拉普拉斯變換

1、第六章 拉普拉斯變換本章基本要求 理解和掌握導(dǎo)數(shù)和積分的拉普拉斯變換 掌握有理分式反演法 掌握延遲定理，位移定理和卷積定理 理解黎曼-梅林反演公式；運(yùn)算微積方法求解微積分方程。6.1 拉普拉斯變換的概念一 Laplace 變換的定義1 傅里葉變換的限制：1）函數(shù)滿足狄利克雷條件 2）在（-，+）上滿足 絕對(duì)可積的條件 3）在整個(gè)數(shù)軸上有定義xxfd| )(| 實(shí)際應(yīng)用中，絕對(duì)可積的條件比較強(qiáng)，許多函數(shù)都不滿足該條件，如正弦，余弦，階躍，線性函數(shù)等；另外，在無(wú)線電技術(shù)中，函數(shù)往往以t作為自變量，t0無(wú)意義。2 拉普拉斯變換研究的對(duì)象函數(shù)1）函數(shù)滿足這樣的條件: a) t0時(shí)，f(t)=0 b)

2、t=0時(shí)，f(t)右側(cè)連續(xù)，)0()(lim0ftft的實(shí)變函數(shù)為t)(,000)()(tftttftf2）設(shè)單位階躍函數(shù)， 則原函數(shù)f(t)，研究函數(shù)為f(t)u(t)。0001)(tttu3 從傅里葉變換推導(dǎo)拉普拉斯變換:)()()(0滿足傅立葉變換的要求為有限值時(shí)，函數(shù)當(dāng)ttetutfdtetf0)(21)()(21)()(21)(dteetfdteetutfFdeFetftittittitidsd,is則令dsesfitfdtetfsFiistst)(21)()()(0從上面推導(dǎo)可知，函數(shù)f(t)(t0)拉普拉斯變換，實(shí)際上就是函數(shù)f(t)u(t)e-t的傅里葉變換。4 Laplace

3、變換的定義設(shè)f(t)為定義在0，）上的實(shí)變函數(shù)或復(fù)值函數(shù)，若含 復(fù)變量的積分在s的某個(gè)區(qū)域內(nèi)存在，則由此積分定義的復(fù)函數(shù)稱為函數(shù)f(t)的Laplace變換或像函數(shù)，記作F(s)=Lf(t)，)0(,(為實(shí)數(shù)）is0)(dtetfst0)()(dtetfsFst0)(為有限值dtetftdsesfitfiist)(21)(而f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換或原函數(shù)，記作f(t)=L-F(s)，上式也稱作黎曼-梅林反演公式。二 Laplace變換的存在條件1 Laplace 變換存在的充分條件是：（1）在 0 t 0 和 0，使對(duì)于任何t (0 t 上有意義，而且是一個(gè)解析函數(shù)。三 例題例1 指

4、數(shù)函數(shù) eat (a為復(fù)常數(shù)) Re (Re 1 1d1 )(d1 d L 0)(0)(0)(0)(asaseaseastaseasteetastastastasat例2 Heaviside階躍 函數(shù):0 , 00 , 1)(tttu)0(Re 1d 1)( L0sstetfst例3 線性函數(shù)f (t) = t (t 0): )0(Re 1| 1)d( 1d 1|1)(d 1d)( L 2 0 0220 0 00 ssesstestestesetsttetfstststststst例4atttfe )() Re (Re )(1| )(1)(d 10 1d | 1d 1d L 2 0 )(20)

5、(0)( 0 )(0)(0)(asaseastaseasasteetasetastettetastastastastastasat同理) Re (Re )(! L1asasnetnatn解：ttftttftttfss-st-st-std)( e d)()(ed)(ed dddF(s)000從而類推nnnnssFtftd)(d) 1()( 例5)( tft求sFtftd(s)d) 1()( 6.2 基本函數(shù)的拉普拉斯變換一 單位階躍函數(shù)二 (t)函數(shù)1(t)L0t)()(00000，當(dāng)ststedtttettL三 函數(shù)tn（n-1)的拉氏變換1010) 1(1)(L,stxnxnnxnnsndx

6、exssdxesxt則令dtettLstnn06.3 Laplace 變換的基本性質(zhì)Laplace 變換F(s) 的特性：（1） F(s) 在 Re(s)0 的半平面代表一個(gè)解析函數(shù)。（2）當(dāng) |Arg s| /2 - ( 0) 時(shí)：0)(limsFs,|s存在， )(sF且滿足0+i0-is 平面o解析區(qū)域)()()()( 22112211sFcsFctfctfc)0 (Re i1i1i 21 i 21sin 22iisssseettt)0(Re 21cos 22iissseettt ) Re (Re 1 spspest 一 線性定理：與 Fourier 變換一樣。例注意：一、初始條件進(jìn)入L

7、apace 變換公式中，這一點(diǎn)在實(shí)際 應(yīng)用中非常重要。二、原函數(shù)對(duì) t 的求導(dǎo)，變成像函數(shù) 與p 相乘。)0()()( fssFtf)0()0( )0( )0()()( )1()2(21)(nnnnnnfsffsfssFstf0)(elim)(tfiptt二 原函數(shù)導(dǎo)數(shù)定理:原函數(shù)對(duì) t 的積分變成像函數(shù)與 s 相除)( 1d)( 0tst三 原函數(shù)積分定理:四 相似性定理五 位移定理：六 延遲定理：)()( sFtfet)()( 00sFettfst)(1)( asFaatf),()( ),()( 2211sFtfsFtfttfftftf02121d)()()(*)(七 卷積定理:)()()

8、(*)( 2121sFsFtftf八 像函數(shù)微分性質(zhì)nnnndssFdtft)() 1()(即： 像函數(shù)求積分，相當(dāng)于原函數(shù)除 t 的像函數(shù)。 )( d )(sttfssF九 像函數(shù)積分定理十 關(guān)于參數(shù)的運(yùn)算對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)f(t,)的拉氏變換來(lái)說(shuō)，由于關(guān)于t的積分（即拉氏變換）與關(guān)于的運(yùn)算順序可以交換，所以aaaadsFdtfLsFtfLsFtfL00),(),(),(),(),(lim),(lim十一 初值定理)(lim)(lim)0()(lim),()(L0ssFtffssFsFtfsts存在，則且設(shè)十二 終值定理)(lim)(lim)(0Re)()(lim),()(L00ssFtfFs

9、ssFtfsFtfstt的平面上，則的奇點(diǎn)位于存在，或且設(shè)例1（P205例10.3.4）的拉氏變換。求積分正弦函數(shù)dtti0sin)(S例2（P206例10.3.5）的拉氏變換。求積分余弦函數(shù)dtticos)(C例3（補(bǔ)充例題）求解初始問(wèn)題020ttyeydtdy例4（補(bǔ)充例題）求解初始問(wèn)題0 00ttyytyy例5（補(bǔ)充題，利用原函數(shù)積分法求解積分方程）設(shè)C，R，E為正常數(shù)，求解積分方程（該方程來(lái)自電路理論）ttEdttiCtRi0)0()(1)(6.3 Laplace變換的反演關(guān)于 t 的微分方程 關(guān)于 p的代數(shù)方程關(guān)于 p的代數(shù)方程 原微分方程的解Laplace 變換 Laplace 變

10、換的反演一 有理分式的反演 把有理分式分解,然后利用一些基本公式和 Laplace 變換的性質(zhì)求原函數(shù)。 一般步驟：1）化簡(jiǎn)，使分子冪次低于分母； 2）分母分解因式； 3）利用待定系數(shù)法進(jìn)行部分分式展開(kāi) 4）利用拉氏變換表求解注：需要注意多階極點(diǎn)和共軛極點(diǎn)的情況。例1 求 的原函數(shù)（p208例10.4.1）) 3)(2)(1(1)(2sssssF例2 求 的原函數(shù)（p208例10.4.2）) 1)(1(13)(2ssssF例3 求 的原函數(shù)813692)(423sssssF解)3( 339) 3( 21) 3( 21) 9)(3)(3(3692)(222223ssssssssssssF因此原函

11、數(shù)為tteetftt3sin313cos)(21)(33i 3i 333) 9)(3)(3(3692223sDsCsBsAssssssI通分后比較p的同次冪系數(shù)得：919) 3(21) 3(2191) 3(21) 3(21,i)/63(i)/63(2/12/136i27i272727999992i 3i 3331222sssssssssIDCBADCBADCBADCBADCBADCBA代入原式得二 查表法反演例4：求 的原函數(shù)。sesFs )(由表查得解tsL 111又由延遲定理)()( 00sFettfpt)(1e 1tss例5 求 的原函數(shù)。解：由表查得由位移定理：因此原函數(shù)為2222)(

12、 )(sss和2222cos sin sstst和tesstftestfttcos)( )(sin)( )(22122211)()( sFtfet例6 求 的原函數(shù)（p210例10.4.5）2222)22() 1()(sssssF*三 一般反演方法：黎曼-梅林反演公式在 L 右邊，像函數(shù)解析，無(wú)奇點(diǎn)。故作圍道 (L+CR) 在 L 的左邊。設(shè) 在 L 的左邊只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn) pk，由留數(shù)定理因在 L 的右邊無(wú)奇點(diǎn)，所以可以說(shuō)：pk 是全平面上像函數(shù)的奇點(diǎn)。(如果像是多值函數(shù)，問(wèn)題比較復(fù)雜)(sFiide )(i 21)(ssFtfpt)(Res)(stesFtfFourier變換與Lapla

13、ce變換的比較1 Fourier 變換 與 逆變換比較對(duì)稱，但 Fourier 變換對(duì)函數(shù)要求較嚴(yán)；數(shù)值計(jì)算比較成熟（FFT）;2 盡管 Laplace 逆變換是復(fù)變積分，因像函數(shù)是一個(gè)解析函數(shù)，可以利用復(fù)變函數(shù)理論的公式; 無(wú)現(xiàn)成的數(shù)值計(jì)算程序；每個(gè)問(wèn)題的極點(diǎn)分布不一樣。6.4 拉普拉斯變換應(yīng)用舉例一 利用拉氏變換求積分（1）如求 的積分，先求 的積分，然后令t=1。02)cos(dxx02)0()cos(xdxtx例1（p215例10.5.2）dxeIx02（2）若 ，則)()(sFtfL00)(lim)(sFtfs例2（p216例10.5.3）0sintdtteIat（3）若 ，則利用基

14、本公式11和初值定理，得到)()(sFtfL00)()(dssFdf例2（p216例10.5.4）)0(0badtteeIbtat二 利用拉氏變換求解微分方程，積分方程例1 （p217例10.5.6）解方程0)0( , 1)0(0)()( )( yyttytytty例2 L-R串聯(lián)電路有交流源 E=E0sint, 求電路中的電流。LRE(t)K解：電流方程：0)0(sindd0jtERjtjL兩邊作 Laplace 變換：220)()(sEsRJsLsJ解得：220)(sRLsEsFtLRtLRtLRLRttLRtLRteLRLEtLtRLRELRLReeLEeeLEeLEtj22202220

15、022000)(00cossin|/cossin/dsindsin)(220/1)(sLRsLEsJtLRLRsts)/(1221e/1 ,sin 應(yīng)用卷積定理第一項(xiàng)：穩(wěn)定振蕩，第二項(xiàng)：衰減見(jiàn)下頁(yè)ttgfgfsGsF0d)()( )()(222222cossind sind sinsincos)sind( cosd coscos)osd(1dsinbaaxaaxbexeaxxeaxabaxeabaxaeaxeabaxaexeaxabaxaeaxceaxeaxbxbxbxbxbxbxbxbxbxbxbx)sin(cossinsincoscossincossin2220222022222222202220tLREttLREtLRLtLRRLREtLtR