3周九年級(jí)培優(yōu)與相似三角形有關(guān)的定理與習(xí)題

1、第3周 與相似三角形有關(guān)的定理一、射影定理（歐幾里德(Euclid)定理）俗稱母子三角形：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。 公式：RtABC中，BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下： (1) = BD·DC，(2) = BD·BC， (3) =CD·CB。 等積式 (4) AB·AC = BC·AD (可用面積來(lái)證明)1.ABC和DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，A=D=90°，DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上 (1) 如圖1，設(shè)D

2、E與AB交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，求證：BEMCNE； (2) 如圖2，將DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，于是，除(1)中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論2如圖，已知AB是O的弦，OB=4，OBC=30°，點(diǎn)C是弦AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，連接CO并延長(zhǎng)CO交O于點(diǎn)D，連接AD、DB (1) 當(dāng)ADC = 18°時(shí)，求DOB的度數(shù)； (2) 若 AC = 2，求證：ACDOCB 3.如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60&

3、#176;得到BN，連接EN、AM、CM.EA DB CNM 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說(shuō)明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).4.如圖，ABC中，AC=BC，以BC上一點(diǎn)O為圓心、OB為半徑作O交AB于點(diǎn)D已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的O切線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C (1) 試判斷CD與AC的位置關(guān)系，并證明； (2) 若ACBCDB，且AC = 3，求圓心O到直線AB的距離 5.如圖，已知ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD與CE相交于F求 + 的值 6.如圖，ABC內(nèi)接于O，且ABC=C，點(diǎn)D在弧BC上運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)D

4、作DEBC，DE交直線AB于點(diǎn)E，連接BD (1) 求證：ADB = E； (2) 求證：AD2 = ACAE； (3) 當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，DBEADE請(qǐng)你利用圖進(jìn)行探索和證明 7.如圖，已知AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AC = PC，COB = 2PCB (1) 求證：PC是O的切線； (2) 求證：BC = AB； (3) 點(diǎn)M是的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB = 4，求MNMC的值 8.如圖，RtACD中，ACD=90°以AC邊為直徑作O，交AD于E過(guò)E作O的切線EB，交CD于B連接EC、AB，交于F點(diǎn) (1) 求證：；(2) 若 ，

5、求tanABC的值 二、三角形內(nèi)角平分線定理：已知，如圖，AM為ABC的內(nèi)角平分線，求證:  三、三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)外角平分線內(nèi)、外分對(duì)邊與其延長(zhǎng)線所得的兩條線段與夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。已知，如圖在三角形ABC中，AD，AE分別是它的內(nèi)外角平分線，求證：= 咨詢 與三角形中線有關(guān)的性質(zhì)：1.等邊三角形頂角平分線,底邊上的高,底邊上的中線,互相重合；2.三角形中線能將三角形分成面積相等的兩部分； 3.三角形的三條中線必交于一點(diǎn),該交點(diǎn)為三角形重心； 4.重心定理：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍；（ 需證明） 5

6、.三角形三條中線能將三角形分成面積相等的六部分； 6.解決三角形中線問(wèn)題,常作的輔助線是倍長(zhǎng)中線,塑造全等三角形,或平行四邊形； 7.遇到三角形兩條中線同時(shí)出現(xiàn)時(shí),常需考慮三角形中位線：三角形中位線平行且等于第三邊一半； 8.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；9.如果三角形一邊中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形； 一、三角形重心定理 三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。（重心原是一個(gè)物理概念，對(duì)于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名） 重心的性質(zhì)： 1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中

7、點(diǎn)的距離之比為21。 2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。 3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。 4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為（ (X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。二、三角形外心定理 三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。 外心的性質(zhì)： 1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形外心。 2、若O是ABC的外心，則BOC=2A（A為銳角或直角）或BOC=360°-2A（A為鈍角）。 3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)

8、，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。 4、外心到三頂點(diǎn)的距離相等三、三角形垂心定理 三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。 垂心的性質(zhì)： 1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OGGH=12。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line） 3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍。 4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。 定理證明 已知：ABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點(diǎn)O，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F ，求證：CFAB 證明： 連

9、接DE ADB=AEB=90度 A、B、D、E四點(diǎn)共圓 ADE=ABE EAO=DAC AEO=ADC AEOADC AE/AO=AD/AC EADOAC ACF=ADE=ABE 又ABE+BAC=90度 ACF+BAC=90度 CFAB 因此，垂心定理成立！四、三角形內(nèi)心定理 三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。 內(nèi)心的性質(zhì)： 1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。 2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。 3、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，延長(zhǎng)AO交BC邊于點(diǎn)N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理 三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。 旁心的性質(zhì)： 1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，