6示范教案241等比數(shù)列的概念及通項公式

1、2.4等比數(shù)列2.4.1等比數(shù)列的概念及通項公式從容說課本節(jié)內(nèi)容先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出等比數(shù)列的概念，再由教師引導(dǎo)學(xué)生與等差數(shù)列類比探索等比數(shù)列的通項公式，并將等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)進行聯(lián)系，體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，既讓學(xué)生感受到等比數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)列模型，也讓學(xué)生經(jīng)歷了從實際問題抽象出數(shù)列模型的過程.教學(xué)中應(yīng)充分利用信息和多媒體技術(shù)，給學(xué)生以較多的感受，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和思維的主動性.準備豐富的閱讀材料，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的可能，進而達到更好的理解和鞏固課堂所學(xué)知識的目的.教學(xué)重點 1.等比數(shù)列的概念;2.等比數(shù)列的通項公式.教學(xué)難點 1.在具

2、體問題中抽象出數(shù)列的模型和數(shù)列的等比關(guān)系;2.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.教具準備 多媒體課件、投影膠片、投影儀等三維目標一、知識與技能1.了解現(xiàn)實生活中存在著一類特殊的數(shù)列;2.理解等比數(shù)列的概念，探索并掌握等比數(shù)列的通項公式;3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)的知識解決相應(yīng)的實際問題; 4.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.二、過程與方法1.采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結(jié)論的方法進行教學(xué);2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性活動;3.密切聯(lián)系實際，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過生活中的大量實例，鼓勵學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴肅認真

3、的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力;2.通過對有關(guān)實際問題的解決，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實際生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 現(xiàn)實生活中，有許多成倍增長的實例.如，將一張報紙對折、對折、再對折、，對折了三次，手中的報紙的層數(shù)就成了8層，對折了5次就成了32層.你能舉出類似的例子嗎？ 生 一粒種子繁殖出第二代120粒種子，用第二代的120粒種子可以繁殖出第三代120×120粒種子，用第三代的120×120粒種子可以繁殖出第四代120×120×120粒種子，師 非常好的一個例子！現(xiàn)實生活中，我們會遇到許多這類的事例.教師出示多媒體課件一：某種細

4、胞分裂的模型.師 細胞分裂的個數(shù)也是與我們上述提出的問題類似的實例.細胞分裂有什么規(guī)律，將每次分裂后細胞的個數(shù)寫成一個數(shù)列，你能寫出這個數(shù)列嗎？生 通過觀察和畫草圖，發(fā)現(xiàn)細胞分裂的規(guī)律，并記錄每次分裂所得到的細胞數(shù)，從而得到每次細胞分裂所得到的細胞數(shù)組成下面的數(shù)列：1，2，4，8，教師出示投影膠片1：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”師 這是莊子·天下篇中的一個論述，能解釋這個論述的含義嗎？生 思考、討論，用現(xiàn)代語言敘述.師 (用現(xiàn)代語言敘述后)如果把“一尺之棰”看成單位“1”，那么得到的數(shù)列是什么樣的呢？ 生 發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，寫出一個無窮等比數(shù)列：1，教師出示投影膠片2：計算機病毒傳

5、播問題.一種計算機病毒，可以查找計算機中的地址簿，通過郵件進行傳播.如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪，郵件接收者發(fā)送病毒稱為第二輪，依此類推.假設(shè)每一輪每一臺計算機都感染20臺計算機,那么在不重復(fù)的情況下,這種病毒感染的計算機數(shù)構(gòu)成一個什么樣的數(shù)列呢?師 (讀題后)這種病毒每一輪傳播的計算機數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是怎樣的呢？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪”“每一輪感染20臺計算機”中蘊涵的等比關(guān)系.生 發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，寫出一個無窮等比數(shù)列：1，20，202，203，204，教師出示多媒體課件二：銀行存款利息問題.師 介紹“復(fù)利”的背景：“復(fù)利”是我國現(xiàn)行定期儲蓄中的一種支付利息的方式，即把前

6、一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是通常說的“利滾利”.我國現(xiàn)行定期儲蓄中的自動轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)實際上就是按復(fù)利支付利息的.給出計算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n，這里n為存期.生 列出5年內(nèi)各年末的本利和，并說明計算過程.師 生合作討論得出“時間”“年初本金”“年末本利和”三個量之間的對應(yīng)關(guān)系，并寫出：各年末本利和(單位：元)組成了下面數(shù)列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85.師 回憶

7、數(shù)列的等差關(guān)系和等差數(shù)列的定義，觀察上面的數(shù)列，說說它們有什么共同特點？師 引導(dǎo)學(xué)生類比等差關(guān)系和等差數(shù)列的概念，發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系.引入課題：板書課題2.4等比數(shù)列的概念及通項公式推進新課合作探究師 從上面的數(shù)列中我們發(fā)現(xiàn)了它們的共同特點是：具有等比關(guān)系.如果我們將具有這樣特點的數(shù)列稱之為等比數(shù)列，那么你能給等比數(shù)列下一個什么樣的定義呢？生 回憶等差數(shù)列的定義，并進行類比，說出：一般地，如果把一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.教師精講師 同學(xué)們概括得很好，這就是等比數(shù)列(geometric sequence)的定義.有些書籍把等比數(shù)列的英文縮寫記作

8、G.P.(GeometricProgression).我們今后也常用G.P.這個縮寫表示等比數(shù)列.定義中的這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q0). 請同學(xué)們想一想，為什么q0呢？生 獨立思考、合作交流、自主探究.師 假設(shè)q=0，數(shù)列的第二項就應(yīng)該是0，那么作第一項后面的任一項與它的前一項的比時就出現(xiàn)什么了呢？生 分母為0了.師 對了，問題就出在這里了，所以，必須q0.師 那么，等比數(shù)列的首項能不能為0呢？生 等比數(shù)列的首項不能為0.師 是的，等比數(shù)列的首項和公比都不能為0，等比數(shù)列中的任一項都不會是0.合作探究師類比等差中項的概念，請同學(xué)們自己給出

9、等比中項的概念.生 如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a、b的等比中項. 師 想一想，這時a、b的符號有什么特點呢？你能用a、b表示G嗎？生 一起探究,a、b是同號的，G=±，G2=ab.師 觀察學(xué)生所得到的a、b、G的關(guān)系式，并給予肯定.補充練習(xí)：與等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列也具有一定的對稱性，對于等差數(shù)列來說，與數(shù)列中任一項等距離的兩項之和等于該項的2倍，即a n-k+a n+k=2an.對于等比數(shù)列來說，有什么類似的性質(zhì)呢？生 獨立探究，得出：等比數(shù)列有類似的性質(zhì)：a n-k·a n+k=an2.合作探究探究：(1)一個數(shù)列a1,a2,a3,

10、an,(a10)是等差數(shù)列，同時還能不能是等比數(shù)列呢？(2)寫出兩個首項為1的等比數(shù)列的前5項，比較這兩個數(shù)列是否相同？寫出兩個公比為2的等比數(shù)列的前5項，比較這兩個數(shù)列是否相同？(3)任一項an及公比q相同，則這兩個數(shù)列相同嗎？(4)任意兩項am、an相同，這兩個數(shù)列相同嗎？(5)若兩個等比數(shù)列相同，需要什么條件？師 引導(dǎo)學(xué)生探究，并給出(1)的答案，（2)(3)(4)可留給學(xué)生回答.生 探究并分組討論上述問題的解答辦法，并交流(1)的解答.教師精講概括總結(jié)對上述問題的探究，得出：(1)中，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是存在的，每一個非零常數(shù)列都是公差為0，公比為1的既是等差數(shù)列又是等比數(shù)

11、列的數(shù)列.概括學(xué)生對(2)(3)(4)的解答.(2)中，首項為1，而公比不同的等比數(shù)列是不會相同的；公比為2，而首項不同的等比數(shù)列也是不會相同的.(3)中，是指兩個數(shù)列中的任一對應(yīng)項與公比都相同，可得出這兩個數(shù)列相同；(4)中，是指兩個數(shù)列中的任意兩個對應(yīng)項都相同，可以得出這兩個數(shù)列相同；(5)中，結(jié)論是：若兩個數(shù)列相同，需要“首項和公比都相同”.(探究的目的是為了說明首項和公比是決定一個等比數(shù)列的必要條件；為等比數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)做準備)合作探究師 回顧等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程，你能推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項公式嗎？生 推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式.方法引導(dǎo)師 讓學(xué)生與等差數(shù)列的推導(dǎo)過程類比，并引

12、導(dǎo)學(xué)生采用不完全歸納法得出等比數(shù)列的通項公式.具體的，設(shè)等比數(shù)列an首項為a1，公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有：a2=a1q,a3=a2q=a1q2,an=a n-1q=a1q n-1，即an=a1qn-1.師 根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們還可以寫出,進而有an=an-1q=a n-2q2=a n-3q3=a1q n-1.亦得an=a1qn-1.師 觀察一下上式，每一道式子里，項的下標與q的指數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)有什么共同的特征嗎？ 生 把an看成anq0，那么，每一道式子里，項的下標與q的指數(shù)的和都是n.師 非常正確，這里不僅給出了一個由an倒推到an與a1，q的關(guān)系，從而得出通項公式的過程，而且

13、其中還蘊含了等比數(shù)列的基本性質(zhì)，在后面我們研究等比數(shù)列的基本性質(zhì)時將會再提到這組關(guān)系式.師 請同學(xué)們圍繞根據(jù)等比數(shù)列的定義寫出的式子,再思考.如果我們把上面的式子改寫成.那么我們就有了n-1個等式，將這n-1個等式兩邊分別乘到一起(疊乘)，得到的結(jié)果是,于是，得an=a1q n-1.師 這不又是一個推導(dǎo)等比數(shù)列通項公式的方法嗎？師 在上述方法中，前兩種方法采用的是不完全歸納法，嚴格的，還需給出證明.第三種方法沒有涉及不完全歸納法，是一個完美的推導(dǎo)過程，不再需要證明.師 讓學(xué)生說出公式中首項a1和公比q的限制條件.生 a1，q都不能為0.知識拓展師 前面實例中也有“細胞分裂”“計算機病毒傳播”“

14、復(fù)利計算”的練習(xí)和習(xí)題，那里是用什么方法解決問題的呢？教師出示多媒體課件三：前面實例中關(guān)于“細胞分裂”“計算機病毒傳播”“復(fù)利計算”的練習(xí)或習(xí)題.某種儲蓄按復(fù)利計算成本利息，若本金為a元，每期利率為r，設(shè)存期是x,本利和為y元. （1）寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果存入本金1 000元，每期利率為2.25%，試計算5期后的本利和.師 前面實例中關(guān)于“細胞分裂”“計算機病毒傳播”“復(fù)利計算”的問題是用函數(shù)的知識和方法解決問題的.生 比較兩種方法，思考它們的異同.教師精講通過用不同的數(shù)學(xué)知識解決類似的數(shù)學(xué)問題，從中發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)可以聯(lián)系起來. (1)在同一平面直角坐標系中

15、，畫出通項公式為an=2 n-1的數(shù)列的圖象和函數(shù)y=2x-1的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？(2)在同一平面直角坐標系中，畫出通項公式為的數(shù)列的圖象和函數(shù)y=()x-1的圖象，你又發(fā)現(xiàn)了什么？生 借助信息技術(shù)或用描點作圖畫出上述兩組圖象，然后交流、討論、歸納出二者之間的關(guān)系.師 出示多媒體課件四：借助信息技術(shù)作出的上述兩組圖象.觀察它們之間的關(guān)系，得出結(jié)論：等比數(shù)列是特殊的指數(shù)函數(shù)，等比數(shù)列的圖象是一些孤立的點.師 請同學(xué)們從定義、通項公式、與函數(shù)的聯(lián)系3個角度類比等差數(shù)列與等比數(shù)列，并填充下列表格：等差數(shù)列等比數(shù)列定義從第二項起，每一項與它前一項的差都是同一個常數(shù)從第二項起，每一項與它前一項的比都是

16、同一個常數(shù)首項、公差(公比)取值有無限制沒有任何限制首項、公比都不能為0通項公式an=a1+(n-1)dan=a1q n-1相應(yīng)圖象的特點直線y=a1+(x-1)d上孤立的點函數(shù)y=a1qx-1圖象上孤立的點例題剖析【例1】 某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，剩留的這種物質(zhì)是原來的84，這種物質(zhì)的半衰期為多長(精確到1年)？師 從中能抽象出一個數(shù)列的模型，并且該數(shù)列具有等比關(guān)系.【例2】 根據(jù)右圖中的框圖，寫出所打印數(shù)列的前5項，并建立數(shù)列的遞推公式，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？師 將打印出來的數(shù)依次記為a1(即A)，a2，a3，.可知a1=1;a2=a1×a3=a2×.于是，可得遞推公式.由于，因此，這個數(shù)列是等比數(shù)列.生