狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器

1、2022-2-232022-2-23編輯ppt1 1第五章第五章 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器 狀態(tài)反饋及極點配置 系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題 狀態(tài)觀測器 帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)2022-2-232022-2-23編輯ppt2 2第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)反饋及極點配置狀態(tài)反饋及極點配置2022-2-232022-2-23編輯ppt3 3將系統(tǒng)每一個狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。反饋的兩種基本形式：狀態(tài)反饋（1種）、輸出反饋（2種） AB uxx r nKv CD1my 原受控系統(tǒng) ： DuCxyBuAxx ),(0CBA 線性反饋規(guī)律：Kxvu

2、2022-2-232022-2-23編輯ppt4 4狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)： DvxDKCyBvxBKAx)()(nrK 維數(shù)是維數(shù)是反饋增益矩陣： rnrrnnkkkkkkkkkK212222111211BBKAsICsGk1)()( 狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為： CxyBvxBKAx)( 一般D=0，可化簡為：),(CBBKAk 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)表示：0)( BKAI 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：2022-2-232022-2-23編輯ppt5 5原受控系統(tǒng) ： DuCxyBuAxx ),(0CBA Hyvu AB uxx r mHv C1my 將系統(tǒng)輸出量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到參考輸人，其和作

3、為受控系統(tǒng)的控制輸入。（同古典控制，不作過多說明）輸出反饋控制規(guī)律： CxyBvxBHCAx)(輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2022-2-232022-2-23編輯ppt6 6輸出反饋增益矩陣： rmrrmmhhhhhhhhhH212222111211BBHCAsICsGH1)()( 閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：由于反饋引自系統(tǒng)輸出，所以輸出反饋不影響系統(tǒng)的可觀測性。：當HCK時，輸出到參考輸入的反饋與狀態(tài)反饋等價。即對于任意的輸出反饋系統(tǒng)，總可以找到一個等價的狀態(tài)反饋，即KHC。故輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性。：對于狀態(tài)反饋，從KHC中，給定K值，不一定能夠解出H。所以，輸出反饋是部分狀態(tài)反饋，輸出信

4、息所包含的不一定是系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，適合工程應(yīng)用，性能較狀態(tài)反饋差。2022-2-232022-2-23編輯ppt7 7原受控系統(tǒng) ： CxyBuAxx ),(0CBA AB uxx n mH C1my 將系統(tǒng)的輸出量乘以相應(yīng)的負反饋系數(shù)，饋送到狀態(tài)微分處。這種反饋在狀態(tài)觀測器中應(yīng)用廣泛，結(jié)構(gòu)和觀測器很相似。 CxyBuxHCAx)(輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2022-2-232022-2-23編輯ppt8 8：通過反饋增益矩陣K的設(shè)計，將加入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在S平面期望的位置上。(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。：(極點配置定理) 對線性定常系統(tǒng) 進行

5、狀態(tài)反饋，反饋后的系統(tǒng)其全部極點得到任意配置的充要條件是： 狀態(tài)完全能控。),(0CBA ),(0CBA 矩陣 的特征值就是所期望的閉環(huán)極點。對不能控的狀態(tài)，狀態(tài)反饋不能改變其特征值。BKA 2022-2-232022-2-23編輯ppt9 9(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：)(det)(BKAIf (3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點，寫出期望特征多項式。*112110( )nnnnf（ (4)由 確定反饋矩陣K：21nkkkK )()(* ff ：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性 考慮線性定常系統(tǒng)其中：試設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為-2j4和-10。,xAxBuyCx01000

6、01,0 ,1001561ABC 2022-2-232022-2-23編輯ppt1010該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋，可任意進行極點配置。331616101002 rankBAABBrankQrankc（2）計算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式321kkkK 12332321123000100( ) |000010 0015611001(6)(5)1156fIABKkkkkkkkkk 設(shè)狀態(tài)反饋增益矩陣為：2006014)10)(42)(42()(23* jjf（3）計算期望的特征多項式2022-2-232022-2-23編輯ppt1111由 得2001,605,146123 kkk8,55,1993

7、21 kkk855199 K（4）確定K陣)()(* ff 求得：所以狀態(tài)反饋矩陣K為： 對如下的線性定常系統(tǒng)，討論狀態(tài)反饋對系統(tǒng)極點的影響：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性由對角線標準型判據(jù)可知，特征值為1的狀態(tài)不能控。(2)假如加入狀態(tài)反饋陣K，得到反饋后的特征多項式為：100021xxu 2022-2-232022-2-23編輯ppt1212)2)(1(201)(det)(221kkkBKAIf 從中可以看出，對于1的極點，狀態(tài)反饋不起作用，狀態(tài)反饋只能通過k2去影響2這個極點。即狀態(tài)反饋對不能控部分狀態(tài)，不能任意配置其極點。求 將相等繁瑣，所以引入第二能控標準型法。( ) |()|fIABK

8、1、首先將原系統(tǒng) 化為第二能控標準型 ),(CBA ),(CBA2、求出在第二能控標準型的狀態(tài) 下的狀態(tài)反饋矩陣xK3、求出在原系統(tǒng)的狀態(tài) 下的狀態(tài)反饋矩陣x12 cPKK2022-2-232022-2-23編輯ppt1313）式式（ 1)(BvxBKAx vBxKBAx )(BPBAPPAxPxcccc122122, ）式式（2)()()(12121212212222BvxPKBABvPxPKBPAPPPvBxKBAPxPxccccccccc 證明：原系統(tǒng)：第二能控標準型：其中：式（1）和式（2）比較，得：12 cPKK12 cPKK2022-2-232022-2-23編輯ppt1414 1

9、00,100001000010121210212BPBAPPAcncc 第二能控標準型：此時的系統(tǒng)不變量和原系統(tǒng)相同。 )()()()(1000010000101322110nnkkkkKBA 能控標準型下，加入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣為：K2022-2-232022-2-23編輯ppt1515111201( )()()()()nnnnfIABKkkk 第二能控標準型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：根據(jù)期望閉環(huán)極點，寫出期望特征多項式：*112110( )nnnnf（ 111100 nnaaK 由 ，可以確定第二能控標準型下的反饋矩陣為：)()(* ff 2022-2-232022-2-23編

10、輯ppt1616(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能控標準型 的變換陣 ),(CBA若給定狀態(tài)方程已是第二能控標準型，那么 ，無需轉(zhuǎn)換 IPc 2即可即可然后確定然后確定只需要求系統(tǒng)不變量只需要求系統(tǒng)不變量2,ciP 1110( )nnnfIA 101001,12121212nnnncbbAbAP 2cP系統(tǒng)不變量：2022-2-232022-2-23編輯ppt1717(3)根據(jù)給定或求得的期望閉環(huán)極點，寫出期望的特征多項式：*112110( )nnnnf（ *0*11*1012211)( sssssssGnnnnnnn*i (4)直接寫出在第二

11、能控標準型下的反饋增益矩陣：111100 nnaaK 12 cPKK(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：還可以由期望閉環(huán)傳遞函數(shù)得到：第二能控標準型法，非常適合于計算機matlab求解 期望的閉環(huán)極點有時直接給定；有時給定某些性能指標：如超調(diào)量 和調(diào)整時間 等）%pMst2022-2-232022-2-23編輯ppt1818（2）計算原系統(tǒng)的特征多項式：156|)(23 AIf：（1）可知，系統(tǒng)已經(jīng)是第二能控標準型了，故系統(tǒng)能控，此時變換陣IPc 22006014)10)(42)(42()(23* jjf（3）計算期望的特征多項式85519912 cPKK（4）確定K陣所以狀態(tài)反饋矩陣K

12、為： 855199221100 aaK第二能控標準型下的狀態(tài)反饋矩陣為：0100001,01561AB 2022-2-232022-2-23編輯ppt1919為系統(tǒng)期望的特征多項式系數(shù)，由下式確定：*112110( )nnnnf（ )A(BAABB1000K11 n其中 是A滿足其自身的特征方程，為：*1*110()nnnAAAAI )A( *i 推導過程：略此方法也非常適合于計算機matlab求解2022-2-232022-2-23編輯ppt2020 11743771598855199I200A60A14AIAAA)A(23*0*12*23aaa ：（1）確定系統(tǒng)期望的特征多項式系數(shù)：200

13、6014)10)(42)(42()(23* jjf14,60,200210 所以：（2）確定)A( 0100001,01561AB 2022-2-232022-2-23編輯ppt2121（3）所以狀態(tài)反饋矩陣K為： 85519911743771598855199001016165100117437715988551993161610100100)A(BAAB100K112 B2022-2-232022-2-23編輯ppt2222例已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 01003210uy xxx設(shè)計狀態(tài)反饋增益矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為1和2，并畫出閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。解：先判斷系統(tǒng)的能控性。

14、 02rankrankrank226cQBAB系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可以通過狀態(tài)反饋任意配置其極點。 12kkK令2022-2-232022-2-23編輯ppt2323則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為 221121( ) |()|(32)22(32)fkkkkIABK期望的特征多項式為 *2( )(1)(2)32f由 ff，求得13K 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下： 2022-2-232022-2-23編輯ppt2424期望極點選取的原則： 1）n維控制系統(tǒng)有n個期望極點； 2）期望極點是物理上可實現(xiàn)的，為實數(shù)或共軛復數(shù)對； 3）期望極點的位置的選取，需考慮它們對系統(tǒng)品質(zhì)的影響（離虛軸的位置），及

15、與零點分布狀況的關(guān)系。 4）離虛軸距離較近的主導極點收斂慢，對系統(tǒng)性能影響最大，遠極點收斂快，對系統(tǒng)只有極小的影響。2022-2-232022-2-23編輯ppt2525：如果SI線性定常系統(tǒng) 是能控的，則狀態(tài)反饋所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng) 也是能控的。),(0CbA),(CbbKAk:的能控性判別陣為：),(0CbAbAAbbQnc10的能控性判別陣為：),(CbbKAkbbKAbbKAbQnck1)()(的第一列。的第一列同可見，0cckQQ一、二列的線性組合為的第二列0)( :cckQbKbAbbbKAQ標量標量能控性不發(fā)生變化。的秩可知，狀態(tài)反饋后由初等變換不改變矩陣初等變換得到列向量的線性組合

16、。的每一列都是依次類推，ckccckQQQQ002022-2-232022-2-23編輯ppt2626：對SISO系統(tǒng)，引入狀態(tài)反饋后，不改變系統(tǒng)原有的閉環(huán)零點。所以經(jīng)過極點的任意配置，可能會出現(xiàn)零極點相約，由于可控性不變，故可能破壞可觀測性。01110122111)()( ssssssbAsICsGnnnnnnn第二能控標準型，受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)：狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)： )()()()()(1021110122111kskskssssbKbAsICsGnnnnnnnn 2022-2-232022-2-23編輯ppt2727BBKAsICsGk1)()( CxyBvxBKAx)(0)(

17、BKAI 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)的特征方程為：BBHCAsICsGH1)()( CxyBvxBHCAx)(0)( BHCAI 2022-2-232022-2-23編輯ppt2828：閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)的特征方程為：BHCAsICsGH1)()( 0)( HCAI CxyBvxHCAx)(：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。：反饋陣k的求法2022-2-232022-2-23編輯ppt2929(4)由 確定反饋矩陣K：21nkkkK )()(* ff (2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：)(d

18、et)(BKAIf (3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點，寫期望特征多項式。*112110( )nnnnf（ (1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。2022-2-232022-2-23編輯ppt3030(4)寫出第二能控標準型下的反饋增益矩陣：111100 nnaaK 12 cPKK(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。(3)寫出期望的特征多項式：*112110( )nnnnf（ (2)確定將原系統(tǒng)化為第二能控標準型 的變換陣 ),(CBA2cP2022-2-232022-2-23編輯ppt3131可以保持原系統(tǒng)的

19、能控性，但可能破壞原系統(tǒng)的能觀測性。 )A(BAABB1000K11 n其中 是A滿足其自身的特征方程，為：*1*110()nnnAAAAI )A( 為系統(tǒng)期望的特征多項式系數(shù)，由下式確定：*112110( )nnnnf（ *i 2）和3）方法非常適合于計算機matlab求解2022-2-232022-2-23編輯ppt3232第二節(jié)第二節(jié) 系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題 系統(tǒng)鎮(zhèn)定的概念 狀態(tài)反饋與系統(tǒng)的鎮(zhèn)定2022-2-232022-2-23編輯ppt3333鎮(zhèn)定：一個控制系統(tǒng)，如果通過反饋使系統(tǒng)實現(xiàn)漸近穩(wěn)定，即閉環(huán)系統(tǒng)極點具有負實部，則稱該系統(tǒng)是能鎮(zhèn)定的。可以采用狀態(tài)反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定，則稱系統(tǒng)是

20、狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。如果線性定常系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則它狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是：不能控子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。1( ,)A B C原系統(tǒng)：2022-2-232022-2-23編輯ppt3434 22121110AAAARRAcc 011BBRBc 22211211110AkBAkBAKBA將原系統(tǒng)按照能控性分解，得到系統(tǒng)2( ,)A B C對系統(tǒng) 引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣變?yōu)?閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：22211111222211211111)(0)()()(AsIkBAsIAsIkBAkBAsIKBAsI 能控部分，總可以通過狀態(tài)反饋使之鎮(zhèn)定要求漸近穩(wěn)定2022-2-232022-2-23編輯

21、ppt3535：如果線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則不管其特征值是否都具有負實部，一定是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。（一定存在狀態(tài)反饋陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點得到任意配置） 不穩(wěn)定但狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)，可以通過狀態(tài)反饋使它鎮(zhèn)定：可控系統(tǒng)是一定可鎮(zhèn)定的，可鎮(zhèn)定系統(tǒng)不一定是可控的2022-2-232022-2-23編輯ppt3636系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 （2）由動態(tài)方程知系統(tǒng)是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可知此部分是漸近穩(wěn)定的。因此該系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。 ：（1）系統(tǒng)的特征值為1，2和5。有兩個特征值在右半S平面，因此系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。 5, 22, 22321 jj（1）該系統(tǒng)是

22、否是漸近穩(wěn)定的？（2）該系統(tǒng)是否是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的？（3）設(shè)計狀態(tài)反饋，使期望的閉環(huán)極點為100102010050XAXbuXu 2022-2-232022-2-23編輯ppt3737（3）不能控部分的極點為5，與其中一個期望極點相同。此時，只能對能控部分進行極點配置。設(shè) ，對能控部分進行極點配置。 21,kkK 21212121212001kkkkkkkkBKAA 212122121212212122321321kkkkkkkkkkkkkkAIf 8422222 jjf期望的特征多項式為：2022-2-232022-2-23編輯ppt3838 ff 822432121kkkk131 k202

23、 k由 得：解得：所以反饋陣為： 2013 K2022-2-232022-2-23編輯ppt3939系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下 ：（1）系統(tǒng)特征方程為：（1）討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）加狀態(tài)反饋可否使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定？uXX 010110 Xy10 01112 AIf特征值為 ，系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。jj 21, （2）系統(tǒng)能控，加入狀態(tài)反饋可以任意配置極點。設(shè)反饋陣為 ，加狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)矩陣為 21,kkK 2022-2-232022-2-23編輯ppt4040 01121kkbKA系統(tǒng)的特征多項式為： 21210fkk通過k1和k2的調(diào)整可使系統(tǒng)的特征值都位于左半S平面，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。202

24、2-2-232022-2-23編輯ppt4141第三節(jié)第三節(jié) 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 狀態(tài)觀測器的原理和構(gòu)成 狀態(tài)觀測器的存在條件 狀態(tài)觀測器極點配置條件和算法 構(gòu)成狀態(tài)觀測器的原則2022-2-232022-2-23編輯ppt4242：不是所有的系統(tǒng)狀態(tài)物理上都能夠直接測量得到。需要從系統(tǒng)的可量測參量，如輸入u和輸出y來估計系統(tǒng)狀態(tài) 。：狀態(tài)觀測器基于可直接量測的輸出變量y和控制變量u來估計狀態(tài)變量，是一個物理可實現(xiàn)的模擬動力學系統(tǒng)。如果 是狀態(tài)完全能觀測的，那么根據(jù)輸出y的測量，可以唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài) ，系統(tǒng)任意時刻的狀態(tài)：所以只要滿足一定的條件，可從可測量y和u中把x間接重構(gòu)出來。C

25、xyBuAxx ,0)()()()(00 tdButxttxt 0 x2022-2-232022-2-23編輯ppt4343原受控系統(tǒng) ：CxyBuAxx ,),(0CBA 狀態(tài)觀測器 ：,xAxBuyCx),(CBAg 原系統(tǒng)和狀態(tài)觀測器之間狀態(tài)的誤差：xxx 有： ，即：xAxxxAxx)( 或或)(00 xxexxAt 原系統(tǒng)初始狀態(tài) 狀態(tài)觀測器的初始狀態(tài)0 x0 x如果 ，必有 ，即兩者完全等價，實際很難滿足。也就是說原狀態(tài)和狀態(tài)觀測器的估計狀態(tài)之間必存在誤差，從而導致原系統(tǒng)和狀態(tài)觀測器的輸出也必存在誤差。漸近狀態(tài)觀測器。00 xx xx 2022-2-232022-2-23編輯ppt

26、4444)(xxCxCCxyy 0)( xxLimt0) ( yyLimt如如果果構(gòu)的目的。構(gòu)的目的。，從而達到狀態(tài)準確重，從而達到狀態(tài)準確重盡快趨近于盡快趨近于從而使從而使，盡快逼近到盡快逼近到進行反饋，使進行反饋，使所以，將輸出誤差所以，將輸出誤差0)(0)()(xxyyyy B x CAyB xCAy eK xx u 0 g全維漸近狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖：維數(shù)2n。2022-2-232022-2-23編輯ppt4545()eIAK C0狀態(tài)觀測器的特征方程為：BuyKxCKABuxCyKxABuyyKxAxeeee )()() (狀態(tài)觀測器 方程： geCBCKA),(CKAe 觀測器的系統(tǒng)矩

27、陣為觀測器的系統(tǒng)矩陣為維；維；，為，為是觀測器中的反饋矩陣是觀測器中的反饋矩陣mnKe B x CAyB xCCKAe y eK xx u 0 g由此可以得到全維漸近狀態(tài)觀測器的等價結(jié)構(gòu)圖：維數(shù)2n。2022-2-232022-2-23編輯ppt4646：觀測器在任何初始條件下，都能夠無誤差地重構(gòu)原狀態(tài)。 ：線性定常系統(tǒng)不能觀測的部分是漸近穩(wěn)定的。0)( xxLimt存在條件設(shè)狀態(tài)觀測器方程：xCKuBxCKAxee )( 2112222121111121212221112100 xxcyuBxAxAuBxAuBBxxAAAxxx：將原系統(tǒng) 按照能觀測性分解：CxyBuAxx ,2022-2-

28、232022-2-23編輯ppt4747 21xxx 21eeeKKK令： 11222221122111111111121121212112122211121)()(000 xCKuBxAxCKAxCKuBxCKAxxCKKuBBxxCKKAAAxxxeeeeeeee則： )()()()()(11122122221111111122222112211111111112222121111122112121xxCKAxxAxxCKAxCKuBxAxCKAxCKuBxCKAuBxAxAuBxAxxxxxxxxxxeeeeee得：2022-2-232022-2-23編輯ppt48480)(111111

29、1按指數(shù)規(guī)律使按指數(shù)規(guī)律使的極點都具有負實部，的極點都具有負實部，的配置，可以使的配置，可以使通過通過xxCKAKee 0)()(1010)(111111 xxeLimxxLimtCKAtte)(11111111xxCKAxxe )(1010)(111111xxexxtCKAe 1、能觀測部分：齊次狀態(tài)方程的解：)()(111221222222xxCKAxxAxxe 2、不能觀測部分： dxxeCKAexxedxxCKAexxexxtCKAetAtAettAtAe)()()()()()()(10100)(1221)(20201112210)(202022111122222222 )(tBu非齊

30、次狀態(tài)方程的解Axx 2022-2-232022-2-23編輯ppt4949 dxxeCKAeLimxxeLimxxLimtCKAetAttAtte)()()()(10100)(1221)(20202211112222 0)()(1010)(111111 xxeLimxxLimtCKAtte由由能能觀觀測測部部分分得得00)(2222 tAtteLimxxLim，必須，必須要使要使要求A22的特征值均具有負實部，即不能觀部分是漸近穩(wěn)定的0)(0)(0)(2211 xxLimxxLimxxLimttt，即即且且此時：2022-2-232022-2-23編輯ppt5050前提：設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，

31、 是狀態(tài)觀測器期望的特征值。則目的是確定觀測器增益矩陣，使得A-KeC具有期望的特征值。等同于狀態(tài)反饋系統(tǒng)的設(shè)計。原系統(tǒng)為：CxyBuAxx ,則其對偶系統(tǒng)為：xByuCxAxTTT ,1、針對對偶系統(tǒng)來設(shè)計狀態(tài)反饋陣K： 線性反饋規(guī)律仍然為：Kxvu )()()KC(AI21nTTssss 則希望 取得一組期望的特征值，將特征值選擇為原系統(tǒng)的觀測器的期望特征值。TTACKn ,212022-2-232022-2-23編輯ppt5151 )(AI)C(AI)C(AICKsKsKsTTTTTT 觀察上式可以發(fā)現(xiàn)：0)(CKAsIe 與原系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的特征方程相比：TeKK 則有：其中，K是其對

32、偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣。結(jié)論：原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器增益矩陣Ke的設(shè)計，等同于其對偶系統(tǒng)狀態(tài)反饋中反饋陣K的設(shè)計，兩者互為轉(zhuǎn)置。其中原系統(tǒng)的觀測器特征值等于其對偶系統(tǒng)狀態(tài)反饋的特征值。2022-2-232022-2-23編輯ppt5252由狀態(tài)觀測器存在性定理，可以得到以下定理：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器極點任意配置，即具有任意逼近速度的充要條件是原系統(tǒng)為狀態(tài)完全能觀測。：根據(jù)以上的對偶關(guān)系，要使原系統(tǒng)的觀測器極點能任意配置，則要求其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點能任意配置。所以，其對偶系統(tǒng)狀態(tài)能控。原系統(tǒng)為：CxyBuAxx ,則其對偶系統(tǒng)為：xByuCxAxTTT ,則要求： nCACACrankQra

33、nkTnTTTTc 1)( nrankQCACACrankoTn 1即：原系統(tǒng)狀態(tài)能觀2022-2-232022-2-23編輯ppt5353第二能觀測標準型下，狀態(tài)觀測器的特征多項式： 100,10001000100021210212 onooCPCAPPA 第二能觀測標準型：能觀測標準型下狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣：)()()()()(102111eenennnekakakaCKAIf )(1000)(10)(001)(0001322110enneeeekkkkCKA 2022-2-232022-2-23編輯ppt5454：(3)寫出狀態(tài)觀測器的期望特征多項式： 011121*)(aaafnnnn

34、 （(2)求觀測器的特征多項式：)()(CKAIfe (4)由 確定狀態(tài)觀測器的反饋矩陣：)()(* ff TeneeekkkK21 (1)判斷系統(tǒng)能觀測性。如果狀態(tài)完全能觀測，按下列步驟繼續(xù)。2022-2-232022-2-23編輯ppt5555(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能觀測標準型 的變換陣 。 ),(CBA若給定的狀態(tài)方程已是能觀測標準型，那么 ，無需轉(zhuǎn)換 IPo 12不用求。不用求。和和即可，即可，然后確定然后確定只需求出系統(tǒng)不變量只需求出系統(tǒng)不變量CBPoi12, (1)判斷系統(tǒng)能觀測性。如果狀態(tài)完全能觀測，按下列步驟繼續(xù)。0111)(aaaAIfnnn ：系系統(tǒng)統(tǒng)不不變變量量由由此

35、此式式求求出出12 oP CCACACAPnnnno21121211210001 2022-2-232022-2-23編輯ppt5656(4)直接寫出在第二能觀測標準型下觀測器的反饋矩陣： TnnTeneeeaakkkK11110021 eoeoeKPKPK1122 (5)求未變換前系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的反饋矩陣：(3)指定的狀態(tài)觀測器的特征值，寫出期望的特征多項式： 011121*)(aaafnnnn （下面證明原系統(tǒng)和線性變換后系統(tǒng)間觀測器的狀態(tài)反饋增益矩陣的關(guān)系：2022-2-232022-2-23編輯ppt5757）式（式（ 1)(BvxCKAxe vBxCKAxe )(BPBAPPAxPx

36、oooo122122, ）式（式（2)()()(212122212222BvxCKPABvPxPCPKAPPPvBxCKAPxPxeooooeoooeoo 證明：原系統(tǒng)：第二能觀標準型：其中：式（1）和式（2）比較，得：eoeKPK2 eoeKPK2 2022-2-232022-2-23編輯ppt5858為系統(tǒng)期望的特征多項式系數(shù)，由下式確定： 011121*)(aaafnnnn （其中 是A滿足其自身的特征方程，為：IAAA)A(*0*11*1aaannn )A( *i 推導過程：用前面講述的對偶關(guān)系來推導。轉(zhuǎn)化為對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K的設(shè)計。此方法也非常適合于計算機matlab求解 100

37、0CACACAC)A(K112nne 2022-2-232022-2-23編輯ppt5959：(1)傳遞函數(shù) 無零極點對消，系統(tǒng)能觀測 可以寫為第二能觀測標準型： 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，試設(shè)計狀態(tài)觀測器，使觀測器的極點為10，10。 10,3120 CA)2)(1(2)( sssG)2)(1(2)( sssG 21eeekkK (2)設(shè)觀測器的反饋增益陣為：2022-2-232022-2-23編輯ppt6060(5)由系數(shù)相等，得到觀測器的反饋矩陣為： 1798eK(4)狀態(tài)觀測器期望的特征多項式為：10020)10)(22* （f(3)求觀測器的特征多項式：)2()3()()(122eeekk

38、CKAIf )3(1)2(021eeekkCKA則觀測器的系統(tǒng)矩陣為：2022-2-232022-2-23編輯ppt6161原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)，其A、B陣如下： 10,3210TTCBAA 21kkK設(shè)對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣為將系統(tǒng)的特征值選擇為原系統(tǒng)觀測器的期望特征值。則期望的特征多項式為：10020)10)(22* （f則對偶系統(tǒng)的加入狀態(tài)反饋后的特征多項式為：)2()3()()(122kkKBAIf 由系數(shù)相等，得到對偶系統(tǒng)狀態(tài)反饋矩陣K為： 1798 K所以，原系統(tǒng)觀測器的反饋矩陣為： 1798TeKK2022-2-232022-2-23編輯ppt6262 4717349810000100

39、3120203120I100A20AIAA)A(22*0*12aa （1）確定系統(tǒng)期望的特征多項式系數(shù)：20,10010 所以：（2）確定)A( 10020)10)(22* （f2022-2-232022-2-23編輯ppt6363（3）所以觀測器增益Ke為： 17981031104717349810)A(K11CACe 2022-2-232022-2-23編輯ppt6464例已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 01003210uy xxx設(shè)計狀態(tài)觀測器，使觀測器極點為10和10，并畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。解：先判斷系統(tǒng)的能觀測性。 系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測，觀測器存在，且其極點可以任意配置。 令10

40、rankrankrank201ocQcA12eeekKk2022-2-232022-2-23編輯ppt6565則觀測器的特征多項式為1211221( )()(3)33IACeeeeeekfKkkkk觀測器期望的特征多項式為*2( )(10)(10)20100f由 ff，求得 23169eK231230()16931692eexAK C xK yBuxyu 01230()()031692exAxKyyBuxyyu 觀測器方程為：或：2022-2-232022-2-23編輯ppt6666觀測器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下： 2022-2-232022-2-23編輯ppt67671）觀測器 以原系統(tǒng) 的輸入和輸

41、出作為其輸入。2） 的輸出狀態(tài) 應(yīng)有足夠快的速度逼近x，這就要求 有足夠?qū)挼念l帶，將導致觀測器的作用接近于一個微分器，從而使頻帶加寬，不能容忍地將高頻噪聲分量放大。3） 有較高的抗干擾性，這就要求 有較窄的頻帶，因而快速性和抗干擾性是互相矛盾的，應(yīng)綜合考慮。4） 在結(jié)構(gòu)上應(yīng)盡可能地簡單，即具有盡可能低的維數(shù)。5）觀測器的逼近速度選擇：只需使觀測器的期望極點比由此組成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)的特征值稍大一些即可。一般地，選擇的期望特征值，應(yīng)使狀態(tài)觀測器的響應(yīng)速度至少比所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)快25倍。g 0 g x g g g g 2022-2-232022-2-23編輯ppt6868BuyKxCKABuyyKx

42、Axeee )() (狀態(tài)觀測器 方程： geCBCKA),(CKAe 觀測器的系統(tǒng)矩陣為觀測器的系統(tǒng)矩陣為維；維；，為，為是觀測器中的反饋矩陣是觀測器中的反饋矩陣mnKe ：線性定常系統(tǒng)不能觀測的部分是漸近穩(wěn)定的。狀態(tài)完全能觀測2022-2-232022-2-23編輯ppt6969(3)寫出狀態(tài)觀測器的期望特征多項式： 011121*)(aaafnnnn （(2)求觀測器的特征多項式：)()(CKAIfe (4)由 確定狀態(tài)觀測器的反饋矩陣：)()(* ff TeneeekkkK21 (1)判斷系統(tǒng)能觀測性。如果狀態(tài)完全能觀測，按下列步驟繼續(xù)。(1)判斷系統(tǒng)能觀測性。如果狀態(tài)完全能觀測，按下

43、列步驟繼續(xù)。(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能觀測標準型 的變換陣 。 ),(CBA12 oP2022-2-232022-2-23編輯ppt7070(4)寫出在第二能觀測標準型下，觀測器的反饋矩陣： TnnTeneeeaakkkK11110021 eoeKPK2 (5)求未變換前系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的反饋矩陣：(3)指定的狀態(tài)觀測器的特征值，寫出期望的特征多項式： 011121*)(aaafnnnn （2022-2-232022-2-23編輯ppt7171為系統(tǒng)期望的特征多項式系數(shù)，由下式確定： 011121*)(aaafnnnn （其中 是A滿足其自身的特征方程，為：IAAA)A(*0*11*1aaan

44、nn )A( *i 1000CACACAC)A(K112nne 2022-2-232022-2-23編輯ppt7272第四節(jié)第四節(jié) 帶有觀測器的帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)狀態(tài)反饋系統(tǒng) 帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構(gòu)成 帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的輸入輸出特性2022-2-232022-2-23編輯ppt7373狀態(tài)觀測器的建立，為不能直接量測的狀態(tài)反饋提供了條件：帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由觀測器和狀態(tài)反饋兩個子系統(tǒng)構(gòu)成。用觀測器的估計狀態(tài)實現(xiàn)反饋。 是x重構(gòu)狀態(tài)，階數(shù)小于等于x階數(shù)。系統(tǒng)階數(shù)為 與x階數(shù)和x x B x CAyB xCAy eK xx uK v全維狀態(tài)觀測器加入狀態(tài)反饋2022-2-232022-2-23編輯ppt7474帶有全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)等價結(jié)構(gòu)圖：B x CAyB xCCKAe y eK xx uK v：1、