矩陣特征值與特征向量的計算方法

1、1第六章第六章 矩陣特征值與矩陣特征值與特征向量的計算方法特征向量的計算方法 2引言nnijaAR)(aaa 110)(naaaa 11na)(njnijea21)(), 2 , 1(nj3Th1；，其中的特征值，且為設(shè)0 xxAxA(1)次多項式；為任一設(shè)mxrxrrxPmm10)(2)則：定義矩陣 mmArArIrAP10)(；的特征值，即為xPxAPAPP)()()()( 1)的特征向量。為且)()(APxP 2)Th2，則為相似矩陣，即與設(shè)APPBBA1有相同的特征值；與BA 1)(的特征向量。是的特征向量，則是若APyBy 2)(4Th3(Gerschgorin圓盤定理)某個圓盤；下

2、述的每一個特征值必屬于則設(shè)AaAnnij,)(1), 2 , 1(|njaraijijiii 的一個特征值。中精確地包含則，即為孤立圓盤個圓盤是分離的且與其他是由一個圓盤組成的特征值。特別，當個內(nèi)恰包含，則即不相交個圓盤是分離的且與余下的連通的圓盤組成并集的若ASnSAmSmnSmA)(1)()(2)5411101014 A例：設(shè)1|4|1zD：2|2zD：2|4|3zD：孤立圓盤531), 1 , 1 (910diagDADDA11|4|1 zD：9192|zD：8 . 1|4|3zD：三個孤立圓盤6Th4(Schur定理)使，則存在酉陣設(shè)UAnnRRrrrrrrAUUnnnnH 22211

3、211(上三角陣)的特征值。為其中Aniriii), 2 , 1(7Th5 (實Schur分解)使，則存在正交矩陣設(shè)QAnnRnnnnTRRRRRRAQQ 22211211的一對共軛復特征值。塊的兩個特征值是對角的實特征值，每個二階是且每個一階為一階或二階方陣，其中對角塊AARmiRiiii), 2 , 1(8Def，稱為對稱矩陣，設(shè)0 xAnnR),(),()(xxxAxxR商。的瑞利為對應向量)(Rayleighx9Th6為為對稱矩陣，其特征值設(shè)nnAR組成規(guī)范化正交組，則其對應的特征向量nnxxx,2121 )0,(),(),(1xxxxxAxnnR (1)(max01xRxxnR (2

4、)(min0 xRxxnnR (3)10冪法及反冪法冪法，nnijaAR)(有一組完全的特征向量組，), 2 , 1(nixAxiii 線性無關(guān),21nxxx |21n主特征值11冪法的其本思想nvR 0任取初始向量01Avv 0212vAAvv011vAAvvkkk的關(guān)系：與、現(xiàn)分析11kvx 12Th7；個線性無關(guān)的特征向量有設(shè)naAnnijR(1)(|21nA (2)的特征值滿足設(shè)), 2 , 1()0(0110kAvvvkk (3)且冪法：則：；111limxvkkk (1)11)()(limikikkvv (2)13|121nrr若A的主特征值為實的重根，個線性無關(guān)的特征向量有設(shè)nx

5、xxnA,21 ), 2 , 1(1rixAxii 且), 1(nrixAxiii 0v 任取初始向量),(11不全為零且rniiix由冪法有0vAvkk)(1111nriikiiriiikxxkriiikkkxv11lim 14非零向量的規(guī)范化v )max(vv u 絕對值最大的分量表示向量vv )max(迭代序列規(guī)范化序列000 vu01Auv )max(111vvu 1kkAuv)max(kkkvvu 15改進的冪法)0(0100vu設(shè)1kkAuv)max(kkvkkkvu/迭代：規(guī)范化：, 2 , 1k16迭代序列規(guī)范化序列01Auv )max(001AvAvu )max(0022Av

6、vAv )max(02022vAvAu )max(010vAvAvkkk)max(00vAvAukkk（*）17niiixv10niikiikxvA10)(111kkx(*)(0)(21kxniikiik )max(00vAvAukkk)(max()(111111kkkkxx)max(1111kkxx)max(11xx18)max(010vAvAvkkk)(max()(11111111kkkkxx)max(111111kkxx)max(kkv)max()max(111111kkxx)(1k 有下列結(jié)論：19Th8；個線性無關(guān)的特征向量有設(shè)naAnnijR(1)(|21nA (2)的特征值滿足：

7、設(shè)：由改進冪法得到，則有,kkvu(3)max(lim11xxukk (1)1)max(limlimkkkkv (2)(改進冪法), 2 , 1(nixAxiii 且確定。且收斂速度由|12r20加速方法原點平移法pIAB 引進矩陣nA，：21pppBn，：21特征向量相同), 3 , 2(|1nippi (1)|max1212 (2)ppjnj|/|12r改進21，其特征值是實數(shù)，nnijaAR)(？如何選擇 pn21設(shè)pppIABn或的主特征值為則111x、為計算|1pppn滿足要求且min|,|max112ppppn即求極值問題|,|maxmin112ppppnp22*np22，其特征值

8、是實數(shù)，nnijaAR)(nn121 若pppIABn或的主特征值為則1nnx、為計算|1pppn滿足要求且min|,|max11ppppnnn211*np23Rayleigh商加速為對稱矩陣nnijaAR)(Th9足為對稱矩陣，特征值滿設(shè)nnAR(1)；|21n ；對應的特征向量滿足ijjixx),(2)；應用改進的冪法計算1(3)近似較好的給出商的則規(guī)范化向量序列1)(kkuRuRayleigh)(),(),()(2112kkkkkkouuuAuuR24反冪法(逆迭代)為非奇異矩陣，且nnAR；|21n ，對應的特征向量，nxxx,21 的特征值為1A；|1|1|121n ，對應的特征向量

9、，nxxx,21 求矩陣按模最小的特征值及對應的特征向量應用冪法即可！對1A25反冪法的迭代公式)0(000nvu設(shè)11kkuAv)max(kkvkkkvu/迭代：規(guī)范：, 2 , 1k1kkuAv綜合得到：26Th8；個線性無關(guān)的特征向量有設(shè)naAnnijR(1)(0|11nnA (2)的特征值滿足：設(shè)滿足：量序列有上述反冪法得到的向,kkvu(3)max(limnnkkxxu (1)nkk1lim (2)(反冪法), 2 , 1(nixAxiii 且確定。且收斂速度由|1nnr27反冪法的應用 求近似特征值的特征向量應用冪法：對1)( pIA11)(kkupIAv)max(kkvkkkvu

10、/28Th10，個線性無關(guān)的特征向量有設(shè)naAnnijR(1)(且，設(shè)的一個近似取1)()(pIApjj (2)滿足：序列則由反冪法得到的向量,kkvu)max(limjjkkxxu (1)pjkk1lim (2), 2 , 1(nixAxiii 即確定。且收斂速度由|min|pprijij)(|jippij jkp12911)(kkupIAv1)(kkuvpIA30計算對稱矩陣特征值的Jacobi方法引言Th10，使得正交矩陣對稱矩陣，則存在一個設(shè)PaAnnijR )(),(21nTAPPdiag的特征值；為且Anii), 2 , 1(1)的特征向量。對應為列向量jjnAvvvvP),(21

11、2)對稱矩陣31Jacobi方法的基本思想,21PP變換選擇一系列GivesAA 1TkkkkPAPA1, 2 , 1k收斂于對角陣kA),(21ndiag22211211aaaaA csscP sincossc 3222211211ccccPAPT 02112 cc2sin2122221111asacac 2sin2122221122acasac 2cos2sin)(211122212112aaacc 02112 cc 12221122cotaaa 33古典Jacobi方法11),( c s s c jiPij1cossinsincos1),( jiPsincoss c34TPAPCAjjj

12、iijiicccc cssc jjjiijiiaaaa cssc ),()()(jliljiC元素行列，第行列第csscaaccljliljli ),(),(), 2 , 1(jlilnl；jliljlilcccssccc ), 2 , 1(jlilnl；35Th12為對稱矩陣；設(shè)nnijaAR(1)(變換；則為平面旋轉(zhuǎn)，其中設(shè)),(jiPPPAPCT(2)22|FFAC|(1)；即)1,1,22nslnsllslsca(22222222ijjjiiijjjiiaaaccc(2)36Th13)(的元素計算公式TPAPC 為對稱矩陣；設(shè)nnijaAR(1)(，則變換，為平面旋轉(zhuǎn)，其中設(shè))(),(

13、ijTTaPAPCjiPPPAPC(2)2cos2sin)(2sin2sin212222ijiijjjiijijjjiijjijjjiiiiaaaccacasacasacac (1)jliljljlililcasacsacacjiC，行元素行，第第(2), 2 , 1(jlilnl；37ljlijlljlilicasacsacacjiC，列元素列，第第(3), 2 , 1(jlilnl；2cos2sin)(2121aaacciijjjiij0 0ijijjjiiaaaa，22cot38Th14為對稱矩陣；設(shè)nnijaAR(1)(；設(shè))(0jiaij(2)；),(2222jlilaaccjlil

14、jlil (2)0jiijcc；nslnsllslsca1,1,22(1)則；222222ijjjiijjiiaaacc(3)nlllijaADaADCD122)(2)，(4)sllsijaASaASCS22)(2)，(5)39古典Jacobi方法：為對稱矩陣設(shè))()1(1lsaAA, 0|max|11lssljiaa設(shè))(),()2(111211111lsTaPAPAjiPP，, 0)2()2(1111ijjiaaAA 1TPAPA1112TkkkkTkkkkPPPAPPPPAPA)()(11111), 2 , 1(kAk 40Th15階對稱矩陣；為設(shè)naAAij)(1(1)，則方法產(chǎn)生古典

15、Jacobi(2)kATkkkkPAPA1DAkklim(對角矩陣)Jacobi方法的特點Jacobi過關(guān)方法41Def對A非對角元素掃描一次為：for i=1,2,n-1 for j=i+1,n (3) goto | (1),|ijaif0,),(jiijTccPAPCjiPP (2)使，作選取j continue (3)i continue ?；蜿P(guān)口為某一閥值其中)( 42Jacobi過關(guān)方法：階對稱矩陣為設(shè)naAij)(2121)()2(11120ASanlnlsls；設(shè)置閥值n/01 (1)()(1mlsmaAA)(|1)(slamls ；縮小閥值n/12 (2)(|2)(slarls

16、 t,21系列關(guān)口重復上述過程，經(jīng)過一 (3)0)(nt43)()(tlstaA )()(0slnt對所有 |)(tlsa2022222)() 1()()(ttsltlstnnnaAS2)()(ASASt44Householder方法Def, 0, 1,)(ijnnijbjibB如果設(shè)R(1)即矩陣為上則稱,HessenbergBnnnnnnbbbbbbbbB 12222111211矩陣?？杉s上為不，則稱如果Hessenberg (2)Bnibii) 1, 2 , 1(0, 145本節(jié)討論下列兩個問題：矩陣；矩陣為上約化一般用用正交相似變換HessenbergrHouseholde1)()(矩

17、陣為三對角矩陣。約化對稱用用正交相似變換)()(rHouseholde246AA 1kkkkUAUA1), 2 , 1(k 初等反射矩陣47設(shè)(1)nnnnnnaaaaaaaaaA 212222111211(1)1(1)(1) 221211ACAA1A，11nCR01C不妨設(shè)TuuIR11111 選擇初等反射陣1111eCR 使1 RU114812211112111112RARCRRAaUAUA(1)1(1) )2()2(3)2(2)2(3)2(33)2(32)2(2)2(221)2(1)2(121100nnnnnnnaaaaaaaaaaa (2)2(2)(2) 2212110ACAA，22n

18、CR49AA 11112UAUA 111kkkkUAUA步：第k(2)(k)k(k)(k) 2212110ACAAAkkn-kn-kk矩陣，階上為其中Hessenberg (k)kA11)()()(22knknkknkACRR，500kC設(shè),kR 選擇初等反射陣1eCRkkk 使kkkRIU 令n-kkkkkkkkkkkkkkRARCRRAAUAUA)()()( 2212111)()()( 12211121110kkkkACAA矩陣階上為其中Hessenberg )(1111kAk51221122nnUUAUUUU )1(12)2(222)1(11nnnn-n-aaa 1nA52Th16)(陣

19、約化陣為上HessenbergrHouseholde221,nnnUUUA，則存在初等反射陣設(shè)RHAUUUUAUUUUTnn00221122使需計算：kkkkkUAUAA1TkkkkuuIR1初等反射陣： (1)TkkkCR)0 , 0 ,( 使約化計算 (2)kkkRIU AUAUkkk53Th17等反射陣為對稱矩陣，則存在初設(shè)nnAR221122nnUUAUUUUTaaannnn-n- )1(112)2(2211)1(11 ，則正交矩陣令)(2210nUUUU使221,nUUUTAUUT00(對稱三對角矩陣)54QR 算法引言QR算法及收斂性nnijaAAR)(1設(shè)分解：進行對QRAA 1

20、QRA 正交矩陣上三角矩陣在一定條件下，kA本質(zhì)上收斂于上三角陣！55Th18 (基本QR方法)，設(shè)nnijaAAR)(1), 2 , 1(1kQRARQAQRkkkkkk 算法：為上三角陣，且記為正交陣，其中kkRQ1221RRRRQQQQkkkk，則：；，即相似于kkTkkkkQAQAAA11)(1；kTkkTkkQAQQQQAQQQA)()()(12112112kkkkRQAQRA)(分解式為：的356引理)()(kIRIQkIMRQRQMkkkkkkkk，則：元素的上三角陣，如果為具有正對角為正交陣，其中設(shè) 57Th19 (QR方法的收斂性)，設(shè)nnijaAAR)(1；的特征值滿足0|)(21nA1，使奇異矩陣具有標準型，即存在非XA)(2),(211nDXDXAdiag，其中算法產(chǎn)生，則由有三角分解且記QRLU