拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用

1、目 錄引言.11 拉普拉斯變換以及性質(zhì).11.1 拉普拉斯變換的定義.11.2 拉普拉斯變換的性質(zhì).22 用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟.33 拉普拉斯變換在求解常微分方程中的應(yīng)用.43.1 初值問(wèn)題與邊值問(wèn)題.43.2 常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程.53.3 含函數(shù)的常微分方程.63.4 常微分方程組.73.5 拉普拉斯變換在求解非齊次微分方程特解中的應(yīng)用.73.6 拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的推廣.114 拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用.124.1 齊次與非齊次偏微分方程.124.2 有界與無(wú)界問(wèn)題.155 綜合比較，歸納總結(jié).19結(jié)束語(yǔ).20參考文獻(xiàn).20英文摘要.21致謝

2、.21忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）1拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用 物理系 0801 班 學(xué) 生 岳艷林 指導(dǎo)老師 韓新華摘摘 要：要：拉普拉斯變換在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介紹拉普拉斯變換的定義及性質(zhì)；其次給出拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟；然后重點(diǎn)舉例拉普拉斯變換在求解常微分方程（初值問(wèn)題與邊值問(wèn)題、常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程、含函數(shù)的常微分方程、常微分方程組、拉普拉斯變換在求解微分方程特解中的應(yīng)用、拉普拉斯變換在求解高階微分方程的推廣）與典型偏微分方程（齊次與非齊次偏微分方程、有界與無(wú)界問(wèn)題）中的應(yīng)用舉例；最后綜合比較、歸

3、納總結(jié)拉普拉斯變換在求解微分方程中的優(yōu)勢(shì)以及局限性。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：拉普拉斯變換；拉普拉斯逆變換；常微分方程；偏微分方程；特解 引言引言傅里葉變換和拉普拉斯變換是常用的積分變換，但對(duì)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換時(shí)必須滿足狄里希利和在內(nèi)絕對(duì)可積，但是在物理、無(wú)線電技術(shù)等t實(shí)際應(yīng)用中，許多以時(shí)間 為自變量的函數(shù)通常在時(shí)不需要考慮或者沒(méi)有t0t 意義，像這樣的函數(shù)不能取傅里葉變換。為避免上述兩個(gè)缺點(diǎn)，將函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)改造，便產(chǎn)生了拉普拉斯變換1。1 1 拉普拉斯變換以及性質(zhì)拉普拉斯變換以及性質(zhì)1.11.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有定義，而且積分( 是一個(gè)復(fù)參量)在 的( )f t0t 0

4、( )stf t edtss某一區(qū)域內(nèi)收斂，則此積分所確定的函數(shù)可寫(xiě)為.我們稱上式0( )( )stF sf t edt為函數(shù)的 Laplace 變換式.記為,稱為的 Laplace 變( )f t( ) ( )F sL f t( )F s( )f t換（或稱為象函數(shù)）.若是的 Laplace 變換，則稱為的 Laplace 逆變換（或稱( )F s( )f t( )f t( )F s為象原函數(shù)） ，記為2.1( ) ( )f tLF sLaplace 變換的存在定理忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）2若函數(shù)滿足下列條件:( )f t在的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；10t 當(dāng)時(shí)，的增長(zhǎng)速度不超

5、過(guò)某一指數(shù)函數(shù)，亦即存在常數(shù)2t ( )f t及，使得成立（滿足此條件的函數(shù)，稱它的0M 0c c( )0f tMet ，增大是不超過(guò)指數(shù)級(jí)的， 為它的增長(zhǎng)指數(shù)）. c則的 Laplace 變換在半平面上一定存在，( )f t0( )stFf t edt（s）=Re( ) sc右端的積分在的半平面內(nèi),為解析函數(shù)2.1Re( ) scc( )F s1.21.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)線性性質(zhì) 若是常數(shù)，, ,，11( )( )L f tF s22( )( )L f tF s則有, 1212( )( )(t)+( )Lf tf tL fL f t.1111212( )( )(s)+(

6、 )LF sF sLFLF s微分性質(zhì) 若,則有. ( )( )L f tF s( )( )(0)L f tsF sf高階推廣 若,則有. ( )( )L f tF s2( )( )(0)(0)L fts F ssff一般，.12(2)(1)( )( )(0)(0)(0)(0)nnnnnnL fts F ssfsfsff積分性質(zhì) 若,則. ( )( )L f tF s01( )( )tLf t dtL F ss位移性質(zhì) 若，則. ( )( )L f tF s( )()(Re()atL e f tF sasac延遲性質(zhì) 若,又時(shí), ( )( )L f tF s0t ( )=0f t則對(duì)于任一非負(fù)

7、實(shí)數(shù)，有,或2. ()( )sL f teF s1( )()sLeF sf t相似性性質(zhì) 若,則. ( )( )L f tF s1 ()( )sL f atFaa卷積性質(zhì) 若,，11( )( )L f tF s22( )( )L f tF s則，11212( )( )( )( )L f tf tF s F s其中稱為與的卷積3.112120( )( )( )()tf tf tff td)(1tf)(2tf由于從定義以及性質(zhì)求拉普拉斯變換或拉普拉斯逆變換困難且復(fù)雜，在控忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）3制工程中，常常通過(guò)查閱已編好的“拉氏變換對(duì)照表”來(lái)實(shí)現(xiàn)。拉氏變換對(duì)照表列出了工程上常用的

8、時(shí)間函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的拉氏變換，可以根據(jù)該表查找原函數(shù)的象函數(shù)，或者從象函數(shù)查找原函數(shù)。對(duì)于表中不能找到的形式，可以把它展開(kāi)成部分分式，再求拉普拉斯變換或拉普拉斯逆變換。以下是本文將用到的幾種常用的拉普拉斯變換函數(shù)對(duì)3:表一：拉普拉斯變換函數(shù)表2 2 用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟像其他方法求解微分方程一樣，應(yīng)用拉普拉斯變換求解微分方程也有規(guī)范的步驟，其一般步驟4如下：1、根據(jù)自變量的變化范圍和方程及其定解條件的具體情況來(lái)決定對(duì)哪一個(gè)自變量進(jìn)行拉普拉斯變換，然后對(duì)線性微分方程中每一項(xiàng)取拉普拉斯變換，使微分方程變?yōu)?s 的代數(shù)方程；2、解象函數(shù)的代數(shù)方程，得

9、到有關(guān)變量的拉普拉斯變換表達(dá)式，即象函數(shù)；原函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)象函數(shù)1s1()ntn為整數(shù)1!nsntes1attsin1saarctantsin22stcos22sstsh22stch22ssttsin222)(2ssttcos22222)(ss)(t1)2(taerfcsaes1忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）43、對(duì)象函數(shù)取拉普拉斯逆變換，得到微分方程的時(shí)域解。流程圖法5如下： 微分方程的解取拉普拉斯逆變換取拉普拉斯變換解代數(shù)方程原函數(shù)象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程圖一：拉普拉斯變換求解微分方程的流程圖拉普拉斯變換在物理和工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，通過(guò)拉普拉斯變換，可以方便地對(duì)線性控

10、制系統(tǒng)進(jìn)行分析、研究，可以對(duì)一些級(jí)數(shù)進(jìn)行求和，還可以求解微分方程1。接下來(lái)重點(diǎn)討論拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用。3 3 拉普拉斯變換在求解常微分方程中的應(yīng)用拉普拉斯變換在求解常微分方程中的應(yīng)用3.13.1 初值問(wèn)題與邊值問(wèn)題初值問(wèn)題與邊值問(wèn)題例：求解初值問(wèn)題2.43, (0)(0)1tyyyeyy解：設(shè)對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有),()(tyLsY,21( )(0)(0)4( )(0)3 ( )1s Y ssyysY syY ss結(jié)合初始條件，有,21( )14( ) 13 ( )1s Y sssY sY ss 整理展開(kāi)成部分分式，有.22266711131( )(1) (3)41

11、2 (1)43ssY ssssss由拉普拉斯變換函數(shù)表,可知,.11tLes111tLes1313tLes由拉普拉斯變換函數(shù)表,并結(jié)合位移性質(zhì)，11!nnnLts( )()tL ef tF s可知，121(1)tLtes對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得方程的解為忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）5。1337131( ) ( )(72 )34244ttttty tLY seteet ee例：求解邊值問(wèn)2.0,(0)0,(2 )1yyyy解：設(shè)對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有),()(tyLsY, 0)()0()0()(2sYysysYs結(jié)合初始條件，有, 0)()0()(2sYysYs整理展開(kāi)

12、成部分分式，有),1111(21)0(1)0()(2ssysysY由拉普拉斯變換函數(shù)表可知,11tesL,111tesL.111tesL對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得方程的解為.sinh)0()(0(21)()(1tyeeysYLtytt為了確定，將條件代入上式可得)0(y1)2(y,2sinh1)0(y所以，方程的解為.2sinhsinh)(tty3.23.2 常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程例：求解常系數(shù)微分方程2.2)1(,0)0(,02 yyyyy解：設(shè)對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有),()(tyLsY, 0)()0()( 2)0()0()(2sYyssYysysYs

13、結(jié)合初始條件，有, 0)()( 2)0()(2sYssYysYs整理展開(kāi)成部分分式，有,) 1()0(12)0()(22syssysY由拉普拉斯變換函數(shù)表并結(jié)合位移性質(zhì),!11nntsnL),()(sFtfeLt可知.) 1(121ttesL對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得方程的解為 ,)0()()(1tteysYLty為了確定，將條件代入上式可得)0(y2) 1 (y,2)0(ey忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）6所以，方程的解為.22)()(11ttteteesYLty例：求解變系數(shù)微分方程2.0020,(0)1,(0),(tyytyyycc為常數(shù)）解：設(shè)對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，

14、),()(tyLsY, 02 tyLyLtyL即, 04 tyLyLtyL亦即, 0)()0()( 2)0()0()(2sYdsdyssYysysYsdsd兩邊積分可得, 0)()0()( 2)0()()(22sYdsdyssYysYdsdsssY結(jié)合初始條件，有, 0)( 1)( 2 1)()(22sYdsdssYsYdsdsssY整理可得,11) s (2sYdsd兩邊積分可得,arctan)(cssY欲求待定系數(shù) c,可利用，所以從，0)(limsYs2c，sssY1arctanarctan2)(由拉普拉斯變換函數(shù)表可知,sin1arctan1attsaL.sin1arctan1ttsL

15、對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，可得方程的解為.sin1)()(1ttsYLty3.33.3 含含函數(shù)的常微分方程函數(shù)的常微分方程例：質(zhì)量為的物體掛在彈簧系數(shù)為的彈簧一端，當(dāng)物體在時(shí)在mk0t 方向受到?jīng)_擊力(t),其中為常數(shù)。若物體自靜止平衡位置x( )( )f tAtA處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求該物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律2.0 x ( )x t解：根據(jù)牛頓定律，有,)( kxtfmx其中由胡克定律所得，是使物體回到平衡位置的彈簧的恢復(fù)力。所以，kx物體運(yùn)動(dòng)的微分方程為. 0)0()0(),0)( xxttfkxmx且這是二階常系數(shù)非齊次微分方程，對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換，設(shè)忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）7并考慮到

16、初始條件，則得,)()(),()(AtALtfLsXtxL,)()(2AskXsXms如果記有,20mk.1)(202smAsX由拉普拉斯變換函數(shù)表可知,sin221tsL.sin11002021tsL對(duì)方程兩邊同時(shí)取反演，從而方程的解為.sin)(00tmAtx可見(jiàn)，在沖擊力作用下，運(yùn)動(dòng)為一正弦振動(dòng)，振幅是角頻率是稱,0mA,0為該系統(tǒng)的自然頻率（或稱固有頻率） 。03.43.4 常微分方程組常微分方程組例：求解三維常微分方程組20,0, (0)1, (0)(0)(0)(0)(0)00,xxyzxyyzxyzxyzxyzz解：設(shè)對(duì)方程組的兩個(gè)方程兩邊分),()(txLsX),()(tyLsY

17、),()(tzLsZ別取拉普拉斯變換并結(jié)合初始條件，有. 0)() 1()()(0)()() 1()(, 0)()()() 1(222sZssYsXsZsYssXsZsYsXs解該方程組，整理展開(kāi)成部分分式，有.131231)2)(1()()(,131232)2)(1()(222222223ssssssssZsYssssssssX取其逆變換，可得原方程組的解忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）8.cos31)2cosh(31)()(,cos31)2cosh(32)(tttztytttx3.53.5 拉普拉斯變換在求解非齊次微分方程特解中的應(yīng)用拉普拉斯變換在求解非齊次微分方程特解中的應(yīng)用形如的

18、方程稱為階常系數(shù)非齊次線)(1)1(1)(xfyayayaynnnn n性微分方程，這里為常數(shù)，為連續(xù)函數(shù)。我們平時(shí)用到的nnaaaa,1, 21( )f x主要有三種形式：,( )f x( )xf xe,212( )( )( )xnnf xep xp xp xp xp x其中6.( )sin( )cosf xxf xx、該非齊次微分方程的解即該非齊次微分方程的特解與對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解。對(duì)于該方程的通解可用多種方法求特解，如：比較系數(shù)法、常數(shù)變易法、算子法等。下面將用拉普拉斯變換法求解該方程的特解。設(shè)為求特解令初始條件為零，對(duì)方程兩邊同),()(),()(xfLsFtyLsY時(shí)取拉普拉斯

19、變換，得到，下面結(jié)合 f(x)的三種nnnnasasassFsY111)()(形式分別作介紹。（1）xexf)(此時(shí)，)(1)(111nnnnasasasssY對(duì)其進(jìn)行部分分式分解，令，)()(11121nnnnnnasasasDCsBssAsY則該齊次微分方程特解的形式與自由項(xiàng) f(x)有關(guān)，也就是說(shuō)與變換項(xiàng)有關(guān)；sA對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解由決定，只要該項(xiàng)分母中)(11121nnnnnnasasasDCsBs不含有特解因子，則特解只取決于7。ssA若, 0111snnnnasasas忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）9則，snnnnasasasxYsA)(1)()(111即相應(yīng)的拉普拉

20、斯變換特解為.)(11)(111snnnnasasassxY對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為).()(1sYLty例：求解常系數(shù)線性齊次方程的特解。xeyy2 解：設(shè)令初始條件為零，),()(tyLsY對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有.21)()(2ssYss整理展開(kāi)成部分分式，有,2)(2(1)(22ssCBssAssssY此時(shí)則, 0)(22sss,2121121)(11)(22111ssssasasassxYssnnnn對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為xesLsYLty211212121)()(若, 0)( )(11111mnmnmnsmsnnnnbsbs

21、sasasas令，)()()(11211mnmnmnmnmnmbsbsDsCsBsAsY同理，相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為.)(1)(1)(111smnmnmnmbsbssxY例：求解常系數(shù)線性齊次方程的特解。xeyyyy2 485解：設(shè)令初始條件為零，),()(tyLsY對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有.21)() 485(23ssYsss則,) 1()2)(2(1)485)(2(1)(223ssssssssY忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）10此時(shí), 0485223ssss令,) 1()2()(3sBsAsAsY則相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為,) 2(111.) 2(1)(1)(1)(323

22、111sssbsbssxYssmnmnmnm對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為.21)2(1)()(22311xexsLsYLty（2）. )()()(221nnxxpxpxpxpxpexf其中例：求微分方程的特解。xxeyyy2 65解：設(shè)令初始條件為零，),()(tyLsY對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有,) 2(1)() 65(22ssYss則,)3)(2()2(1)65()2(1)(222sssssssY此時(shí), 06522sss令,65)2()(22ssDCssBAssY,21231)1)(2(121651)2()(442444444222222sssssssssssss

23、YBAsssssssss相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為,)2(1)2(121)2(1)2()(3222ssssssBAssY對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為).211 ()21()2(1)2(1)()(2223211xxexexessLsYLtyxxx（3）xxfxxfcos)(sin)(、忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）11例：求解微分方程的特解7。xyyy2sin54 解：設(shè)令初始條件為零，),()(tyLsY對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有,42)() 54(22ssYss令,544)(22ssDCssBAssY,65) 14(2116) 14(2) 14)(14() 1

24、4(2142542)4)(42444222222sssssssssssYBAsssss相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為),4248(651)4(65) 14(24)(2222ssssssBAssY對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為112221( )( )8(8cos2sin2 ).4465sy tLYsLxxss 3.63.6 拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的推廣拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的推廣對(duì)于階常系數(shù)線性齊次微分方程滿足以n( )(1)110nnnnya yaya y下兩個(gè)引理8：引理 1 n 階常系數(shù)線性齊次方程的解（積分曲線）具有平移不變性。也就是說(shuō)，若 y=y(x)為

25、 n 階常系數(shù)線性齊次方程的一個(gè)解，則對(duì)任意的常數(shù) c,也是 n 階常系數(shù)線性齊次方程的解。()yy xc引理 2 若為 n 階常系數(shù)線性齊次方程的一個(gè)解，),(00yxxyy 經(jīng)平移后變?yōu)閯t也是 n 階常),(00yxxyy ), 0 ,(00yxxyy), 0 ,(00yxxyy系數(shù)線性齊次方程的解。下面給出利用拉普拉斯變換方法求解三階常系數(shù)線性齊次方程滿足在任意點(diǎn)的初始條件0 )3(ryqypyy的解。200 10000)(y,)(,)(yxyxyyxy設(shè)方程的解為這樣，我們便將初值點(diǎn)平移到), 0 ,(),(0000yxxyyxxyy了點(diǎn)，于是可用如下的拉普拉斯變換方法求解該初值問(wèn)題。

26、00 xx忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）12令),t)(, 0 ,()(000 xxyxxyty其中.)0(y,)0(,)0(,)0()3(03()2(0 00yyyyyyy）設(shè)對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，得到),()(tyLsY, 0 )3(ryqypyyL由拉普拉斯變換的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)以及)0()()(fssFtfL高階導(dǎo)數(shù)推廣可得，) 0() 0() 0() 0()()() 1()2(21 nnnnnnfsffsfssFstfL. 0)()0()()0() 0()()0() 0() 0()(2 23srYyssYqysysYspysyyssYs結(jié)合初始條件，有. 0)()()()(0

27、10022010023srYyssYqysysYspysyyssYs整理可得.)()(1)(20100223yypsyqpssrqspsssY對(duì)上式兩邊同時(shí)取拉普拉斯逆變換，可得.)()(1)(2010022311yypsyqpssrqspssLsYL進(jìn)行變量還原，便得到所求初值問(wèn)題的解為).()(), 0 ,(),(00000 xxytyyxxyyxxyy例：求解二階常系數(shù)線性齊次方程，該方程滿足初始條件0 yy8()1,()144yy 解：首先轉(zhuǎn)化初值條件).4)() 1 , 0 ,4() 1 ,4,(xttyxyxyy其中設(shè)對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，得到),()(tyLsY, 0 y

28、yL即. 0)( 1)(2sYssYs整理成部分分式，有.11111)(222ssssssY由拉普拉斯變換函數(shù)表可知,cos221tssL,cos121tssL忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）13由拉普拉斯變換函數(shù)表可知,sin221tsL,sin1121tsL對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得方程的解為.sincos)()(1ttsYLty變量還原，得到原初值問(wèn)題的解為.cos2)4sin()4cos(sincos)() 1 , 0 ,4() 1 ,4,(xxxtttyxyxyy4 4 拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用4.14.1 齊次與非齊次偏微分

29、方程齊次與非齊次偏微分方程例：求解齊次偏微分方程2.3,), 0( ,02022yuxuyxyxyxuxy解：對(duì)該定解問(wèn)題關(guān)于 y 取拉普拉斯變換，并利用微分性質(zhì)及初始條件可得),(),(sxUyxuL,)0 ,(),(2xsUxusxsUyuL,2)(02xdxdUsxuxusLxuyLyxuLy,222sxyxL.3200sUuLxx這樣，原定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的一階常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問(wèn)題：.3,22022sUsxxdxdUsx忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）14方程可轉(zhuǎn)化為222sxxdxdUs222sxxdxdUs解此微分方程，可得其通解為其中 c 為常數(shù)。,3

30、233csxsxU為了確定常數(shù) c，將邊界條件代入上式，可得203sUx.32sc 所以，.33),(2233ssxsxsxU由拉普拉斯變換函數(shù)表可知, 111sL.221xsxL由拉普拉斯變換函數(shù)表可知,!11nntsnL,2323331yxsxL.3321ysL方程兩邊取反演，從而原定解問(wèn)題的解為.36),(),(2231xyyxsxULyxu例：求解非齊次偏微分方程2. 0, 0, 0),0, 0( ,00022222xttutuutxggxuatu為常數(shù)），解：對(duì)該問(wèn)題關(guān)于 t 取拉普拉斯變換， ，并利用微分性質(zhì)及初始條件可得),(),(sxUtxuL,),(20222Ustuussx

31、UstuLott,sggL,),(222222UdxdtxuLxxuL. 000 xxUuL忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）15這樣，原定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問(wèn)題：. 0lim, 0,11022222UUsgaUsadxUdsx方程可轉(zhuǎn)化為sgaUsadxUd2222211,1122222sgaUsadxUd解此微分方程，可得其通解為其中,),(321sgececsxUxasxas為常數(shù)。21,cc為了確定常數(shù)將邊界條件代入上式，,21cc0lim, 00UUsx可得, 0321sgcc所以，.)1 (),(333saxxasesgsgesgsxU

32、由拉普拉斯變換函數(shù)表可知,!11nntsnL.2231tgsgL由拉普拉斯變換函數(shù)表并結(jié)合延遲定理,!11nntsnL),()(010ttfsFeLst可知).()(2231axtuaxtgesgLsax方程兩邊取反演，從而原定解問(wèn)題的解為).()(22),(),(223311axtuaxtgtgesgsgLsxULtxusax（或）.,)(22;,2222axtaxtgtgaxttg4.24.2 有界與無(wú)界問(wèn)題有界與無(wú)界問(wèn)題例：求解有界偏微分方程忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）162. 0, 0),(, 0),0,0( ,00022222ttlxxtuutuutlxxuatu解：對(duì)該定

33、解問(wèn)題關(guān)于 t 取拉普拉斯變換，記),(),(sxUtxuL,20222UstuusUstuLtox,2222dxUdxuL, 00 xoxUuL).(sUuLlxlx這樣，原定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的邊值問(wèn)題：該方程的通解為其中是常數(shù)。,),(21xasxasececsxU21,cc為確定常數(shù)，將邊界條件代入上式，可得即21,cc, 00 xU, 021cc;21cc將邊界條件代入上式，可得)(sUlx.)(21laslasececs因此.)(21laslaseescc從而.11)()()()()(),(4)3()3(4)()(33salxlasxlassalx

34、lasxlaslaslaslaslaslaslasxasxaslaslasxasxaseeeeeeseeeeeeeeseeeessxU為了求的拉普拉斯逆變換，注意到分母為所以逆變換是周( , )U x s,14sale( , )u x t期為的關(guān)于的周期函數(shù)。根據(jù)周期函數(shù)的拉普拉斯變換式，其中al 4).(, 0, 002222sUUUasdxUdlxx忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）17表明是以為周期的周期函數(shù)，即sales41)()(tal 4alssalsaldeeestL4044,)(111)()(由拉普拉斯變換函數(shù)表),(1)(41tesLsal并結(jié)合延遲定理),()(010t

35、tfsFeLst可知).()(1)(41axltuaxlteesLsaxlsal同理可知).()(1)(41axltuaxlteesLsaxlsal).3()3(1)(341axltuaxlteesLsaxlsal).3()3(1)(341axltuaxlteesLsaxlsal方程兩邊取反演，從而原定解問(wèn)題的解為).3()3()3()3()()()()(),(),(1axltuaxltaxltuaxltaxltuaxltaxltuaxltsxULtxu其中為單位階躍函數(shù)，)(au即. 0, 1, 0, 0)(aaau例：求解無(wú)界偏微分方程2. 0(),0, 0 x( ,000222txuuu

36、thhuxuatu常數(shù)），為常數(shù)），（忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）18解：對(duì)該問(wèn)題關(guān)于 t 取拉普拉斯變換，記),(),(sxUtxuL,),(0sUusxsUtuLx,),(222222dxUdtxuLxxuL.000suUuLxx這樣，原定界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的邊值問(wèn)題：.(0lim, 000222為自然定解條件）UsuUUahsdxUdxx解此微分方程可得通解為,其中,為常數(shù)。12( , )s hs hxxaaU x sc ec e1c2c為確定常數(shù),，將邊界條件代入上式，可得;1c2csuUx00012uccs將邊界條件代入上式，可得.0lim

37、Ux10c 因此，.02ucs所以，.0( , )s hxauU x ses從而，110( , ) ( ,s hxauU x tL U x sLes）由拉普拉斯變換函數(shù)表，可知。11 1Ls100uLus由拉普拉斯變換函數(shù)表，21212()2a sataLeerfcedst可知.21212()2xsaxa txLeerfcedsa t忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）19如果令顯然,2)(22detftax(0)0f由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)可知,)0()()(fssFtfL11( )xsaf tLses亦即,taxtaxsaxetatxtaxdtdetfeL2224)2(12)2(2)(由位移性質(zhì),(

38、)()tL ef tF s可知.22)4(412222httaxhttaxxahsetatxeetatxeL由卷積定理),()()()(21211sFsFtftfL可得,),(101xahseLsuLtxU令最后可得該定解問(wèn)題的解為,2axtaxahxtthtaxhttaxxahsdeudettaxuetatxueLsuLtxu2)4(00)()(40)4(0101.2)()(2)(2),(222222225 5 綜合比較，歸納總結(jié)綜合比較，歸納總結(jié)從以上的例題可以看出，用拉普拉斯變換方法求解微分方程有如下的優(yōu)缺點(diǎn)113： 拉普拉斯變換對(duì)像函數(shù)要求比傅里葉變換弱，其使用面更寬。但拉普拉斯變換像

39、其他變換一樣都有其局限性，只有滿足其存在定理時(shí)才可以使用拉普拉斯變換。而在微分方程的一般解法中，并沒(méi)有任何限制；用拉普拉斯變換方法求解微分方程，由于同時(shí)考慮初始條件，求出的結(jié)果便是需要的特解。而微分方程的一般解法中，先求通解，再考慮初始條件確定任意常數(shù)，從而求出特解的過(guò)程比較復(fù)雜；零初始條件、零邊界條件使得拉普拉斯變換方法求解微分方程更加簡(jiǎn)單。忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）20而在微分方程的一般解法中，不會(huì)因此而有任何簡(jiǎn)化；用拉普拉斯變換求解微分方程，對(duì)于自變量是零的初始條件，求其特解是非常方便的。但微分方程的一般解法并沒(méi)有簡(jiǎn)化；用拉普拉斯變換方法求解微分方程，對(duì)方程的系數(shù)可變與否、對(duì)

40、區(qū)域有界與否、對(duì)方程和邊界條件齊次與否并無(wú)特殊關(guān)系。而在微分方程的一般解法中，會(huì)遇到很多困難；用拉普拉斯變換方法求解微分方程組，可以在不知道其余未知函數(shù)的情況下單獨(dú)求出某一個(gè)未知函數(shù)。但在微分方程的一般解法中通常是不可能的；拉普拉斯變換可以使解個(gè)自變量偏微分方程的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為解個(gè)n1n自變量的微分方程的問(wèn)題，逐次使用拉普拉斯變換，自變量會(huì)逐個(gè)減少，有時(shí)還可將解n個(gè)自變量偏微分方程的問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為解一個(gè)常微分方程的問(wèn)題，比微分方程的一般解法更為簡(jiǎn)單、直接；比較系數(shù)法和常數(shù)變易法只需進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算和積分運(yùn)算，要求相對(duì)較低。相比之下，算子法要先將方程化為算子形式然后利用算子的性質(zhì)進(jìn)行分解，對(duì)初學(xué)者而言

41、要求相對(duì)較高，然而算子法卻具備比較系數(shù)法和常數(shù)變易法無(wú)法具備的應(yīng)用條件，有適應(yīng)面廣、計(jì)算量小、準(zhǔn)確度高、簡(jiǎn)單易行的特點(diǎn)。 結(jié)束語(yǔ)結(jié)束語(yǔ)通過(guò)列舉拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用，可以看出拉普拉斯變換是一種特別成功的數(shù)學(xué)方法，求解微分方程的步驟比較明確、規(guī)律性比較強(qiáng)、思路清晰且容易掌握。靈活使用拉普拉斯變換，可以巧妙地推出一些復(fù)雜問(wèn)題的答案，便于學(xué)生理解進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量。參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1 李高翔.拉普拉斯變換在微分方程組求解中的應(yīng)用J .高等函授學(xué)報(bào),2009，22(3):22-24.2 張?jiān)?工程數(shù)學(xué)積分變換（第四版）M.北京:高等教育出版社,2003：68-138.3 梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法(第三版)M.北京:高等教育出版社,1998：120-121.4 黃會(huì)蕓.拉普拉斯變換在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)