181931 311　空間向量的線性運算

1、3.1空間向量及其運算3.1.1空間向量的線性運算學習目標：1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共線向量等概念(重點)2.會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，掌握數(shù)乘向量運算的意義及運算律(重點、易混點)自 主 預 習·探 新 知1空間向量的概念(1)在空間中，把具有大小和方向的量叫做向量，向量a的有向線段的長度叫做向量的長度或?？臻g向量也用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可記作，其模記為|a|或|.(2)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量起點與終點重合的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為

2、單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量共線向量或平行向量有向線段所在的直線叫做向量的基線如果空間中一些向量的基線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.2.空間向量的加、減、數(shù)乘運算及其運算律空間向量的運算加法ab減法ab數(shù)乘當0時，a，當0時，a0，當0時，a00加法與數(shù)乘運算律(1)加法交換律：abba；(2)加法結(jié)合律：(ab)ca(bc)(3)分配律：()aaa，(ab)ab思考：空間兩個向量的加減法與平面內(nèi)兩個向量的加減法完全一致嗎？提示完全一致基礎(chǔ)自測

3、1思考辨析(1)若表示兩個相等空間向量的有向線段的起點相同，則終點也相同()(2)零向量沒有方向. ()(3)空間向量的數(shù)乘中只決定向量的大小，不決定向量的方向()提示(1)(2)×零向量方向任意，但不是沒有方向(3)×既決定向量的大小，又決定向量的方向2已知空間四邊形ABCD中，a，b，c，則等于()AabcBabcCabcDabcCbacabc，故選C.3在單位正方體ABCD­A1B1C1D1中，向量與是_向量，向量與是_向量答案相等相反合 作 探 究·攻 重 難空間向量的概念及簡單應用(1)下列說法中正確的是 ()A若|a|b|，則a、b的長度相同

4、，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，則|a|b|C空間向量的減法滿足結(jié)合律D在四邊形ABCD中，一定有B|a|b|，說明a與b模長相等，但方向不確定，對于a的相反向量ba，故|a|b|，從而B正確只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律，一般的四邊形不具有，只有平行四邊形才能成立故A、C、D均不正確(2)如圖3­1­1所示，以長方體ABCD­A1B1C1D1的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中圖3­1­1試寫出與相等的所有向量試寫出的相反向量若ABAD2，AA11，求向量的模解與向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3個向量的相反向

5、量為，.|3.規(guī)律方法(1)兩個向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件.(2)熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運算法則及向量加法的運算律是解決好這類問題的關(guān)鍵.跟蹤訓練1(1)給出下列命題：零向量沒有確定的方向；在正方體ABCD­A1B1C1D1中，；若向量a與向量b的模相等，則ab.其中正確命題的序號是_(2)下列四個命題：方向相反的兩個向量是相反向量；若a、b滿足|a|>|b|且a、b同向，則a>b；不相等的兩個空間向量的模必不相等；對于任何向量a、b，必有|ab|a|b|.其中正確命題的序

6、號為 ()ABCD(1)(2)B(1)正確；正確，因為與的大小和方向均相同；|a|b|，不能確定其方向，所以a與b不一定相等綜上可知，正確命題為.(2)對于：長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故錯；對于：向量是不能比較大小的，故不正確；對于：不相等的兩個空間向量的模也可以相等，故錯；只有正確空間向量的加、減法運算探究問題向量加法的三角形法則和平行四邊形法則及向量減法的三角形法則有什么特點？提示(1)空間中任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一個平面內(nèi)的兩個向量，因此，它們的加減法運算類似于平面向量的加減法(2)若兩個空間向量的始點相同，則這兩個向量即為平面向量求這兩個向量之和時，

7、應優(yōu)先考慮平行四邊形法則(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點，因此為便于記憶，常把這個和向量叫做“封口向量”，求空間中若干向量之和時，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量如圖3­1­2，已知長方體ABCD­ABCD，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量圖3­1­2(1)；(2). 【導學號：33242234】思路探究借助向量運算的三角形法則和平行四邊形法則進行運算解(1).(2)().向量、如圖所示母題探究：1.(變結(jié)論)利用本例圖，化簡.解結(jié)合加法運算，0.故0.2(變結(jié)論)利用本例圖，求證2.證明長方體的

8、六個面均為平行四邊形，()()()2()又，.2.規(guī)律方法(1)首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即An1An.(2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為0.如圖，0.(3)空間向量的減法運算也可以看成是向量的加法運算，即aba(b)(4)由于空間任意兩個向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為同一個平面內(nèi)的兩個向量，而平面向量滿足加法交換律，因此空間向量也滿足加法交換律(5)空間向量加法結(jié)合律的證明：如圖，(ab)c()，a(bc)()，所以(ab)ca(bc).數(shù)乘向量運算如圖3­1­3所示，在平行六面體ABCD

9、3;A1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：圖3­1­3(1)；(2)；(3). 【導學號：33242235】思路探究將所求向量置于適當?shù)娜切位蚨噙呅沃?，利用三角形法則、平行四邊形法則或首尾相接的方法，將所求向量表示出來，然后化簡整理解(1)P是C1D1的中點，aacacb.(2)N是BC的中點，abababc.(3)M是AA1的中點，aabc.又ca，abc.規(guī)律方法利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向

10、量. (2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質(zhì).提醒：利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知向量表示出來.跟蹤訓練2如圖3­1­4已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中點，求下列各式中x、y的值：圖3­1­4(1)xy；(2)xy.解(1)()，xy.(2)2，2.又2，2.從而有2(2)22.x2，y2.當 堂 達 標·固 雙 基1下列命題中，假命題是 ()A同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B兩個相反向量的和為零向量C只有零向量的模等于0D空間中任意兩個單位向量必相等D大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的兩個向量稱為相反向量；任意兩個單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等2在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，與向量相等的向量共有()A1個 B2個C3個 D4個C向量、與相等3向量a，b互為相反向量，已知|b|3，則下列結(jié)論正確的