標系下，圖形和圖象有了數(shù)量的味道，他只要感覺到這種味道，其實對他今后的數(shù)學發(fā)展就是很有幫助的。五、空間觀念與幾何直觀 空間觀念在我們國家的以前教學大綱中就有這樣的提法，但以前的課程中，用來支撐空間觀念，或者培養(yǎng)學生空

17、間觀念的內(nèi)容和素材卻相對貧乏，所以從課程實施角度，對它的支撐顯得很不夠。但是這次課程標準的實驗稿和修改稿，不僅把空間觀念作為一個核心概念提出來，同時在內(nèi)容的設(shè)置上、以及在教學的要求上，都有相應(yīng)的支撐的它的素材。從課程的設(shè)計中就非常重視二維和三維圖形的轉(zhuǎn)換，因為這樣的轉(zhuǎn)換對發(fā)展學生的空間觀念是非常有益的。包括展開與折疊、截一個幾何體、視圖與投影等內(nèi)容，都可以屬于這個范圍。另外用運動的觀點來看待這個圖形，如軸對稱、中心對稱，通過變換的角度，我們想象這個圖象，想象它的形狀，想象它的變化，就是培養(yǎng)空間觀念非常好的素材。同時，象圖形與坐標、一個圖形可以看成是由另一個圖形做怎樣的變化得到的，這些內(nèi)容都是非

18、常重要的。老師在這些內(nèi)容的教學當中要重視這個過程，把培養(yǎng)空間觀念作為我們的教學目標，給學生時間和空間，讓他們?nèi)ヌ骄俊⒆屗麄內(nèi)ソ涣?、讓他去表達，說他的感受，說他的想象，這樣才能使培養(yǎng)學生的空間觀念落到實處。另外，空間觀念培養(yǎng)，核心的東西就是想象，比如在二維圖形和三維圖形轉(zhuǎn)換過程當中，實際上也是看見二維圖形去想象和它對應(yīng)的三維圖形；有了三維圖形去想象跟它相關(guān)的二維圖形。再如截一個幾何體，我們用一個平面去截一個圓錐體，這個平面和錐體的相交的位置不一樣，它的截面就不同，有時是一個圓，有時是一個橢圓，有時又是一條雙曲線，這同樣需要想象；類似的展開折疊也是這樣，一個平面圖能否折疊成一個三維圖形，都是想象在

19、起作用。圖形的運動，圖形的位置的確定，中間也都有很多想象的成份在里面，所以我們要抓住空間觀念的核心要素想象。再有一點，就是空間觀念想要真正能夠落實，還需要我們在教學過程中，充分地留給學生感受體驗的過程。唯有過程充分了，觀念和能力才能有所提升。所以，我們盡量不要把關(guān)乎空間觀念的這些課程，上成完成數(shù)學結(jié)論的課。還是應(yīng)該把過程做足，淡化這些結(jié)論，才能更好地培養(yǎng)空間觀念。關(guān)于幾何直觀，首先是針對圖形，我們根據(jù)直觀可能對圖形的性質(zhì)會有一些判斷，而不是依據(jù)測量或計算。另外，幾何直觀不管是在代數(shù)當中，還是在統(tǒng)計概率當中，可能都要用到。面對一個比較復(fù)雜的、比較抽象的對象，如果我們能用直觀的辦法，用圖形的辦法，

20、把它描述刻畫出來，會使這個對象更容易理解，這是一種能力。不說太遠，在數(shù)學中畫函數(shù)圖象，對于理解函數(shù)的性質(zhì)有非常大的幫助，就因為它直觀，我們可以對函數(shù)的變化情況與趨勢進行預(yù)測，這方面比解析式、表格都更清楚。再如在統(tǒng)計里面，如扇形統(tǒng)計圖，我們一看就知道哪一部分占的比重更大。我們說幾何直觀是很好的一種能力，一個學生如果能用直觀的方式來進行描述、來進行刻畫，那么說明他對這個概念本身的理解比較深刻。所以這也是我們學會用圖形來說事情，用圖形來做事情的一個很重要的體現(xiàn)。當然幾何直觀，作為一個新出現(xiàn)的核心概念，可能我們對它的認識和理解還是要有一個過程的。六、推理能力 新課程標準明確地提出，推理能力包含了合情推理能力與演繹推理能力，在高中的課程標準當中，也提出了合情推理、演繹推理兩個概念，因此現(xiàn)在也就是在我們從義務(wù)教育階段開始，我們就要關(guān)注兩種能力的培養(yǎng)，一直延續(xù)到高中。合情推理，一般包括歸納和類比，演繹推理一般就是從基本事實出發(fā)，推出來一些定理，它們再作為推理的出發(fā)點，來進行論述。我們在判斷一個命題是否正確的時候，首先運用合情推理的方法，包括直觀、操作、猜測，然后得出假設(shè)。這些假設(shè)是否能成立呢？我們就需要用演繹推理的方式去進行證明。所以合情推理往往是一種發(fā)現(xiàn)的方法和手段，而演繹推理是一種證實的手段，它們相輔相成，共同完成對一個命題的認識。在日常