第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)-難題解答

1、第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1習(xí)題2設(shè)是任意n個(gè)復(fù)數(shù)，證明：，并給出不等式中等號(hào)成立的條件.（提示：可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.等號(hào)成立的條件是線性相關(guān)）.3證明：證明：設(shè)，則，.由題2知， 故，即有4若，證明：.證明：不妨設(shè)則即有成立.5設(shè)|1，證明：若|z|=1，則.證明：由得故即證之.6設(shè)|1，|z|1.證明：.證明：提示：（ 而）7設(shè)，是任意2n個(gè)復(fù)數(shù)，證明復(fù)數(shù)形式的Lagrange等式：并由此推出Cauchy不等式：.證明：提示（記， ，則原式=.(1) 另外，.（2） 由（1）=（2）可得證.§1.2習(xí)題1 把復(fù)數(shù)寫成三角形式.解：.2 問取何值時(shí)有.解：提示（）3

2、證明： 證明：由于，則即可得，. 4 證明：和同向相似的充分必要條件為=0.證明：提示（和同向相似，使得線性相關(guān)）5 設(shè)，證明：z位于以和為端點(diǎn)的開線段上，當(dāng)且僅當(dāng)存在，使得；證明：z位于以和 為端點(diǎn)的開線段上.6 圖1.5是三個(gè)邊長為1的正方形，證明：. E A B COD解：以O(shè)為原點(diǎn)，OD為X軸，OE為Y軸，建立坐標(biāo)系.設(shè) 則，從而.因?yàn)閕是單位向量，它的輻角為，即.10證明：并說明等式的幾何意義.證明： 幾何意義是：平行四邊形兩對(duì)角線長的平方和等于它的各邊長的平方和.11設(shè)是單位圓周（以原點(diǎn)為中心、半徑為1的圓周）上的n個(gè)點(diǎn)，如果是正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)，證明：=0.證明：記，設(shè)該正n邊形

3、的一個(gè)圓心角為，.由復(fù)數(shù)乘法幾何意義及正n邊形對(duì)稱性，即證之.13.設(shè)，是單位圓周上的四個(gè)點(diǎn)，證明：這四個(gè)點(diǎn)是一矩形頂點(diǎn)的充要條件為.證明：提示（先為菱形，連線為直徑對(duì)點(diǎn)則是矩形）14.設(shè)L是由方程所確定的點(diǎn)的軌跡，其中，d是實(shí)數(shù)，是復(fù)數(shù).證明：（i）當(dāng)=0，0時(shí)，L是一直線；（ii）當(dāng)0，時(shí)，L是一圓周.并求出該圓周的圓心和半徑.證明：（i）令，則，故原方程為，即，即與垂直，從而軌跡是一條通過點(diǎn)，與垂直的直線.（ii）記，則，原式即證之.§1.3習(xí)題1. 證明：在復(fù)數(shù)的球面表示下，z和的球面像關(guān)于復(fù)平面對(duì)稱.證明：設(shè)其球面對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為.而球面像對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為,從而有，故和的球面像關(guān)于

4、復(fù)平面對(duì)稱.2. 證明：在復(fù)數(shù)的球面表示下，和的球面像是直徑對(duì)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)z=-1.證明：設(shè)，由得，由于對(duì)應(yīng)的球面像為，對(duì)應(yīng)的球面像為，計(jì)算可得：，故z和的球面像是直徑對(duì)點(diǎn).由球面表示的幾何意義知，位于通過豎坐標(biāo)軸的平面與xoy平面交點(diǎn)上，從而必與原點(diǎn)共線，則，由，易知.3. 證明：在復(fù)數(shù)的球面表示下, 中的點(diǎn)z和的球面像間的距離為.證明：設(shè)和的球面像的坐標(biāo)為和，則，故4. 證明：在復(fù)數(shù)的球面表示下，若是二階酉方陣，則的變換w= 誘導(dǎo)了球面繞球心的一個(gè)旋轉(zhuǎn).證明：先證，一定有.而，由是二階酉方陣知，類似的有故原式=，故成立，從而誘導(dǎo)變換是一個(gè)等距.又等距變換的行列式是的連續(xù)函數(shù)且只取兩個(gè)值，而二

5、階酉方陣全體是連通的，從而行列式為常數(shù).取=，此時(shí)誘導(dǎo)變換是恒等變換，行列式為1，故此常數(shù)為1，從而此等距變換為旋轉(zhuǎn).§1.4習(xí)題1. 設(shè)，.證明：復(fù)數(shù)列收斂到的充要條件是和.證明：因?yàn)?，由不等?即得充分性由不等式 及 并注意，可得必要性.2. 設(shè),證明：.（提示：分開證明實(shí)部與虛部收斂即可.）§1.5習(xí)題2 設(shè)E是非空點(diǎn)集，.證明：成立，而不成立.證明：有 ，取下確界得，即（1）同樣可得（2）因此由（1）（2）可得結(jié)論成立. 反例：令.則=1，=0，=0 3. 指出下列點(diǎn)集的內(nèi)部、邊界、閉包和導(dǎo)集：(i) =k: k為自然數(shù)；解：內(nèi)部：空集；邊界：；閉包：=k: k為自

6、然數(shù)；導(dǎo)集：空集.(ii) E=: k為自然數(shù)：解：內(nèi)部：空集；邊界：E；閉包：= E；導(dǎo)集：0.(iii) D=B(1,1) ;解：內(nèi)部：D=B(1,1) ; 邊界：或；閉包：或；導(dǎo)集：或；(iv) G=z : ;解：內(nèi)部：；邊界：；或閉包：；導(dǎo)集：；(v) .解：內(nèi)部：；邊界：空集；閉包：；導(dǎo)集：.4.指出下列點(diǎn)集中哪些是開集，哪些是閉集，哪些是緊集：(i) Z=k: k為自然數(shù)；解：閉集，非開集，非緊集；(ii) E為有限集；解：緊集；(iii) D=， ；解：開集；(iv) G=B(0,1) ;解：非開，非閉，非緊；(v) B;解：緊集.8. 設(shè)D是開集，（i）(ii) 并且.證明：（1）由定理1.5.6可得（2）成立即，即 §1.6習(xí)題1.滿足下列條件的點(diǎn)z所組成的點(diǎn)集是什么？如果是域，說明它是單連通域還是多連通域？（i） 實(shí)部是1的直線， 不是域 (ii) ;虛部小于-5的開平面， 單連通域(iii) 橢圓曲線 不是域(iv) 閉圓盤 單連通域(v) 半射線 不是域(vi) 開弓形 單連通域(vii) 圓盤外無界閉區(qū)域 (viii) 左半平面（不含虛軸）與以（-1，0）為圓心，為半徑的閉圓盤外部之交 多連通域§1.7習(xí)題3.證明緊集的連續(xù)像為緊集.證明：任取的開覆蓋，則是E的一個(gè)開覆蓋，因?yàn)镋為緊集，存在有