0403空間等參數(shù)單元的力學(xué)分析

1、§4-3 空間等參數(shù)單元的力學(xué)分析現(xiàn)在來(lái)對(duì)n個(gè)節(jié)點(diǎn)的空間等參數(shù)單元進(jìn)行力學(xué)分析，從而建立這種單元的載荷列陣，應(yīng)力矩陣和剛度矩陣。一、等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算空間等參數(shù)單元的載荷移置，仍遵循靜力等效原則，因而前面幾章介紹的普遍公式仍然適用。1. 集中力當(dāng)單元在任意點(diǎn)受有集中力時(shí)，等效節(jié)點(diǎn)載何為 (4-32)但在這里 (4-33)而矩陣N可用三階單位矩陣I及各個(gè)形函數(shù)表示成為 (4-34)l 由于其中Ni是由受力點(diǎn)的局部坐標(biāo)、表示的，為計(jì)算方便，單元?jiǎng)澐謺r(shí)應(yīng)將集中力作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)。否則 ，由整體坐標(biāo)求局部坐標(biāo)很不方便。2. 體力單元受有分布體力，其強(qiáng)度為，此時(shí)有上式中N是局部坐標(biāo)的顯函數(shù)，且單元

2、的真實(shí)形狀及邊界描述起來(lái)非常困難，一般將上式化成局部坐標(biāo)積分比較方便。利用(4-24)式，有 (4-35)l 對(duì)于變量的分布體力，須將體力分量X、Y、Z表示成局部坐標(biāo)，的函數(shù)，再進(jìn)行積分。3. 面力當(dāng)單元在某一邊界上(例如在=±1的面上)，受有分布的面力時(shí)，可利用(4-34)式的積分求得等效節(jié)點(diǎn)載荷應(yīng)用(4-29)式，可以將上式表示成為 (4-36)l 對(duì)于變量的分布面力，須將面力分量、表示成局部坐標(biāo)的函數(shù)，再進(jìn)行積分。l 如果上述分布面力為靜水壓力q，則將(4-31)式代入，然后再代入(4-36)式，得 (4-37)當(dāng)面力作用在±的面上或±1的面上時(shí)，只須將(4

3、-37)中的，輪換，即可得出各種狀況下的載荷列陣表達(dá)式。二、應(yīng)變、應(yīng)力矩陣1應(yīng)變將位移函數(shù)表達(dá)式(4-17)代入空間問(wèn)題的幾何方程，可得單元內(nèi)的應(yīng)變表達(dá)式 (4-38)其中是單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣，即 (4-39)而 (i=1,2,，n) (4-40)2應(yīng)力和以前一樣，單元內(nèi)的應(yīng)力可以表示成 (4-41)將其中應(yīng)力矩陣S寫(xiě)成分塊形式 (4-42)則有 (i=1,2,，n) (4-43)三、剛度矩陣將單元上的節(jié)點(diǎn)力表示成為則由虛功方程可以得出和以前一樣的公式其中單元?jiǎng)偠染仃嚍?(4-44)單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)3n×3n的矩陣，可以寫(xiě)成分塊形式： (4-45)其中每一個(gè)子矩陣是3×3

4、方陣（3個(gè)自由度時(shí)），為 (i=1,2,n;j=1,2,n) (4-46)有了單元的載荷列陣和剛度矩陣之后，即可利用以前多次用過(guò)的方法，建立那些求解節(jié)點(diǎn)位移所需的節(jié)點(diǎn)平衡方程，在求出節(jié)點(diǎn)位移之后，再按(4-41)式求單元的應(yīng)力。四、幾點(diǎn)說(shuō)明1坐標(biāo)變換l 對(duì)于等參單元中的任一點(diǎn)，由它的局部坐標(biāo)求出它的整體坐標(biāo)時(shí)，只須直接應(yīng)用(4-18)式；l 要由整體坐標(biāo)算出局部坐標(biāo)，則須利用(4-18)式，求解三元非線性聯(lián)立方程組，這是非常繁瑣的，甚至不可能。2參數(shù)計(jì)算方法l 在計(jì)算單元中的應(yīng)力等參數(shù)時(shí)，一般是先設(shè)定一組局部坐標(biāo)（一般是節(jié)點(diǎn)或積分點(diǎn)），代入應(yīng)力矩陣以求出應(yīng)力；并根據(jù)這組局部坐標(biāo)算出相應(yīng)的整體坐標(biāo)，從而可知所求應(yīng)力是單元(構(gòu)件)那一點(diǎn)處的應(yīng)力。對(duì)于單元中以整體坐標(biāo)標(biāo)定的一點(diǎn)（除非是節(jié)點(diǎn)或積分點(diǎn)等特殊點(diǎn)），要計(jì)算應(yīng)力則是非常復(fù)雜和不現(xiàn)實(shí)的。² 計(jì)算節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力，則比較方便。因?yàn)槠渚植孔鴺?biāo)是已知的，且非常簡(jiǎn)單，不外乎0，±1以及簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)±，±等等。² 因此，在整理應(yīng)力等計(jì)算結(jié)果時(shí)，一般宜采用繞點(diǎn)平均法。3精度問(wèn)題l 對(duì)于等參數(shù)單元，單元內(nèi)點(diǎn)的應(yīng)力精度優(yōu)于邊界點(diǎn)的精度，角節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力精度最差。l 如果單元的形態(tài)比較差，則