高中數(shù)學(xué)-橢圓-知識(shí)題型總結(jié)

1、 陳氏優(yōu)學(xué)教學(xué)課題 橢圓 知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)()，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形.講練結(jié)合一.橢圓的定義1若的兩個(gè)頂點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，則頂點(diǎn)的軌跡方程是 知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)

2、，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，。講練結(jié)合二利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù)1橢圓的焦距為，則= 。2橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么 。知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓的的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱(chēng)性對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時(shí)換成x、y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心稱(chēng)為橢圓的中心。（2）范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足|x|a，|y|b。（3）頂點(diǎn)橢圓的對(duì)稱(chēng)軸與橢圓的交點(diǎn)稱(chēng)為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓（ab0）與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1

3、（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。（4）離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作。因?yàn)閍c0，所以e的取值范圍是0e1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1），；（2），；（3）,，；知識(shí)點(diǎn)四：橢圓與（ab0）的

4、區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)，軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，（ab0）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。題型一 橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式的應(yīng)用定理 y F1 O F2 xPP在橢圓（0）中，焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則.證明：記，由橢圓的第一定義得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面積公式得：.典題妙解例1 若P是橢圓上的一點(diǎn)，、是其焦點(diǎn)，且，求的面積.解法一：在橢圓中，而記點(diǎn)P在橢圓上，由橢圓的第一定義得：在中，

5、由余弦定理得：配方，得：從而解法二：在橢圓中，而解法一復(fù)雜繁冗，運(yùn)算量大，解法二簡(jiǎn)捷明了，兩個(gè)解法的優(yōu)劣立現(xiàn)！例2 已知P是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）A. B. C. D. 解：設(shè)，則，故選答案A.練習(xí)6已知橢圓的中心在原點(diǎn)，、為左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且， 的面積是，準(zhǔn)線方程為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.參考答案6解：設(shè)，.，.又，即.或.當(dāng)時(shí)，這時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)時(shí)，這時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；但是，此時(shí)點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí)，為最大，不合題意.故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 題型二 中點(diǎn)弦問(wèn)題 點(diǎn)差法中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中

6、，以為中點(diǎn)的弦所在直線方程？例3. 弦所在的直線方程。 分析：本例的實(shí)質(zhì)是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進(jìn)一步的研究。 解：法一 法二 點(diǎn)差法1.過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=x過(guò)線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，試求直線l與橢圓C的方程.命題意圖：本題利用對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計(jì)新穎，基礎(chǔ)性強(qiáng)，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問(wèn)題，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.錯(cuò)解分析：不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤.恰當(dāng)?shù)乩?/p>

7、用好對(duì)稱(chēng)問(wèn)題是解決好本題的關(guān)鍵.技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問(wèn)題，解法一，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達(dá)定理.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)AB中點(diǎn)為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設(shè)l的方程為y=x+1.右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)設(shè)為(x,y),由點(diǎn)(1,1b)在

8、橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直線l：y=x過(guò)AB的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一. 題型三 弦長(zhǎng)

9、公式與焦半徑公式1、 一般弦長(zhǎng)公式 弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，（若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則），若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。2、焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。 1. 第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。 注意： e的幾何意義：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比。2. 焦半徑及焦半徑公式： 橢圓上一個(gè)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離叫做橢圓上這個(gè)點(diǎn)的焦半徑。 已知點(diǎn)P在橢圓上，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的取值范圍 6

10、. 解：設(shè)P，橢圓的準(zhǔn)線方程為，不妨設(shè)F1、F2分別為下焦點(diǎn)、上焦點(diǎn) 則 ， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng) 因此，的取值范圍是 例2. 時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_。（2000年全國(guó)高考題） 分析：可先求F1PF290°時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 解：法一 法二 題型四 參數(shù)方程3. 橢圓參數(shù)方程 問(wèn)題：如圖以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ANOx，垂足為N，過(guò)點(diǎn)B作BNAN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。 解：參數(shù)。 說(shuō)明：<1> 對(duì)上述方程（1）消參即 <2>由以上消參過(guò)程可知將橢圓

11、的普通方程進(jìn)行三角變形即得參數(shù)方程。 直線與橢圓位置關(guān)系： 求橢圓上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到直線距離的最大值和最小值，（法一，參數(shù)方程法；法二，數(shù)形結(jié)合，求平行線間距離，作l'l且l'與橢圓相切）例4. 的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？ 解：法一 法二 1橢圓的焦點(diǎn)為、，是橢圓過(guò)焦點(diǎn)的弦，則的周長(zhǎng)是 。2設(shè)，為橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓上的任一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是多少？的面積的最大值是多少？3設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，若是直角，則的面積為 。變式：已知橢圓，焦點(diǎn)為、，是橢圓上一點(diǎn)若，求的面積五離心率的有關(guān)問(wèn)題1.橢圓的離心率為，則 2.從橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的視角為，則此橢圓

12、的離心率為 3橢圓的一焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率為 4.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率。5.在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率 講練結(jié)合六.最值問(wèn)題1.橢圓兩焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi)2、橢圓兩焦點(diǎn)為F1、F2，A(3，1)點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|+|PA|的最大值為_(kāi)，最小值為 _3、已知橢圓，A(1，0)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，求|PA|的最大值 最小值 。4.設(shè)F是橢圓=1的右焦點(diǎn),定點(diǎn)A(2,3)在橢圓內(nèi)

13、,在橢圓上求一點(diǎn)P使|PA|+2|PF|最小,求P點(diǎn)坐標(biāo) 最小值 .知識(shí)點(diǎn)四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)，軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，（ab0）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，兩條對(duì)稱(chēng)軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件a、b，一個(gè)定位條

14、件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型。2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：ab0，ac0，且a2=b2+c2。可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。4方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示橢圓的條件方程

15、Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B、C同號(hào)，且AB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓（ab0）共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為（kb2）。此類(lèi)問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的依據(jù)： 若把曲線方程中的x換成x，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；若把

16、曲線方程中的y換成y，方程不變，則曲線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；若把曲線方程中的x、y同時(shí)換成x、y，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。8如何解決與焦點(diǎn)三角形PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題？ 與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、，有關(guān)角()結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系. 9如何研究橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？ 長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因?yàn)閏2=a2b2，ac0，用a、b表示為，當(dāng)越小時(shí)，橢圓越扁，e越大；當(dāng)越大，橢圓趨近圓，e越小，并且0e1。課后作業(yè)1已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(

17、8，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點(diǎn)P的軌跡為( )A 圓 B 橢圓 C線段 D 直線 2、橢圓左右焦點(diǎn)為F1、F2，CD為過(guò)F1的弦，則CDF1的周長(zhǎng)為_(kāi) 3已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是( ) A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-14、求滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6 (2)長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且過(guò)點(diǎn)(2，1) (3) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，1)，(3，2) 5、若ABC頂點(diǎn)B、C坐標(biāo)分別為(-4，0)，(4，0)，AC、AB邊上的中線長(zhǎng)之和為30，則ABC的重心G的軌跡方程為_(kāi)6.橢圓的左右焦點(diǎn)分

18、別是F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于P點(diǎn)。若F1PF2=60°，則橢圓的離心率為_(kāi)7、已知正方形ABCD，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的的離心率為_(kāi)橢圓方程為 _.8已知橢圓的方程為，P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)且,求的面積 9.若橢圓的短軸為AB，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，則滿足ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率為 10.橢圓上的點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是12，那么點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是 11已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，且，弦AB過(guò)點(diǎn)，則的周長(zhǎng) 12.在橢圓+=1上求一點(diǎn)P,使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)的距離的兩倍 13、中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸是短軸的兩倍,一條準(zhǔn)線方程為,那么這個(gè)橢圓的方程為 。14、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三等分它的兩準(zhǔn)線間的距離,則橢圓的離心率=_.15、橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,準(zhǔn)線方程為,橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離