FIR濾波器的設(shè)計(jì)

1、數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理引引 言言IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果，可以簡便、有效數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果，可以簡便、有效地完成數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。但是地完成數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。但是 IIR 系統(tǒng)幅頻特性的改善一般是系統(tǒng)幅頻特性的改善一般是以相位的非線性為代價(jià)的。如果對系統(tǒng)有線性相位要求，以相位的非線性為代價(jià)的。如果對系統(tǒng)有線性相位要求，IIR 系統(tǒng)系統(tǒng)需要增加復(fù)雜的相位校正網(wǎng)絡(luò)。需要增加復(fù)雜的相位校正網(wǎng)絡(luò)。一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng) H(z) = B(z)/A(z)，若分母多項(xiàng)式，若分母多項(xiàng)式 A(z) 的系數(shù)都的系數(shù)都等于零，那么該系統(tǒng)就變成等于零，那么該系統(tǒng)

2、就變成 FIR 系統(tǒng)，即系統(tǒng)，即顯然，系數(shù)顯然，系數(shù) 記為該系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)記為該系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng) ，并且當(dāng)并且當(dāng) nN-1 時(shí)，有時(shí)，有 h(n)=0。1110110( )NNnNnnH zbb zbzb z011,Nb bb(0), (1), (1)hbh N 引引 言言FIR 濾波器的優(yōu)點(diǎn)之一：系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。濾波器的優(yōu)點(diǎn)之一：系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以表示為濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以表示為易知，易知，H(z) 在在 Z 平面上有平面上有 N-1個(gè)零點(diǎn)，個(gè)零點(diǎn)，z=0 是是 N-1 階極點(diǎn)，因此階極點(diǎn)，因此FIR 系統(tǒng)總是穩(wěn)定的（極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)）。系統(tǒng)總是穩(wěn)定的（極點(diǎn)都

3、在單位圓內(nèi)）。FIR 濾波器的優(yōu)點(diǎn)之二：容易實(shí)現(xiàn)線性相位。濾波器的優(yōu)點(diǎn)之二：容易實(shí)現(xiàn)線性相位。當(dāng)當(dāng) FIR 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足時(shí)，該系統(tǒng)具有線性相位。時(shí)，該系統(tǒng)具有線性相位。1101)1(10)()()()(NNnnNNNnnzzfznhzznhzH)1()(nNhnh2/ ) 1()(N2/ ) 1(2/)(N（N為奇數(shù)）為奇數(shù)）（N為偶數(shù)）為偶數(shù)）當(dāng)當(dāng) FIR 系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)滿足對稱條件，即系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)滿足對稱條件，即 ，則有則有令令 m=N-1-n，代入上式則有，代入上式則有)1()(nNhnh1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH)()

4、()(1)1(101)1(zHzzmhzzHNNmmN由上式可以看出，由上式可以看出，H(z) 的零點(diǎn)也是的零點(diǎn)也是 H(z-1) 的的零點(diǎn)，反之亦然。令零點(diǎn)，反之亦然。令 zk 為為 H(z) 的一個(gè)零點(diǎn)，的一個(gè)零點(diǎn)，則則 (zk)* 、1/zk 和和 1/(zk)* 也是也是 H(z) 的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。ImRe單位圓單位圓1Z平面平面0zk引引 言言引引 言言FIR 濾波器的優(yōu)點(diǎn)之三：允許設(shè)置多通帶（或多阻帶）濾波器。濾波器的優(yōu)點(diǎn)之三：允許設(shè)置多通帶（或多阻帶）濾波器。FIR 濾波器的優(yōu)點(diǎn)之四：濾波器的優(yōu)點(diǎn)之四：FIR 濾波器可以采用濾波器可以采用 FFT 方法實(shí)現(xiàn)其功方法實(shí)現(xiàn)其功能，從而

5、大大提高效率。能，從而大大提高效率。FIR 濾波器的缺點(diǎn)：由于濾波器的缺點(diǎn)：由于 FIR 系統(tǒng)只有零點(diǎn)，因此這類系統(tǒng)不像系統(tǒng)只有零點(diǎn)，因此這類系統(tǒng)不像FIR 濾波器不像濾波器不像 IIR 濾波器那樣容易取得比較好的通帶與阻帶衰濾波器那樣容易取得比較好的通帶與阻帶衰減特性。要取得較好的衰減特性，一般要求減特性。要取得較好的衰減特性，一般要求 H(z) 的階次較高。的階次較高。綜合起來看，綜合起來看， FIR 濾波器具有濾波器具有IIR 濾波器沒有的許多特點(diǎn)，得到濾波器沒有的許多特點(diǎn)，得到了越來越廣泛的應(yīng)用。了越來越廣泛的應(yīng)用。第十一章第十一章 FIR 濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)窗函數(shù)法窗函數(shù)法頻率抽樣

6、法頻率抽樣法1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法考慮下圖所示的低通數(shù)字濾波器：考慮下圖所示的低通數(shù)字濾波器：假定其幅頻響應(yīng)假定其幅頻響應(yīng) |Hd(j)|=1，相頻特性，相頻特性 ()=0，那么該濾波器的，那么該濾波器的單位沖激響應(yīng)為：單位沖激響應(yīng)為：|Hd(j)|0c-c2-2-1nndedejHnhcnjnjddcc)sin(21)(21)(n0/c1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法很顯然，這樣的系統(tǒng)是非因果的，因此是物理不可實(shí)現(xiàn)的。我們很顯然，這樣的系統(tǒng)是非因果的，因此是物理不可實(shí)現(xiàn)的。我們可以將可以將 hd(n) 截短并移位得到截短并移位得到 h(n):那么那么 h(n) 是因果的，且為有限長，長度為是因果的，且

7、為有限長，長度為 M+1，令，令即可得所設(shè)計(jì)的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。即可得所設(shè)計(jì)的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。n0MnMnhnhd, 1 , 0 ),2()(-M/2M/2移位移位MnnznhzH0)()(1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法如果指定如果指定 H(j) 相頻特性相頻特性 () 時(shí)，不是令其為時(shí)，不是令其為 0，而是令，而是令則有則有此時(shí)此時(shí)hd(n) 是以是以 n=M/2 對稱的，因此對稱的，因此2/)(M/2/21( )|()|2sin (/ 2)12(/ 2) ccj njMddcj njMhnHjeednMeednMn0M/2MMnnhnhd, 1 , 0 ),()(習(xí)題習(xí)題 ：設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè) F

8、IR 低通濾波器，使得所希望的頻率響應(yīng)低通濾波器，使得所希望的頻率響應(yīng) Hd(j)在在 之間為之間為 1，在，在 之間為之間為 0，分別取，分別取 M = 10, 20, 40, 觀察其幅頻響應(yīng)的特點(diǎn)。觀察其幅頻響應(yīng)的特點(diǎn)。解答：解答：給出給出 Hd(j)然后然后為了使得為了使得 H(0)=1，可對，可對 h(n) 歸一化，即歸一化，即 25. 0025. 0 25. 0 , 025. 00 ,)(2/jMdejH1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法)2/()2/(sin)(MnMnnhcd)2/(25. 0)2/(sin)(MnMnnhd( )( ),0,1, dh nhnnMMnnhnhnh, 1 ,

9、0 ,)()()(歸一化的單位沖激響應(yīng)歸一化的單位沖激響應(yīng) h(n) ：1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法M =10M =20M =40相應(yīng)的幅頻響應(yīng)：相應(yīng)的幅頻響應(yīng)：吉布斯現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于對吉布斯現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于對 hd(n) 的截短所造成的。將無窮長的的截短所造成的。將無窮長的hd(n) 僅取長為僅取長為 M+1 的一段，相當(dāng)于在的一段，相當(dāng)于在 hd(n) 上施加了長為上施加了長為 M+1的矩形窗的矩形窗 w(n)。時(shí)域加窗導(dǎo)致頻域。時(shí)域加窗導(dǎo)致頻域 Hd(j) 和矩形窗頻譜的卷積。和矩形窗頻譜的卷積。1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法“吉布斯（吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象）現(xiàn)象”時(shí)域相乘對應(yīng)于頻域卷積，因此幅頻響

10、應(yīng)為：時(shí)域相乘對應(yīng)于頻域卷積，因此幅頻響應(yīng)為：將無限長序列將無限長序列 hd(n) 截短得到得截短得到得 h(n) ，這一過程相當(dāng)于，這一過程相當(dāng)于 hd(n) 和矩和矩形窗形窗 wR(n) 相乘，即相乘，即矩形窗函數(shù)及其頻譜為矩形窗函數(shù)及其頻譜為( ),01( )( )( )0, ddRh nnNh nh n wn其它11( )( )()( )()22dRdRHHWjHWd1,01( )0, RnNwn其它1122sin(/ 2)()( )sin(/ 2)NNjjRRNWjeWe1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法用截止頻率為用截止頻率為 c 的理想低通濾波器為例來進(jìn)行分析，則有的理想低通濾波器為例來進(jìn)行

11、分析，則有上式中的積分等于上式中的積分等于 在在 c 到到 c 區(qū)間內(nèi)函數(shù)區(qū)間內(nèi)函數(shù) WR(- )與與 軸圍出軸圍出的面積。隨著的面積。隨著 的變化，不同正負(fù)、不同大小的旁瓣移入和移出的變化，不同正負(fù)、不同大小的旁瓣移入和移出積分區(qū)間，使得面積發(fā)送變化，即積分區(qū)間，使得面積發(fā)送變化，即 H() 的大小產(chǎn)生波動(dòng)。這就的大小產(chǎn)生波動(dòng)。這就意味著卷積以后得到的幅頻響應(yīng)意味著卷積以后得到的幅頻響應(yīng) H() 其實(shí)就是其實(shí)就是 Hd() 經(jīng)過窗函經(jīng)過窗函數(shù)處理后輪廓被模糊的表現(xiàn)形式。數(shù)處理后輪廓被模糊的表現(xiàn)形式。1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法1( )()2ccRHWd0-c-c Hd()0- WR()2/N考察幾

12、個(gè)特殊的頻率點(diǎn)：考察幾個(gè)特殊的頻率點(diǎn)：1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法0-c-c 0-c-c 1( )()2ccRHWd=0=c當(dāng)當(dāng) =0時(shí)：時(shí)：如果如果 c2/N，H(0)近似近似等于等于WR() 的全部面積。的全部面積。 1(0)()2ccRHWd當(dāng)當(dāng) = c 時(shí)：時(shí)：如果如果 c 2/N， 1()()2cccRcHWd21)0()(HHc1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法0-c-c 0-c-c 1( )()2ccRHWd=c- 2/N=c+2/N當(dāng)當(dāng) =c-2/N時(shí)：時(shí)：如果如果 c 2/N， 0895. 1)0()2(HNHc當(dāng)當(dāng) =c+2/N時(shí)：時(shí)：如果如果 c 2/N， 212()()2cccRcHWd

13、NN212()()2cccRcHWdNN0895. 0)0()2(HNHc1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法最終得到最終得到 H(j) ：由上圖可知，加窗處理使得得濾波器的頻率響應(yīng)與理想濾波器的由上圖可知，加窗處理使得得濾波器的頻率響應(yīng)與理想濾波器的頻率響應(yīng)之間產(chǎn)生差異，表現(xiàn)為過渡帶和波動(dòng)的出現(xiàn)。我們希望頻率響應(yīng)之間產(chǎn)生差異，表現(xiàn)為過渡帶和波動(dòng)的出現(xiàn)。我們希望所設(shè)計(jì)的濾波器盡量逼近理想濾波器，就要設(shè)法減少波動(dòng)的幅度，所設(shè)計(jì)的濾波器盡量逼近理想濾波器，就要設(shè)法減少波動(dòng)的幅度，同時(shí)使過渡帶變窄。同時(shí)使過渡帶變窄。0-c-c1/21.0895-0.89511. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法n過渡帶：過渡帶是正負(fù)尖峰之間的頻

14、帶。過渡帶的帶寬等于過渡帶：過渡帶是正負(fù)尖峰之間的頻帶。過渡帶的帶寬等于所用窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度。對于矩形窗來說，過渡帶的帶所用窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度。對于矩形窗來說，過渡帶的帶寬為寬為 4/N。對于某一特定類型的窗函數(shù)，增大窗的寬度可使。對于某一特定類型的窗函數(shù)，增大窗的寬度可使過渡帶變窄。過渡帶變窄。n波動(dòng)：波動(dòng)是由窗函數(shù)頻譜的旁瓣引起。波動(dòng)的幅度及多少波動(dòng)：波動(dòng)是由窗函數(shù)頻譜的旁瓣引起。波動(dòng)的幅度及多少取決于旁瓣的相對幅度及數(shù)量。旁瓣的相對幅度越大，波動(dòng)取決于旁瓣的相對幅度及數(shù)量。旁瓣的相對幅度越大，波動(dòng)的幅度就越大。旁瓣越多，產(chǎn)生的波動(dòng)也越多。波動(dòng)的幅度的幅度就越大。旁瓣越多，產(chǎn)生的波動(dòng)

15、也越多。波動(dòng)的幅度只取決于窗函數(shù)的類型，而與窗的寬度無關(guān)。只取決于窗函數(shù)的類型，而與窗的寬度無關(guān)。在設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器時(shí)，窗函數(shù)的頻譜應(yīng)該滿足：數(shù)字濾波器時(shí)，窗函數(shù)的頻譜應(yīng)該滿足：n主瓣寬度盡可能的窄，以使過渡帶盡量陡峭；主瓣寬度盡可能的窄，以使過渡帶盡量陡峭；n最大旁瓣相對于主瓣盡可能的小，使能量盡可能集中于主瓣最大旁瓣相對于主瓣盡可能的小，使能量盡可能集中于主瓣內(nèi)，這樣能夠使得波動(dòng)減小。內(nèi)，這樣能夠使得波動(dòng)減小。在引入其它類型的窗函數(shù)之前，先定義如下指標(biāo)：在引入其它類型的窗函數(shù)之前，先定義如下指標(biāo)： 主瓣寬度主瓣寬度 精確過渡帶帶寬（精確過渡帶帶寬（3dB帶寬）帶寬） 最大旁瓣

16、幅度最大旁瓣幅度 旁瓣衰減速度旁瓣衰減速度0歸一化歸一化 |W(j)|/dB-31. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法阻帶最小衰減阻帶最小衰減1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法矩形窗：矩形窗：三角窗：三角窗： , 010 , 1)(其它NnnwR)2/sin()2/sin()(21NejWNjR 121 ,122210 ,12)(NnNNnNnNnnw212)2/sin()4/sin(2)(NjeNNjW)2/sin()2/sin()(NWR2)2/sin()4/sin(2)(NNW1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法漢寧（漢寧（Hanning）窗）窗:漢明（漢明（Hamming）窗）窗: 1, 2 , 1 , 0 ),12cos(5

17、 . 05 . 0)(NnNnnw21)2()2(25. 0)(5 . 0)(NjRRReNWNWWjW)2()2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR 1, 2 , 1 , 0 ),12cos(46. 054. 0)(NnNnnw)2()2(23. 0)(54. 0)(NWNWWWRRR1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法布萊克曼（布萊克曼（Blackman）窗）窗: 1, 2 , 1 , 0 ),14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(NnNnNnnw)4()4(04. 0 )2()2(25. 0)(42. 0)(NWNWNWNWWWRRRRR1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法 5 種

18、窗函數(shù)種窗函數(shù):1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法 5 種窗函數(shù)的幅頻函數(shù)種窗函數(shù)的幅頻函數(shù):1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法 5 種窗函數(shù)的指標(biāo)種窗函數(shù)的指標(biāo):n矩形窗最簡單，但其矩形窗最簡單，但其 -21dB 的阻帶最小衰減在實(shí)際應(yīng)用中遠(yuǎn)的阻帶最小衰減在實(shí)際應(yīng)用中遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。另外，矩形窗還會(huì)造成很強(qiáng)的吉布斯效應(yīng)。遠(yuǎn)不夠。另外，矩形窗還會(huì)造成很強(qiáng)的吉布斯效應(yīng)。n三角窗的阻帶衰減性能與矩形窗相比有所改善，但代價(jià)是過三角窗的阻帶衰減性能與矩形窗相比有所改善，但代價(jià)是過度帶加寬。度帶加寬。窗函數(shù)窗函數(shù) 主瓣寬度主瓣寬度 精確過渡帶精確過渡帶 最大旁瓣幅度最大旁瓣幅度 最小阻帶衰減最小阻帶衰減4/N8/N 8/N 8/N

19、12/N矩形窗矩形窗三角窗三角窗漢寧窗漢寧窗漢明窗漢明窗布萊克曼窗布萊克曼窗-13dB-27dB-31dB-41dB-57dB1.8/N6.1/N 6.2/N 6.6/N 11/N-21dB-25dB-44dB-53dB-73dB1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法n漢寧窗的幅頻響應(yīng)：漢寧窗的幅頻響應(yīng)：漢寧窗幅度譜中三個(gè)部分的求和結(jié)果，使得旁瓣互相抵消，從而漢寧窗幅度譜中三個(gè)部分的求和結(jié)果，使得旁瓣互相抵消，從而使能量更有效地集中于主瓣，但付出的代價(jià)則是主瓣寬度的使能量更有效地集中于主瓣，但付出的代價(jià)則是主瓣寬度的增加為矩形窗的兩倍。增加為矩形窗的兩倍。)2()2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWR

20、RR1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法n漢明窗與漢寧窗相比主瓣寬度保持不變，但最大旁瓣幅度減漢明窗與漢寧窗相比主瓣寬度保持不變，但最大旁瓣幅度減小為小為 -41dB，阻帶最小衰減降低為，阻帶最小衰減降低為 -53dB。n布萊克曼窗的最大旁瓣幅度得到了進(jìn)一步的抑制（布萊克曼窗的最大旁瓣幅度得到了進(jìn)一步的抑制（-57dB ），），最小阻帶衰減達(dá)到最小阻帶衰減達(dá)到 -74dB，但主瓣寬度卻比矩形窗的主瓣寬度，但主瓣寬度卻比矩形窗的主瓣寬度大三倍。大三倍。應(yīng)用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)應(yīng)用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的步驟：數(shù)字濾波器的步驟：根據(jù)所要設(shè)計(jì)的濾波器的性能指標(biāo)（阻帶最小衰減、過渡帶根據(jù)所要設(shè)計(jì)的濾波器的性能指標(biāo)

21、（阻帶最小衰減、過渡帶寬），通過查表來選定窗函數(shù)的類型和寬度：寬），通過查表來選定窗函數(shù)的類型和寬度： 一般情況下一般情況下 N 取奇數(shù)。取奇數(shù)。上取整濾波器過渡帶窗函數(shù)的精確過渡帶N1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法根據(jù)所期望的頻率響應(yīng)根據(jù)所期望的頻率響應(yīng) Hd(j) 經(jīng)過傅里葉反變換得到?jīng)_激響經(jīng)過傅里葉反變換得到?jīng)_激響應(yīng)應(yīng)hd(n) 。如果所期望的。如果所期望的 Hd(j) 不是理想濾波器，而是存在過不是理想濾波器，而是存在過渡帶，則設(shè)計(jì)中所使用的截止頻率渡帶，則設(shè)計(jì)中所使用的截止頻率 c 不采用通帶截止頻率不采用通帶截止頻率 p或阻帶截止頻率或阻帶截止頻率 s ，而是使用它們的中點(diǎn)，即，而是使用它們

22、的中點(diǎn)，即求出求出 FIR 濾波器的單位沖激響應(yīng)：濾波器的單位沖激響應(yīng)：利用利用h(n) 計(jì)算計(jì)算 FIR 濾波器的頻率響應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng)H(j)，并檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)，并檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)，如果不符合要求，則重新修改如果不符合要求，則重新修改 N 及及 w(n)。2spc10 ),()()(Nnnwnhnhd1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法)2/()2/(sin)(MnMnnhcd習(xí)題習(xí)題 ：設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè)FIR 低通濾波器，使得所希望的頻率響應(yīng)低通濾波器，使得所希望的頻率響應(yīng) Hd(j)在在 之間為之間為 1，在，在 之間為之間為 0，分別采用矩形，分別采用矩形窗和漢明窗，窗函數(shù)長度窗和漢明窗，窗函數(shù)長度

23、M +1, M=30, 觀察加窗后對濾波器幅頻觀察加窗后對濾波器幅頻響應(yīng)的影響。響應(yīng)的影響。解答：解答：給出給出 Hd(j)然后然后其中其中 w(n) 為窗函數(shù)。為窗函數(shù)。25. 0025. 0 25. 0 , 025. 00 ,)(2/jMdejH)2/()2/(sin)(MnMnnhcd)2/(25. 0)2/(sin)(MnMnnhd)()()(nwnhnhd1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法求出的求出的 h(n)：1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法幅頻響應(yīng)：幅頻響應(yīng)：1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法習(xí)題習(xí)題 ：設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè)FIR 低通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：通帶截止頻率低通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：通帶截止頻率 fp=2

24、kHz，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率 fs=3kHz ，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 40dB，采樣頻，采樣頻率率 Fs=10kHz。解答：解答：確定過渡帶確定過渡帶 和截止頻率和截止頻率 c 給出給出 Hd(j)求出單位沖激響應(yīng)：求出單位沖激響應(yīng)：kHz5 . 22pscfff5 . 0/2sccFf , 05 . 0 ,)(其它jdejH)()(5 . 0sin21)(nndeenhccjnjdkHz1psfff2 . 0/2sFf1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法阻帶最小衰減阻帶最小衰減 為為40dB，通過查表可知，漢寧窗即能滿足要求，因，通過查表可知，漢寧窗即能滿足要求，因此窗口長度為：此窗口長度為：

25、則則從而得到濾波器的單位沖激響應(yīng)：從而得到濾波器的單位沖激響應(yīng)：1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法312 . 02 . 6上取整上取整濾波器過渡帶窗函數(shù)的精確過渡帶N152/ ) 1( N)()15()15(5 . 0sin)(nwnnnh濾波器的沖激響應(yīng)及幅頻特性：濾波器的沖激響應(yīng)及幅頻特性：1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)：數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)：令高通濾波器的頻率響應(yīng)為令高通濾波器的頻率響應(yīng)為則則從上述結(jié)果可以看出，一個(gè)高通濾波器相當(dāng)于用一個(gè)全通濾波器從上述結(jié)果可以看出，一個(gè)高通濾波器相當(dāng)于用一個(gè)全通濾波器減去一個(gè)低通濾波器。減去一個(gè)低通濾波器。1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法 0 , 0 ,)(cc

26、jdejH()()11( )221cos ()sin ()221cos ()sin ()22sin()sin()()= ccccccjnjndchnededjndndjndndnnn數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)：數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)：令帶通濾波器的頻率響應(yīng)為令帶通濾波器的頻率響應(yīng)為則則從上述結(jié)果可以看出，一個(gè)帶通濾波器相當(dāng)于兩個(gè)截止頻率不同從上述結(jié)果可以看出，一個(gè)帶通濾波器相當(dāng)于兩個(gè)截止頻率不同的低通濾波器相減。的低通濾波器相減。1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法 , 0 ,)(其它hljdejH)()(sin)(sin 2121)()()(nnndedenhlhnjnjdhllh數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)：數(shù)字帶阻濾

27、波器的設(shè)計(jì)：令帶阻濾波器的頻率響應(yīng)為令帶阻濾波器的頻率響應(yīng)為則則從上述結(jié)果可以看出，一個(gè)帶阻濾波器相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器加從上述結(jié)果可以看出，一個(gè)帶阻濾波器相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器加上一個(gè)高通濾波器。上一個(gè)高通濾波器。1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法 , 0 , ,)(其它hljdejH)()(sin)(sin)(sin 212121)()()()(nnnndededenhhlnjnjnjdhllh習(xí)題習(xí)題 ：設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 帶通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：通帶邊緣在帶通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：通帶邊緣在 3.5kHz 和和 4.5kHz 處處 ，中心頻率在，中心頻率在 4kHz 處，過渡帶為處，過渡帶為

28、0.5kHz，阻帶最小衰減阻帶最小衰減 50dB，采樣頻率，采樣頻率 Fs=22kHz。解答：解答：確定過渡帶確定過渡帶 、截止頻率、截止頻率 l 和和 h給出給出 Hd(j)kHz75. 42/5 . 05 . 42/kHz25. 32/5 . 05 . 32/31ffffffhl0455. 022/5 . 02/2sFf4318. 0/23045. 0/2shhsllFfFf , 0 ,)(其它hljdejH)()(sin)(sin)(nnnnhlhd1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法阻帶最小衰減為阻帶最小衰減為40dB，通過查表可知，漢明窗滿足要求，因此窗，通過查表可知，漢明窗滿足要求，因此窗口長度

29、為：口長度為：希望希望 N 為奇數(shù)，因此取為奇數(shù)，因此取 N=147，則有，則有從而得到濾波器的單位沖激響應(yīng)：從而得到濾波器的單位沖激響應(yīng)：1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法1460455. 06 . 6上取整上取整濾波器過渡帶窗函數(shù)的精確過渡帶N732/ ) 1( N)()73()(3045. 0sin)73(4318. 0sin)(nwnnnnh濾波器的沖激響應(yīng)即幅頻特性：濾波器的沖激響應(yīng)即幅頻特性：1. 窗函數(shù)法窗函數(shù)法LSI 系統(tǒng)可以在時(shí)域或頻域中加以描述，因此，線性相位系統(tǒng)可以在時(shí)域或頻域中加以描述，因此，線性相位 FIR 數(shù)數(shù)字濾波器也有兩種相應(yīng)的設(shè)計(jì)方法：窗函數(shù)法和頻率響應(yīng)法。窗字濾波器也有

30、兩種相應(yīng)的設(shè)計(jì)方法：窗函數(shù)法和頻率響應(yīng)法。窗函數(shù)法從時(shí)域出發(fā)，用窗函數(shù)對理想濾波器的單位沖激序列函數(shù)法從時(shí)域出發(fā)，用窗函數(shù)對理想濾波器的單位沖激序列 hd(n) 進(jìn)行截短后得到序列進(jìn)行截短后得到序列 h(n)，然后利用這個(gè)有限長序列，然后利用這個(gè)有限長序列 h(n) 去逼近去逼近 hd(n)，這樣得到的頻率響應(yīng)逼近于理想的頻率響應(yīng)，這樣得到的頻率響應(yīng)逼近于理想的頻率響應(yīng) Hd(j)。頻率采樣法從頻域出發(fā)進(jìn)行逼近。設(shè)所要設(shè)計(jì)的頻率采樣法從頻域出發(fā)進(jìn)行逼近。設(shè)所要設(shè)計(jì)的 FIR 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為的頻率響應(yīng)為 Hd(j)，它是以，它是以 2為周期的周期函數(shù)?，F(xiàn)在對其抽為周期的周期函數(shù)

31、?，F(xiàn)在對其抽樣，使每個(gè)周期內(nèi)有樣，使每個(gè)周期內(nèi)有 N 個(gè)抽樣值，即個(gè)抽樣值，即2. 頻率抽樣法頻率抽樣法kNddkjHkH2)()(然后再對然后再對 Hd(k) 做做 IDFT，可得到，可得到 N 點(diǎn)單位沖激序列：點(diǎn)單位沖激序列：取取 h(n) 的的 DTFT，有：，有：2. 頻率抽樣法頻率抽樣法102)(1)(NknkNjdekHNnhdejHnhnjdd)(21)(2111000211001202()12()01()( )( )1( )11( )111( )1NNNjnkj nj nNdkkkNNjnkj nNdknj NNdjkkjNjk NNNdjkkNH jh n eHk eeNHk

32、eeNeHkNeeeHkNe逼近逼近2. 頻率抽樣法頻率抽樣法222()()()2221222()()()02221(1)/2(1)/0()1( )sin(2/)/ 2( )sin (2/)/ 2NNNjkjkjkNNNNdjjjkkkkNNNNj Nj NkNdkH jeeeHkNeeeNk NeHk eNk N這樣，我們由連續(xù)的這樣，我們由連續(xù)的 Hd(j) 抽樣得到抽樣得到 Hd(k)，由，由 Hd(k) 的反變換的反變換 得到得到 h(n)，再由，再由 h(n) 做做 DTFT 又得連續(xù)譜又得連續(xù)譜 H(j)，而，而 H(j) 是對是對Hd(j) 的逼近。的逼近。為了考察為了考察 H(

33、j) 對對Hd(j) 的逼近效果，我們對的逼近效果，我們對 H(j) 再抽樣，令再抽樣，令抽樣點(diǎn)數(shù)抽樣點(diǎn)數(shù) l=mN，m 為大于為大于 1 的整數(shù)，得的整數(shù)，得 H(l), l=1,2,mN-1，則，則有：有：顯然，如果顯然，如果 l=mk，那么，那么 ，這就說明頻，這就說明頻率響應(yīng)率響應(yīng) H(j) 在在 l=mk 的抽樣點(diǎn)上嚴(yán)格的等于的抽樣點(diǎn)上嚴(yán)格的等于 Hd(j)，而在，而在 lmk 的抽樣點(diǎn)上的抽樣點(diǎn)上 H(j) 是由內(nèi)插函數(shù)的插值所決定的。是由內(nèi)插函數(shù)的插值所決定的。 2. 頻率抽樣法頻率抽樣法2/ )/2/2(sin2/ )/2/2(sin)( )()(/)1(10/)1(2NkmN

34、lNNkmNlNekHejHlHNkNjNkdmNlNjlmNl1, 1 , 0 ),()(NkkHlHd定義內(nèi)插函數(shù)：定義內(nèi)插函數(shù)：則有：則有：連續(xù)譜連續(xù)譜 H(j) 是以是以 N 個(gè)離散值個(gè)離散值 Hd(k) 作為權(quán)重和插值函數(shù)作為權(quán)重和插值函數(shù) S(,k)線性組合的結(jié)果。顯然，線性組合的結(jié)果。顯然，N 越大越大 H(j) 對的對的 Hd(j) 逼近程度越好。逼近程度越好。這種濾波器的設(shè)計(jì)方法稱為頻率抽樣法。這種濾波器的設(shè)計(jì)方法稱為頻率抽樣法。2. 頻率抽樣法頻率抽樣法2/ )/2/2(sin2/ )/2/2(sin),(/)1(NkmNlNNkmNlNekSNkNj),()()(102/

35、)1(kSkHejHNkdNj應(yīng)用頻率抽樣法設(shè)計(jì)濾波器需要首先指定應(yīng)用頻率抽樣法設(shè)計(jì)濾波器需要首先指定 Hd(k)。指定的。指定的 Hd(k) 應(yīng)應(yīng)滿足下述條件：滿足下述條件：通帶內(nèi)通帶內(nèi) |Hd(k)|=1，阻帶內(nèi)，阻帶內(nèi) |Hd(k)|=0，且在通帶內(nèi)賦給，且在通帶內(nèi)賦給 Hd(k) 一一個(gè)相位函數(shù)；個(gè)相位函數(shù)；指定的指定的 Hd(k) 保證求出的保證求出的 h(n) 是實(shí)的。是實(shí)的。由由 h(n) 求出的求出的H(j) 具有線性相位。具有線性相位。首先考慮第首先考慮第2個(gè)條件。如果要求個(gè)條件。如果要求 h(n) 是實(shí)的，則：是實(shí)的，則：2. 頻率抽樣法頻率抽樣法102)()(NnnkNj

36、denhkH)()()()()(102102kNHkHenhenhkHddNnnkNjNnnkNjd然后考慮第然后考慮第3個(gè)條件。個(gè)條件。如果如果 為實(shí)數(shù)，則為實(shí)數(shù)，則 H(j) 具有線性相位具有線性相位考慮到考慮到 |Hd(k)|=1因此有因此有把以上結(jié)果結(jié)合起來考慮：把以上結(jié)果結(jié)合起來考慮：當(dāng)當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)， , 這與這與 DFT 的對稱性質(zhì)不符，此的對稱性質(zhì)不符，此時(shí)不能再按照時(shí)不能再按照 指定指定Hd(k)。2. 頻率抽樣法頻率抽樣法)()()1(/)1()1(/)(1(kHeeeekNHdNjNkNjNjNkNNjd2/ )/2(sin2/ )/2(sin)()(/)1(

37、102/)1(NkNNkNekHejHNkNjNkdNjNkNjdekH/)1()(2/) 1()(N1, 1 , 0 ,)(/)1(NkekHNkNjd)()(kHkNHddNkNjdekH/)1()(按照如下的原則指定按照如下的原則指定 Hd(k) ：當(dāng)當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，或者或者:當(dāng)當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，2. 頻率抽樣法頻率抽樣法1, 12/ ,2/ , 012/, 1 , 0 ,)(/)1(/)1(NNkeNkNkekHNkNjNkNjd1, 1 , 0 ,)(/)1(NkekHNkNjd2/ , 0)2/(12/, 2 , 1 ),()(12/, 1 , 0 ,)(/)1(NkNHNkkHkNHNkekHdddNkNjd回憶回憶 FIR 系統(tǒng)的線性相位特性。當(dāng)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足系統(tǒng)的線性相位特性。當(dāng)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足時(shí)，該系統(tǒng)具有線性相位。時(shí)，該系統(tǒng)具有線性相位。類型類型濾波器：濾波器： ，且，且 N 為奇數(shù)。為奇數(shù)。類型類型 濾波器：濾波器： ，且，且 N 為偶數(shù)。為偶數(shù)。)1()(nNhnh)1()(nNhnh2/ )1(02/ )1()cos()()(NnNjnnaejH2/ ) 1()(N)1()(nNhnh2/ ) 1()(N2/12/ )1(21cos)()(NnNjnnbejH2. 頻率抽樣法頻率抽樣法類型類型 濾波器：濾波器：