函數(shù)凹凸性的應(yīng)用(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)凹凸性的應(yīng)用什么叫函數(shù)的凸性呢？我們先以兩個具體函數(shù)為例,從直觀上看一看何謂函數(shù)的凸性.如函數(shù)所表示的曲線是向上凸的,而所表示的曲線是向下凸的,這與我們?nèi)粘Ａ?xí)慣上的稱呼是相類似的.或更準確地說：從幾何上看,若yf(x)的圖形在區(qū)間I上是凸的,那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的上方；若yf(x)的圖形在區(qū)間I上是凹的,那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的下方.如何把此直觀的想法用數(shù)量關(guān)系表示出來呢？設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是凸的（向下凸）,任意,（）.曲線上任意兩點,之間的圖象位于弦的下方,即任意,的值小于或等于弦在點的函數(shù)值,弦的方程.對任意有,整理得.令,則有,且,

2、易得,上式可寫成1.1凸凹函數(shù)的定義凸性也是函數(shù)變化的重要性質(zhì)。通常把函數(shù)圖像向上凸或向下凸的性質(zhì)，叫做函數(shù)的凸性。圖像向下凸的函數(shù)叫做凸函數(shù)，圖像向上凸的函數(shù)叫做凹函數(shù)。設(shè)，（1）則稱為上的凸函數(shù)。若 （2）則稱為上的嚴格凸函數(shù)。若（1）與（2）式中的不等式符號反向，則分別稱為上的凹函數(shù)與嚴格凹函數(shù)。顯然，為上的（嚴格）凸函數(shù)是（嚴格）凸的。因此，只要研究凸函數(shù)的性質(zhì)與判別法，就不難得到凹函數(shù)的相應(yīng)的判別法。直接用定義來判別函數(shù)的凸性是比較困難的，下面的等價命題可以提供給我們判別函數(shù)凸凹性的一些依據(jù)：若在內(nèi)二次可微，則下面關(guān)于凹函數(shù)的四個命題等價：1. 。其幾何意義是“現(xiàn)在曲線的上方”;2.

3、其幾何意義是“切線在曲線的下方”；3. ；4. 定義2 設(shè)曲線yf(x)在點()處有穿過曲線的切線,且在切點近旁,曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴格凸或嚴格凹的,這時稱()為曲線yf(x)的拐點.必須指出；若()是曲線y=f（x)的一個拐點,yf(x)在點的導(dǎo)數(shù)不一定存在,如在x0的情形.1.2 凸函數(shù)的特征引理 f為I上的凸函數(shù)對于I上任意三點總有： (3)嚴格凸函數(shù)上式嚴格不等式成立.證 記,則及, 由的凸性知          (4)      從而有即 &

4、#160;  整理即得式.,記,則,由必要性的推導(dǎo)步驟可逆,從式便得式.故為凸函數(shù).同理便知,曲線上首尾相連的線,其斜率是遞增的,即,有                        嚴格凸函數(shù)上式嚴格不等式成立.定理 設(shè)為開區(qū)間上的凸函數(shù)若則在上滿足利普希茨條件,且在上連續(xù) 證明 (證明開區(qū)間上的凸函數(shù)必為連續(xù)函數(shù))當取定后,由為開區(qū)間,必可選取中的四點滿

5、足：如圖所示,再在中任取兩點.應(yīng)用引理得到令                             ,則, 顯然,上述 L與中的點無關(guān),故在上的每個內(nèi)閉區(qū)間上滿足利普希茨條件由此容易推知在上連續(xù),再由在上的任意性,又可推知在上處處連續(xù)如果f是I上的可導(dǎo)函數(shù),則進一步有：1.3、凸函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理1（可導(dǎo)函數(shù)為凸函

6、數(shù)的等價命題） 設(shè)f為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù),則下述論斷互相等價：（1）f為I上的凸函數(shù)；（2）為I上的增函數(shù)；（3）對I上的任意兩點總有 證 (i)(ii),并取,使據(jù)定理3.12,有由可微,當時,對上述不等式取極限后,得到所以是上的遞增函數(shù)(ii)(iii)由微分中值定理和遞增,便可證得當時,也有相同結(jié)論(iii)(i),并記,則有, 由(iii)可得.注 定理中(iii)的幾何意義如下圖所示:曲線上任意一點處的切線恒位于曲線的下方在為可微的前提條件下,常用上述切線與曲線的位置關(guān)系(iii)來表述凸函數(shù)但是在沒有可微條件假設(shè)時,凸函數(shù)只能用曲線與其任一弦的位置關(guān)系(定義1)來定義 如果f在I上

7、二階可導(dǎo),則進一步有：定理2（凸函數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系） 設(shè)f為I上的二階可導(dǎo)函數(shù),則在I上f為凸（凹）函數(shù)（）,.為嚴格凸1）；2）不在上的任一子區(qū)間上恒為零.此定理說明：為嚴格凸,則曲線中不含有直線段（）.對于凹函數(shù)情形,也有類似的定理（因為凸,則凹）.可導(dǎo)函數(shù)有如下相互等價的論斷：1）為上凹函數(shù).2）,有.即割線斜率遞減.3）為上遞減函數(shù).4）,有,.當在上二階可導(dǎo)時,下述論斷與1）,2）,3）,4）相等價.5）在上.對嚴格凹的情形可類似得出等價論斷.二、拐點定義2 設(shè)曲線yf(x)在點()處有穿過曲線的切線,且在切點近旁,曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴格凸或嚴格凹的,這時稱()為曲線yf(x)

8、的拐點.（即為曲線凹凸部分的分界點）必須指出；若()是曲線y=f（x)的一個拐點,yf(x)在點的導(dǎo)數(shù)不一定存在,如在x0的情形.定理3（拐點必要條件） 若f在二階可導(dǎo),則()為曲線yf(x)的拐點的必要條件是.綜上知：()的拐點,則要么（1）；要么（2）f在點不可導(dǎo).定理4 設(shè)f在點可導(dǎo),在某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),若在和上的符號相反,則()為曲線yf(x)的拐點.例1 討論函數(shù)的凸性與拐點.解 ,因而當時,；當時,從而函數(shù)為上的凸函數(shù),在上為凹函數(shù).而在原點連續(xù),故原點為曲線的拐點例2 若在內(nèi)可導(dǎo)、凸（凹）函數(shù),則為的極小（大）值點.即為的穩(wěn)定點.證 ）費馬定理.   

9、;   ）因凸,故有.因,故總有.即為的極小值點.例3 設(shè)在開區(qū)間上為凸（凹）函數(shù),證明在開區(qū)間內(nèi)任一點都存在左、右導(dǎo)數(shù).證 只證凸函數(shù)在存在右導(dǎo)數(shù),其它情形同理可證.令,記,則（取充分小使）,由式得：                  記  則有即為單調(diào)遞增函數(shù).取且,則,從而遞增有下界,從而存在,即存在.注 對區(qū)間端點,左、右導(dǎo)數(shù)可能存在,也可能為.由第五章§1習(xí)題10知（若在的左、

10、右導(dǎo)數(shù)都存在,則在連續(xù)）,若在為開區(qū)間內(nèi)的凸（凹）函數(shù),則為內(nèi)的連續(xù)函數(shù).（但不一定可導(dǎo),如）三凸凹性的應(yīng)用了解函數(shù)凸凹性的判別依據(jù)后，我們更在乎在應(yīng)用領(lǐng)域，它所發(fā)揮的重要而廣泛的價值。3.1 凸凹性質(zhì)的應(yīng)用例題4 設(shè)也是上的凹函數(shù)。證：設(shè)有由此推出由凹函數(shù)的定義，即知是上的凹函數(shù)。命題 設(shè)為區(qū)間上得二階可導(dǎo)函數(shù)，如果有，那么 其中是正數(shù)，證明 記，那么有泰勒公式得其中由題設(shè)，于是證畢。特別地，我們可以有如下推論。推論 設(shè)為區(qū)間上連續(xù)，內(nèi)二階可導(dǎo)函數(shù)，且，設(shè)是區(qū)間上的可積函數(shù)，那么有。對于函數(shù)凸凹性的應(yīng)用另一個方面是在不等式中，而實際中凸函數(shù)在不等式中的證明是最常見的。例題5 設(shè)，證明證明 由

11、知，是一個凸函數(shù)，而是一個正值函數(shù)且滿足，于是由上面的結(jié)果知化簡得 證畢。例6 證明: 對 有不等式 . 例7 設(shè),則當且僅當所有全相等時等號成立.證 所有全相等時,等號顯然成立.只須證不全等時,有嚴格不等號成立即可.取,則在上嚴格凸,由例4知即    因嚴格增,故有又不全等不全等,故所以      例8 在中, 求證 .解 考慮函數(shù)在區(qū)間內(nèi)凹, 由Jensen不等式, 有. 4.1多元函數(shù)凹凸性的幾個定義定義4.1.16 設(shè)D是n維空間的一個區(qū)域，若 則（1）設(shè) 總能分解成則在D上是凹（凸）的；（2）設(shè)（1）的條

12、件成立并且關(guān)于的兩個不等式中，則稱D是凸函數(shù)，否則稱D為凹函數(shù)。定義4.1.26設(shè)是定義在凸函數(shù)D上的函數(shù)，是D上的任意兩點，記（1）若恒有且等號不恒成立，則稱在D上是凹（或凸）的（2）若則稱在D上是嚴格上的凹（或凸）的。（3）若，則稱在D上是線性的，則稱在D上是線性的。這兩種定義是等價的在二元函數(shù)中，設(shè)D是維空間的一個區(qū)域，若 則由定義一知（1）設(shè)總能分解成 則在D上是凹（凸）的；（）設(shè)（1）的條件成立并且關(guān)于的兩個不等式中，則稱D是凸函數(shù)，否則稱D為凹函數(shù)。由定義二知設(shè)是定義在凸函數(shù)D上的函數(shù)是D上的任意兩點，記（1）若恒有且等號不恒成立，則稱在D上是凹（或凸）的（2）若則稱在D上是嚴格上的凹（或凸）的。（3若則稱在D上是線性的。例如三元函數(shù)就是一個凹函數(shù)4.2多元函數(shù)凹凸性的幾個判定定理定理4.2.18 設(shè)是凸區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)，記若且不恒為0，那么，當或，函數(shù)在D上上凹，當A>0或C<0，函數(shù)在D上上凸，若當或，函數(shù)在D上是凹的，當或C<0，函數(shù)在D上上凸。證明:任取記由泰勒公式則當時則當時，定理得證利用泰勒公式，我們不難證明定理4.2.29設(shè)是凸函數(shù)D上的具連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)不同時取，則有在D上是嚴格凹（凸）的。若，則在D上線性的。定理一和定理顯然不難推廣到一般的多元函數(shù)中去，