幾種常見的放縮法證明不等式的方法

1、百度文庫-4 -例1.(1)幾種常見的放縮法證明不等式的方法放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。bn滿足：b11,bn用數(shù)學(xué)歸納法證明:Tnbn2(n2)bn3解：3b13b2bnnb31bn求證：Tnbn(bnn)2(bn3)bn12(43)迭乘得:bn3n1.2(bi3)2n11bn312n11Tn2212n112n1點(diǎn)評：把握“bn3”這一特征對“bn1bn2(n2)bn3”進(jìn)行變形，然后去掉一個(gè)正項(xiàng)，這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項(xiàng)或者用數(shù)學(xué)歸納法,似乎是不可能的，為什么？值得體味！二、放縮后裂項(xiàng)迭加例2.數(shù)列an,an1)n1-,其前n項(xiàng)和為nsn求證：s2n解:s2n12n12

2、n2n(2n1)bn的前n項(xiàng)和為Tn2時(shí)，bn2n(2n2)4(n11n)s2n1Tn21230111(一-)456104n2點(diǎn)評：本題是放縮后迭加。放縮的方法是加上或減去一個(gè)常數(shù)，也是常用的放縮手法。值得注意的是若從第二項(xiàng)開始放大，得不到證題結(jié)論，前三項(xiàng)不變，從第四項(xiàng)開始放大，命題才得證，這就需要嘗試和創(chuàng)新的精神。b例3.已知函數(shù)f(x)axc(a0)的圖象在(1,f(1)處的切線方程為xyx1(1)用a表示出b,c(2)若f(x)lnx在1,)上恒成立，求a的取值范圍、r111n(3)證明：1ln(n1)23n2(n1)解：(1)(2)略,1一，(3)由(II)知：當(dāng)a時(shí)，有f(x)lnx

3、(x1)2令a1,有f(x)1(x1)lnx(x1).22x.11.且當(dāng)x1時(shí)，(x)Inx.2x令x口,有l(wèi)n1U-(11)(1),kk2kk12kk1111、即ln(k1)lnk(-),k1,2,3,n.2kk1將上述n個(gè)不等式依次相加得ln(n 1)1213整理得ln(n 1)n2(n 1)點(diǎn)評：本題是2010湖北高考理科第21題。近年，以函數(shù)為背景建立一個(gè)不等關(guān)系,然后對變量進(jìn)行代換、變形，形成裂項(xiàng)迭加的樣式，證明不等式，這是一種趨勢，應(yīng)特別關(guān)注。當(dāng)然，此題還可考慮用數(shù)學(xué)歸納法，但仍需用第二問的結(jié)論。三、放縮后迭乘例4.a11,an12(14anJ1、24an)(nN*).(1)求a2,a3(2) 令bnJ24an,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式1(3) 已知f(n)6an13an,求證：(1)f(2)f(3).f(n)-解：(1)(2)略由(2)得anf (n)14n2(1)n3 432n 214n(1(2)n24n1 )n 1 )4114n1 4n1 4n 11332n1421 4nf(n)14nf(1)f(2).f(n)1 1 1 4?1 1.J2 1 1 41 4n11n 1414n2點(diǎn)評：裂項(xiàng)