已知三角函數(shù)值求角

1、一、高考要求一、高考要求 會由已知三角函數(shù)值求角會由已知三角函數(shù)值求角, 并會用符號并會用符號 arcsinx, arccosx, arctanx.根據(jù)角根據(jù)角 x 的三角函數(shù)值求角的三角函數(shù)值求角, 通常有以下步驟通常有以下步驟:1.判斷角判斷角 x 所在的象限所在的象限; 2.根據(jù)角根據(jù)角 x 所在象限所在象限, 求得求得 0, 2 范圍內(nèi)的角范圍內(nèi)的角;二、重點解析二、重點解析3.用終邊相同的角的表達(dá)式寫出適合條件的角用終邊相同的角的表達(dá)式寫出適合條件的角.三、知識要點三、知識要點 2.在閉區(qū)間在閉區(qū)間 0, 上上, 符合條件符合條件 cosx=a(- -1a1)的角的角 x, 叫叫做實

2、數(shù)做實數(shù) a 的的反余弦反余弦, 記作記作: x=arccosa; 1.在閉區(qū)間在閉區(qū)間 - - , 上上, 符合條件符合條件 sinx=a(- -1a1)的角的角 x, 叫做實數(shù)叫做實數(shù) a 的的反正弦反正弦, 記作記作: x=arcsina;2 2 顯然有顯然有: sin(arcsina)=a; cos(arccosa)=a(- -1a1); 3.在開區(qū)間在開區(qū)間 (- - , ) 上上, 符合條件符合條件 tanx=a(a R)的角的角 x, 叫叫做實數(shù)做實數(shù) a 的的反正切反正切, 記作記作: x=arctana;2 2 tan(arctana)=a(a R). 1.已知已知 cos(

3、- -4 + )=- - . (1)若若 0 2 , 求角求角 ; (2)若若 - -4 - -3 , 求角求角 ; (3)若若角角 是第三象限角是第三象限角, 求角求角 ; (4)若若 R, 求求角角 .33解解: 由已知由已知 cos =- - , 33對于對于 0, , 有有 =arccos(- - )= - -arccos . 3333(1) 0 2 , = - -arccos 或或 +arccos . 3333滿足條件的角有兩個滿足條件的角有兩個: 典型例題典型例題 (2)- -4 - -3 , =- -3 - -arccos . 33滿足條件的角只有一個滿足條件的角只有一個: (3

4、) 是第三象限的角是第三象限的角, =2k + +arccos (k Z). 33滿足條件的角有無窮多個滿足條件的角有無窮多個: (4) R, =2k + - -arccos 或或 2k + +arccos (k Z). 3333滿足條件的角有無窮多個滿足條件的角有無窮多個: 即即 =2k + arccos (k Z). 332cosA=cotA. 2.已知已知 RtABC 的銳角的銳角 A 滿足滿足 2cos2 =cotA- -cosA+1, 求求 A. 2A解解: 由已知由已知, 2cos2 - -1=cotA- -cosA. 2A A 是是 RtABC 的銳角的銳角, cosA 0. 2

5、= . sinA 112sinA= . 6 A= . 3.已知已知 tan( - - )= , tan =- - , 且且 , (0, ), 求求 2 - - 的值的值.1217解解: 由已知由已知 tan =tan( - - )+ 1217- -12171+ =13= . tan(2 - - )=tan( - - )+ 1213+12131- - =1.tan 0, tan 0, , (0, ), 0 , .2 2 - - - 0, - - - - - . 2 - 2 - - 0. 2 - - =- - .43 由由 tan(2 - - )=1 知知 注注 亦可由亦可由 tan 1 得得 0

6、 .4 02 . 2 - 2 - - 0. 0 x2 , 4.已知已知 sinx+ 3 cosx+a=0 在在 0, 2 上有兩相異實數(shù)解上有兩相異實數(shù)解 、 . (1)求實數(shù)求實數(shù) a 的取值范圍的取值范圍; (2)求求 + 的值的值.解解: (1)由已知由已知 a=- -2sin(x+ ). 3 x+ 2 + .3 3 3 -2- -2sin(x+ )2. 3 (2)函數(shù)函數(shù) y=- -2sin(x+ ) 的圖象在的圖象在 0, 2 上有兩條對稱軸上有兩條對稱軸:3 直線直線 x= 與直線與直線 x= . 6 67 3 由題設(shè)及圖象的對稱性知由題設(shè)及圖象的對稱性知, , 0, 或或 , ,

7、 2 . 3 當(dāng)當(dāng) , 0, 時時, 3 6 + =2 = ; 3 當(dāng)當(dāng) , , 2 時時, 3 + =2 = . 67 37 3 37 故故 + 的值為的值為 或或 . 實數(shù)實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是 (- -2, - - 3 )(- - 3, 2). 又由函數(shù)圖象知當(dāng)又由函數(shù)圖象知當(dāng) a= 2 時時, 方程在方程在 0, 2 上只有一解上只有一解; 當(dāng)當(dāng) a=- - 3 時時, 方程在方程在 0, 2 上有三解上有三解 0, , 2 .3 解解: 由由 (1) 得得 5.是否存在銳角是否存在銳角 和和 , 使得使得: (1) +2 = ; (2)tan tan =2- - 3 同時

8、成立同時成立? 若存在若存在, 求出求出 和和 的值的值, 若不存在若不存在, 說明理由說明理由. 232 2 3 + = . tan( + )= = 3 . 2 1- -tan tan 2 tan +tan 2 將將 (2) 代入上式得代入上式得 tan +tan =3- - 3 . 2 tan , tan 是方程是方程 x2- -(3- - 3 )x+2- - 3 =0 的兩個根的兩個根. 2 解得二根為解得二根為 1 和和 2- - 3 . 為為銳角銳角, 0 , 4 2 tan 1. 2 tan =1. 由由 為銳角知為銳角知, = . 4 = . 6 故存在銳角故存在銳角 = , =

9、 , 使使 (1), (2) 同時成立同時成立. 6 4 6.已知已知 0 x , 求求 sinxcos2x 的最大值及取得最大值時的最大值及取得最大值時 x 的值的值. 解法解法 1 0 x0, cos2x0, y=sinxcos2x0.y 與與 y2 同時取得最大值同時取得最大值. y2=sin2xcos2xcos2x 12( )3 2sin2x+cos2x+cos2x 3= . 274ymax= .2 39此時此時, 2sin2x=cos2x, x=arctan 或或 - -arctan . 2222解法解法 2 令令 t=sinx, 0 x , t (0, 1. 記記 y=sinxco

10、s2x=sinx- -sin3x=t- -t3, 則則 y =1- -3t2. 當(dāng)當(dāng) 0t0, 33當(dāng)當(dāng) t1 時時, y 0, 33當(dāng)當(dāng) t= 時時, ymax= , 332 39此時此時, t=sinx= . 33即即 sinxcos2x 的最大值為的最大值為 . 2 39即即 sinxcos2x 的最大值為的最大值為 , 2 39arcsin 或或 - -arcsin . 3333= 2sin2xcos2xcos2x12取最大值時取最大值時, x 的值為的值為: 課后練習(xí)課后練習(xí) 12 1.若若 cos( cosx)= , x 0, , 求求 x. 解解: x 0, , - - cosx

11、 . 又又 cos( cosx)= , 12 cosx= . 3 cosx= . 13x=arccos , 或或 x=arccos(- - ). 13132.若方程若方程 x2- -2(tan2 +cot2 )x+1=0 有一根是有一根是 2- - 3 , 求求 .解解: 設(shè)另一根為設(shè)另一根為 x0, 則則 故有故有 tan2 +cot2 - -2=0. (2- - 3 )x0=1, (2- - 3 )+x0=2(tan2 +cot2 ), 即即 tan4 - -2tan2 +1=0. tan2 =1, 即即 tan = 1. 4 =k (k Z). x , 2 , 02 - -x . 解解:

12、 (1)cosx=- - , x 0, , 135x=arccos(- - ) 135= - -arccos . 135(2)cosx= , 45cos(2 - -x)= . 452 - -x=arccos . 45x=2 - -arccos . 45(3)sinx=- - . 1715cos(x- - )=cos( - -x)=sinx=- - . 2 2 17153.用反余弦表示下列各式中的用反余弦表示下列各式中的 x: (1)cosx=- - , x 0, ; (2)cosx= , x , 2 ; (3)sinx=- - , x , .x , , 23 x- -

13、 . 2 2 x- - =arccos(- - )= - -arccos . 2 171517151715x= - -arccos . 23 4.已知已知 0 , 0 , 且且 3sin =sin(2 + ), 4tan =1- -tan2 ,求求 + 的值的值.4 2 2 4 解解: 由已知由已知 tan = = ,122tan 2 1- -tan2 2 3sin =sin(2 + ), 3sin( + )- - =sin( + )+ . 即即 sin( + )cos =2cos( + )sin . tan( + )=2tan =1. 0 , 0 , 4 4 0 + . 2 4 + = .

14、=sin( + )cos +cos( + )sin .3sin( + )cos - -3cos( + )sin 5.設(shè)方程設(shè)方程 x2+3 3 x+4=0 的兩根分別為的兩根分別為 x1, x2, 記記 =arctanx1, =arctanx2, 求求 + .解解: 由已知由已知 x1+x2=- -3 3 0, x10, x20 且且 x1=tan , x2=tan . 則則 tan( + )= tan +tan 1- -tan tan x1+x21- -x1x2 = 3 . 又由又由 x10, x20 知知, , (- - , 0), 2 + (- - , 0). 32 + =- - . 解解: 由已知由已知 tan =m, 6.已知直線的斜率為已知直線的斜率為 m, 求直線的傾斜角求直線的傾斜角 . 故當(dāng)故當(dāng) m0 時時, 令令 k=0 得得 =arctanm; 則則 =k +arctanm, k Z. 解法解法1 0, ), 當(dāng)當(dāng) m0 時時, 0, ); 當(dāng)當(dāng) m