線(xiàn)性代數(shù)胡覺(jué)亮版(題目+答案)

1、習(xí) 題 解 答習(xí) 題 一（A）1用消元法解下列線(xiàn)性方程組：（1）解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)（2）解 由原方程組得同解方程組所以方程組無(wú)解（3）解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為（4）解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為2用初等行變換將下列矩陣化成行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣：（1）解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡(jiǎn)形：（2）解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡(jiǎn)形：（3）解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡(jiǎn)形：（4）解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡(jiǎn)形：3用初等行變換解下列線(xiàn)性方程組：（1）解 ，得方程組的解為（2）解 ，得方程組無(wú)解

2、（3）解 ，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)（4）解 ，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)（B）1當(dāng)為何值時(shí)，線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解，并求解解 當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，且解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)0.5BAC0.20.70.70.20.30.30.13（聯(lián)合收入問(wèn)題）已知三家公司A、B、C具有如下圖所示的股份關(guān)系，即A公司掌握C公司50%的股份，C公司掌握A公司30%的股份，而A公司70%的股份不受另外兩家公司控制等等 3 現(xiàn)設(shè)A、B和C公司各自的營(yíng)業(yè)凈收入分別是12萬(wàn)元、10萬(wàn)元、8萬(wàn)元，每家公司的聯(lián)合收入是其凈收入加上其它公司的股份按比例的提成

3、收入試確定各公司的聯(lián)合收入及實(shí)際收入解 A公司的聯(lián)合收入為309390.86元，實(shí)際收入為216573.60元； B公司的聯(lián)合收入為137309.64元，實(shí)際收入為27461.93元；C公司的聯(lián)合收入為186548.22元，實(shí)際收入為55964.47元.習(xí) 題 二（A）1利用對(duì)角線(xiàn)法則計(jì)算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式（5）解 原式2按定義計(jì)算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式3利用行列式的性質(zhì)，計(jì)算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式 （5），其中解 原式4利用行列式展開(kāi)定理，計(jì)算下列行列式：（1）解 原式（2）解

4、原式（3）解 原式 （4）解 將行列式按第一行展開(kāi)，得，則，所以5利用行列式展開(kāi)定理證明：當(dāng)時(shí)，有證 將行列式按第一行展開(kāi)，得，則，所以 （1）由關(guān)于與對(duì)稱(chēng)，得 （2）由（1）與（2）解得 (類(lèi)比于高中學(xué)過(guò)的由數(shù)列an與an-1的關(guān)系推導(dǎo)通項(xiàng)公式）6利用范德蒙德行列式計(jì)算行列式解 原式7設(shè)，試求和解 ； 8利用克拉默法則解下列線(xiàn)性方程組：（1）解 經(jīng)計(jì)算，得，所以方程組的解為（2）解 經(jīng)計(jì)算，得，所以方程組的解為9試問(wèn)取何值時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解解 方程組有非零解，則又，所以10試問(wèn)、取何值時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解解 方程組有非零解，則又，所以或（B）1選擇題：（1）設(shè)，則( )（A）

5、（B） （C） （D）解 原式選（A）（2）四階行列式的值等于（ ）（A） （B）（C） （D）解 將行列式的第4行依次與第3行、第2行交換，再將行列式的第4列依次與第3列、第2列交換，得選（D）（3）設(shè)線(xiàn)性方程組若，則方程組的解為（ ）（A） （B）（C） （D）解 將方程組寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式：有，所以方程組的解為選（C）（4）方程=的根的個(gè)數(shù)為（ ）（A） （B） （C） （D）解 方法一：將按第1列展開(kāi)，知為3次多項(xiàng)式，因此有3個(gè)根選（C）方法二：有3個(gè)根選（C）2計(jì)算四階行列式解 3計(jì)算四階行列式解 4計(jì)算階行列式解 5計(jì)算五階行列式解 方法一：一般地，對(duì)于此類(lèi)階行列式，將其按第一行展開(kāi)，得

6、，則，有 ，所以方法二：由習(xí)題二（A）的第5題，得當(dāng)時(shí)，有，所以6計(jì)算階行列式解 將行列式按第一行展開(kāi)，得，則 7已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不計(jì)算行列式的值，證明能被13整除證 由已知，得后行列式的第4列具有公因子，所以原行列式能被13整除8證明:證 構(gòu)造5階行列式，則 （1）將按第5列展開(kāi)，得 （2）比較（1）與（2）右邊的系數(shù)，知結(jié)論成立9證明：當(dāng)時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解證 方程組的系數(shù)行列式，當(dāng)，即時(shí)，方程組有非零解10應(yīng)用題：（1）1；（2）習(xí) 題 三（A）1下列矩陣中，哪些是對(duì)角矩陣、三角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣，解 是數(shù)量矩陣，也是對(duì)角矩陣；、是三

7、角矩陣；都不是2設(shè)矩陣（1）計(jì)算； （2）若滿(mǎn)足，求解 （1）；（2）3設(shè)有3階方陣，且，求解 4計(jì)算下列矩陣的乘積：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式（5）解 原式（6）解 原式5已知矩陣，求：（1）與； （2）與.解 （1），；（2），6求與矩陣可交換的所有矩陣解 設(shè)與可交換的矩陣由，得令，得，其中為任意常數(shù)7利用歸納法，計(jì)算下列矩陣的次冪，其中為正整數(shù)：（1）解 令，有則（2）解 令，有，則（3）解 令，有則8已知矩陣，令，求，其中為正整數(shù)解 9若為階對(duì)稱(chēng)矩陣，為階矩陣，證明為對(duì)稱(chēng)矩陣證 因?yàn)?，所以為?duì)稱(chēng)矩陣10利用公式法求下列矩陣的逆矩陣：（1）解 ，又，所以（2

8、）解 ，又，所以（3）解 ，又，所以（4）解 ，又，所以11解下列矩陣方程：（1）解 （2）設(shè)，其中，解 由，得又，則可逆，且經(jīng)計(jì)算，得所以（3）解 ，則12設(shè)，且矩陣滿(mǎn)足，求矩陣解 等式兩邊左乘以，得又，上式兩邊右乘以，得，即，所以13設(shè)都是階矩陣，證明：可逆的充分必要條件是都可逆證 可逆都可逆14設(shè)階方陣滿(mǎn)足，證明可逆，并求證 由，得，即，所以可逆，且15設(shè)為階矩陣，且，證明及都是可逆矩陣證 由，得及，所以及都是可逆矩陣16已知為三階方陣，且，求：（1）； （2）； （3）解 （1）原式（2）原式（3），有原式17設(shè)，求解 ，則18（1）設(shè)，證明（2）設(shè)，且，求與證 （1）（2）由，得，且

9、又，所以19利用分塊矩陣計(jì)算下列矩陣的乘積：（1）解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則原式又，所以原式（2）解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則原式20利用分塊矩陣求下列矩陣的逆矩陣：（1）解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則又，所以（2）解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則又，所以（3）解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則又，所以21設(shè)矩陣，利用分塊矩陣計(jì)算解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則又，所以22設(shè)矩陣，利用分塊矩陣計(jì)算解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則，所以23（1）設(shè)，且階矩陣和階矩陣均可逆，試證明（2）設(shè)矩陣，其中為非零常數(shù)，求證 （1）因?yàn)?，所以可逆，且?）將矩陣進(jìn)行如下分塊： ，則又，所以24利用矩陣的初等行變換判斷下列矩陣

10、是否可逆；如可逆，求其逆矩陣（1）解 因?yàn)?，所以不可逆?）解 ，所以可逆，且（3）解 ，所以可逆，且（4）解 ，所以不可逆25利用矩陣的初等行變換解下列矩陣方程：（1）解 ，所以（2）解 將方程兩邊轉(zhuǎn)置，得由，得26求下列矩陣的秩：（1）解 ，所以（2）解 （3）解 （4）解 27設(shè)矩陣，且，求的值解 由，得28設(shè)矩陣，問(wèn)取何值時(shí)，使得（1）；（2）；（3）解 ，有當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，29設(shè)是矩陣，且的秩為，而，求解 ，則30設(shè)為階矩陣，滿(mǎn)足，證明：證 由，得，所以.又，所以.31設(shè)三階矩陣，試求與解 因?yàn)?2求解下列線(xiàn)性方程組：（1）解 方程組的系數(shù)矩陣因?yàn)?，所以方程組只有零解（2）解

11、 方程組的增廣矩陣，所以方程組的解為（3）解 方程組的系數(shù)矩陣，得方程組的解為令，得方程組的通解，其中為任意常數(shù)（4）解 方程組的增廣矩陣因?yàn)?，所以方程組無(wú)解（5）解 方程組的增廣矩陣，得方程組的解為令，得方程組的通解，其中為任意常數(shù)（6）解 方程組的增廣矩陣，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)33試問(wèn)取何值時(shí)，下列非齊次線(xiàn)性方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解（1）解 方程組的系數(shù)行列式當(dāng)，即且時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋苑匠探M無(wú)解當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程組有無(wú)窮多解（2）解 方程組的系數(shù)行列式當(dāng)，即且時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋苑匠探M無(wú)解當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程組有無(wú)窮多解

12、34試問(wèn)取何值時(shí)，非齊次線(xiàn)性方程組有解，并求解解 方程組的增廣矩陣當(dāng)時(shí)，有，則方程組有無(wú)窮多解，且解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)35求平面上三點(diǎn)共線(xiàn)的充分必要條件解 設(shè)直線(xiàn)方程為則平面上三點(diǎn)共線(xiàn)有非零解，即（B）1選擇題：（1）設(shè)為階矩陣，以下結(jié)論正確的是（ ）(A)若、是對(duì)稱(chēng)矩陣，則也是對(duì)稱(chēng)矩陣 (B)(C)若，且可逆，則 (D)若與等價(jià)，則與相等解 選（C）（2）設(shè)和均為矩陣，則必有（ ）(A)=+ (B)(C)= (D)解 選（C）（3）設(shè)為階矩陣，是的伴隨矩陣，為常數(shù)，則（ ）(A) (B) (C) (D)解 由伴隨矩陣的定義，知選（C）（4）設(shè)和均為階非零矩陣，且，則和的秩

13、（ ）(A)必有一個(gè)等于零 (B)一個(gè)等于，一個(gè)小于(C)都等于 (D)都小于解 由，得又，知所以，故選（D）（5）對(duì)于非齊次線(xiàn)性方程組，若，則（ ）(A)當(dāng)時(shí)，有解(B)當(dāng)時(shí)，有唯一解(C)當(dāng)時(shí)，有唯一解(D)當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多解解 當(dāng)時(shí)，故選（A）2設(shè)矩陣，試求解 ，則3設(shè)矩陣，且，試求解 由，得又，有，兩邊取行列式，得，所以4設(shè)矩陣，且，試求解 ，則5設(shè)矩陣，試求解 ，所以6設(shè)矩陣，矩陣滿(mǎn)足，試求矩陣解 由，得又，有經(jīng)計(jì)算可得，所以7設(shè)矩陣，且矩陣滿(mǎn)足，試求矩陣解 由，得（注意）又，得方程組的解為令，得為任意常數(shù)8設(shè)階矩陣，試求的秩解 當(dāng)時(shí)，為非奇異矩陣，所以；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，的階子式而，所

14、以9試求取何值時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解，并求通解解 方程組的系數(shù)矩陣當(dāng)時(shí)，方程組有非零解，且，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)10試求取何值時(shí)，非齊次線(xiàn)性方程組無(wú)解、有唯一解或無(wú)窮多解，并在有無(wú)窮多解時(shí)求方程組的通解解 方程組的系數(shù)行列式當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程組有無(wú)窮多解，且通解為，其中為任意常數(shù)當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解11設(shè)矩陣，為三階非零矩陣試求常數(shù)，使得解 有非零解又，所以12證明：（1）設(shè)為矩陣，則有意義的充分必要條件是為同階矩陣（2）對(duì)任意階矩陣，都有，其中為單位矩陣證 （1）設(shè)為矩陣，為矩陣，則有意義，即為同階矩陣（2）設(shè)，則的主對(duì)角線(xiàn)上元素之和為，

15、而的主對(duì)角線(xiàn)上元素之和為，所以13證明：任意階矩陣都可表示為一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣與一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣的和證 設(shè)為任意階矩陣，則，其中為對(duì)稱(chēng)矩陣，為反對(duì)稱(chēng)矩陣（你是否能聯(lián)系到函數(shù)可以表示為奇函數(shù)與偶函數(shù)之和）14已知階矩陣滿(mǎn)足，試證可逆，并求證 由，得，所以可逆，且15設(shè)為元素全為1的階方陣，證明：證 又，故，所以16設(shè)階矩陣與等價(jià)，且，證明證 與等價(jià)，則存在階可逆矩陣與，使得，有注：此結(jié)論告訴我們初等變換不改變矩陣的可逆性17設(shè)為階方陣，且，證明證 因?yàn)?，所以又，所?8設(shè)是矩陣，是矩陣，其中若，其中為階單位矩陣證明方程組只有零解證 由，得又，得，所以方程組只有零解習(xí) 題 四（A）1設(shè)，求和解 ，2求解下

16、列向量方程：（1），其中解 （2），其中解 3試問(wèn)向量可否由向量組線(xiàn)性表示？若能，求出由線(xiàn)性表示的表達(dá)式（1）解 設(shè)由，得，所以可由向量組線(xiàn)性表示，且，得表達(dá)式（2）解 設(shè)由，得，所以可由向量組線(xiàn)性表示，且，得表達(dá)式4討論下列向量組的線(xiàn)性相關(guān)性：（1）解 向量組所含向量個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)，所以該向量組線(xiàn)性相關(guān)（2），其中全不為零解 對(duì)應(yīng)的分量成比例，則線(xiàn)性相關(guān)，所以該向量組線(xiàn)性相關(guān)（3）， ，解 因?yàn)椋栽撓蛄拷M線(xiàn)性無(wú)關(guān)（4）解 因?yàn)?，所以該向量組線(xiàn)性相關(guān)5（1）設(shè)，證明：線(xiàn)性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)（2）設(shè)，證明：線(xiàn)性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)的分量成比例證 （）線(xiàn)性相關(guān)（2）線(xiàn)性相關(guān)，其中不全為零不妨設(shè)，

17、則線(xiàn)性相關(guān)，即對(duì)應(yīng)的分量成比例6任取，又記，證明必線(xiàn)性相關(guān)證 顯然，即，所以必線(xiàn)性相關(guān)7若向量組由向量組線(xiàn)性表示為試將向量組由向量組表示解 由解得8設(shè)為一組非零向量，按所給的順序，每一都不能由它前面的個(gè)向量線(xiàn)性表示，證明向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)證 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)設(shè)時(shí)成立，即線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)時(shí)，若線(xiàn)性相關(guān)，則可由線(xiàn)性表示，矛盾，所以向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)9設(shè)非零向量可由向量組線(xiàn)性表示，證明：表示法唯一當(dāng)且僅當(dāng)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)證 可由向量組線(xiàn)性表示則表示法唯一有唯一解線(xiàn)性無(wú)關(guān)10設(shè)，證明：向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)任一維向量均可由線(xiàn)性表示證 必要性：線(xiàn)性無(wú)關(guān)，任取，則線(xiàn)性相關(guān)，所以可由線(xiàn)性表示充分性：任一維向量

18、均可由線(xiàn)性表示，則單位坐標(biāo)向量可由線(xiàn)性表示，有，所以，即線(xiàn)性無(wú)關(guān)11求下列各向量組的秩及其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示（1）解 ，所以，本身為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組；（2）解 ，所以，為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且，（3）解 ，所以，為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且，12 設(shè)A：和B：為兩個(gè)同維向量組，秩分別為和；向量組的秩為證明：證 先證顯然組與組分別可由組線(xiàn)性表示，則，且，所以次證設(shè)為組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，為組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則組可由線(xiàn)性表示，有13設(shè)為階可逆陣，與均為矩陣，且試證明證 由，知的列向量組可由的列向量組線(xiàn)性表示，則因?yàn)榭赡妫瑒t，知的列向量組可由的列向量組線(xiàn)性表示，則所以14設(shè)為矩陣，

19、證明：當(dāng)且僅當(dāng)證 必要性顯然，下證充分性：設(shè)為的任一列向量，則，所以由的任意性知15設(shè)（1）求由向量組生成的向量空間的一組基與維數(shù)；（2）求向量在此組基下的坐標(biāo)解 由，得（1）為由向量組生成的向量空間的一組基，且維數(shù)為2；（2）向量在此組基下的坐標(biāo)為16設(shè)證明向量組是的一組基，并求向量在這組基下的坐標(biāo)證 由，得是的一組基，且在這組基下的坐標(biāo)為17在中取兩組基：； （1）求由基到基的過(guò)渡矩陣 （2）若向量在基下的坐標(biāo)為，求向量在基下的坐標(biāo)解 設(shè)由 ，得（1）由基到基的過(guò)渡矩陣（2）在基下的坐標(biāo)為18在中求一向量，使其在下面兩組基：；下有相同的坐標(biāo)解 由，得，即令由，得取，得19求下列齊次線(xiàn)性方程

20、組的一個(gè)基礎(chǔ)解系及通解（1）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)（2）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)（3）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)（4）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)20 判斷下列非齊次線(xiàn)性方程組是否有解，若有解，并求其解（在有無(wú)窮多解的情況下，用基礎(chǔ)解系表示全部解）（1）解 方程組的增廣矩陣因?yàn)?，所以方程組有唯一解，且解為（2）解 方程組的增廣矩陣，因?yàn)?，所以方程組有無(wú)窮多解，且令，得通解為其中為任意常數(shù)（3）解 方程組的增廣矩陣因?yàn)?，所以方程組有唯一解，且解為21設(shè)三元非

21、齊次線(xiàn)性方程組，矩陣的秩為2，且,是方程組的兩個(gè)特解，試求此方程組的全部解解 由已知得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系含個(gè)解向量，設(shè)為，則可取所以方程組的通解為，其中為任意常數(shù)22設(shè)是齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，求證也是的基礎(chǔ)解系證 顯然是的解，只需證明它們線(xiàn)性無(wú)關(guān)由，得，所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)23設(shè)是階方陣證明：存在一個(gè)階非零矩陣，使的充要條件是證 存在，使得有非零解24設(shè)是階方陣，為矩陣，且證明： （1）若，則； （2）若，則證 （1），則又（2）由（）得（B）1設(shè)向量組線(xiàn)性相關(guān)，而線(xiàn)性無(wú)關(guān)，問(wèn)： （1）能否由線(xiàn)性表示？為什么？ （2）能否由線(xiàn)性表示？為什么？解 （1）線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)；又線(xiàn)性相關(guān)，則可由線(xiàn)性表示

22、；所以可由線(xiàn)性表示（2）若可由線(xiàn)性表示，又可由線(xiàn)性表示，則可由線(xiàn)性表示，有線(xiàn)性相關(guān)，矛盾，所以不能由線(xiàn)性表示2若向量組，其中的第個(gè)分量為，余皆為試討論該向量組的線(xiàn)性相關(guān)性解 當(dāng)且時(shí)，向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；當(dāng)或時(shí)，向量組線(xiàn)性相關(guān)3設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，試討論的線(xiàn)性相關(guān)性若向量組線(xiàn)性相關(guān)呢？解 ，且（1）若線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)線(xiàn)性相關(guān)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，此時(shí)線(xiàn)性無(wú)關(guān)（2）若線(xiàn)性相關(guān)，則，此時(shí)線(xiàn)性相關(guān)4設(shè)為維非零向量，為階方陣，若 ，試證明線(xiàn)性無(wú)關(guān)證 設(shè)該式兩邊左乘以，得依此類(lèi)推，得由，得同理可證所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)5設(shè)，其中為3階方陣，為3維向量，且，證明線(xiàn)性無(wú)關(guān)證 設(shè) （1）（1）式兩邊左乘以，得 （2

23、）（2）減去（1），得 （3）（3）式兩邊左乘以，得 （4）（4）減去（3），得因?yàn)椋源耄ǎ?，得，所以代入?），得，所以所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)6設(shè)為階方陣，為維列向量證明：若存在正整數(shù)，使，而，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)證 設(shè)，該式兩邊左乘以，得因?yàn)?，所以同理可證所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)7設(shè)向量組的秩與向量組相同，且組可由組線(xiàn)性表示，證明組與組等價(jià)證 設(shè)，為組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，為組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組由組可由組線(xiàn)性表示，得.又，則，即為可逆矩陣，有，即可由線(xiàn)性表示，所以組可由組線(xiàn)性表示.故組與組等價(jià)8設(shè)向量組：線(xiàn)性無(wú)關(guān)，向量組：能由線(xiàn)性表示為 ，其中，證明：向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)闹茸C 向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)只有零解 只有零解 只有零

24、解9設(shè)都是矩陣，試證明：證 先證顯然的列向量組可由的列向量組和的列向量組線(xiàn)性表示，則此證設(shè)，與分別為與的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則的列向量組可由與線(xiàn)性表示，有，即10設(shè)是的一組基， （1）證明是的一組基； （2）求由基到基的過(guò)渡矩陣； （3）若向量在基下的坐標(biāo)為，求向量在基下的坐標(biāo)證 （）（）由，得，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以是的一組基（2）由（）式，得由基到基的過(guò)渡矩陣（3）在基下的坐標(biāo)11當(dāng)為何值時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組只有零解？有非零解？在方程組有非零解時(shí)，求其全部解解 方程組的系數(shù)行列式當(dāng)，即時(shí)只有零解.當(dāng)，即時(shí)有非零解，且通解為，其中為任意常數(shù)12設(shè)是的三個(gè)特解，則（）也是的解（A）； （B），；

25、（C）；（D)解 B實(shí)質(zhì)上，一般地有：若為的解，則也是的解13考慮線(xiàn)性方程組問(wèn)取什么值時(shí)有解？當(dāng)有解時(shí)，求它的通解解 方程組的增廣矩陣，則當(dāng)時(shí)方程組有解，且，所以方程組的通解為，其中為任意常數(shù)14設(shè)矩陣，其中線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且向量試求方程組的通解解 由線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且，得是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則，即，從而的基礎(chǔ)解系含個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量，設(shè)為由，得，則是的解，故可取由，得是的一個(gè)特解所以的通解為，其中為任意常數(shù)15設(shè)為矩陣，為矩陣，且求證： （1）的各列向量是齊次線(xiàn)性方程組的解； （2）若，則； （3）若，則的各列向量線(xiàn)性相關(guān)證 （1）令由，得，即，所以的各列向量是齊次線(xiàn)性方程組的解（2）若，則只有零解，所

26、以（3）若，則有非零解，所以的各列向量線(xiàn)性相關(guān)16設(shè)為階方陣（），證明： （1）當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)時(shí)，； （3）當(dāng)時(shí)，證 （1）當(dāng)時(shí)，所以（2）當(dāng)時(shí)，由，得有又中至少有一個(gè)階子式不為零，則，所以（3）當(dāng)時(shí)，則中所有一個(gè)階子式全為零，有習(xí) 題 五(A)1求下列矩陣的特征值和特征向量：（1）解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得，令，得屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解特征方程組，得，令，得屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量是，全部特征向量為（2） 解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量是，全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解特征方程組，得令

27、，得屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量是，全部特征向量為（3） 解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得，令，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為，全部特征向量為不全為零）當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量是，全部特征向量為（4） 解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為，全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為，全部特征向量為（5） 解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為，當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為，全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特

28、征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為，全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為，全部特征向量為（6）解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為，全部特征向量為不全為0當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為，全部特征向量為2 已知矩陣的特征值為，求的值 解 由，得，則3 已知矩陣 的特征值為，求x的值解 由，得，解得4 已知三階方陣的三個(gè)特征值分別為，矩陣求矩陣的特征值及的行列式解 令，則的特征值分別為，且5已知3階矩陣的特征值為，求及的伴隨矩陣的特征值解 令，則的特征值為又，則特征值為6設(shè)，求

29、： （1）的特征值與特征向量；（2）的特征值；（3）的特征值解 （1）的特征多項(xiàng)式，則的特征值為；屬于特征值全部特征向量為，、不全為0；屬于特征值全部特征向量為，（2），則的特征值為（3）令，則的特征值為，7設(shè)矩陣滿(mǎn)足等式，試證明的特征值只能取值或4解 設(shè)為的特征值由，得滿(mǎn)足，解得或8設(shè)方陣滿(mǎn)足，其中是的轉(zhuǎn)置矩陣，為單位陣試證明的實(shí)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值的模等于1解 設(shè)為的實(shí)特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為，則由，得，即，有又，則，所以9已知，且與相似，求常數(shù)解 顯然的特征值為與相似，則的特征值為由，解得10已知矩陣與矩陣相似，求常數(shù)與解 與相似，則 （1）又，由，得，代入（1）式，得所以11 設(shè)矩陣

30、問(wèn)為何值時(shí)，矩陣可相似對(duì)角化解 顯然的特征值為對(duì)，可相似對(duì)角化由，得12已知是矩陣的特征向量 （1）求參數(shù)及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值； （2）問(wèn)能否相似對(duì)角化？并說(shuō)明理由解 （1）設(shè)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值為.由，得.（2）的特征多項(xiàng)式 ，則的特征值為所以能相似對(duì)角化，即顯然，所以不能相似對(duì)角化.13判斷下列矩陣是否與對(duì)角矩陣相似；若與對(duì)角矩陣相似，求一個(gè)可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣（1）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程組由，得，所以不能與對(duì)角矩陣相似（2）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程組由，得，所以與對(duì)角矩陣相似，且令，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為當(dāng)時(shí)，解方程組由，得令，得

31、屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為令，則（3）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程組由，得，所以與對(duì)角矩陣相似，且令，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為當(dāng)時(shí)，解方程組由，得令，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為令，則14設(shè)矩陣求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣，并計(jì)算，其中為正整數(shù)解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為令，則且又，所以15設(shè)3階方陣有特征值，對(duì)應(yīng)特征向量依次為，求解 有3個(gè)不同的特征值，則能相似對(duì)角化令，則，有又，所以16設(shè)矩陣與相似，試證：（1）與相似；（2）當(dāng)可逆時(shí)，與相似證 與相似，則存在可逆矩陣，使得（1）因?yàn)橐部赡?，?/p>

32、以與相似（2），所以與相似17設(shè)向量，求的長(zhǎng)度及它們的夾角解 ,，18已知三元向量，試求一個(gè)非零向量，使為正交向量組 解 顯然正交令，要使為正交向量組，只需由，得取，得19已知向量，試求與向量都正交的向量解 設(shè)，依題意，得由，得令，所以，其中、為任意常數(shù)20.用施密特正交化方法將下列向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組：（1）解 正交化，得，單位化，得，（2）解 正交化，得，單位化，得,21試求一個(gè)正交矩陣，使為對(duì)角陣：（1）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；單位化，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；單位化，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；單位化，得令正交矩陣，則（2）

33、解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；顯然正交，單位化，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；單位化，得令正交矩陣，則（3）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；正交化，得；單位化，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；單位化，得令正交矩陣，則（4）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；正交化，得；單位化，得屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；單位化，得令正交矩陣，則22設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為6、3、3，與特征值6對(duì)應(yīng)的特征向量為，求與特征值3對(duì)應(yīng)的特征向量解 設(shè)為屬于特征值3的特向量，有，即，其基礎(chǔ)解系為 所以屬于特

34、征值3的特征向量為，、不全為023設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，求解 設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為，有所以屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為令，則所以24設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的秩為2，是的二重特征值若，,都是的屬于特征值6的特征向量 （1）求的另一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量； （2）求矩陣解 （1）因?yàn)槭堑亩靥卣髦?，故的屬于特征?的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量有2個(gè)由題設(shè)知，為的屬于特征值6的線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量又的秩為2，于是，所以的另一特征值設(shè)所對(duì)應(yīng)的特征向量為，則有，即 得基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值全部特征向量為，（2） 令矩陣，則，所以25設(shè)都是階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明與相似的充要條件是與有相同的特征值證

35、 必要性：與相似，則存在可逆陣，使得有，所以與有相同的特征多項(xiàng)式，即有相同的特征值充分性：若實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣與有相同的特征值，設(shè)為它們的特征值令則與相似，與相似，所以與相似（B）一、選擇題：1設(shè)，則以下向量中是A的特征向量的是（ ） （A） （B） （C） （D）解 當(dāng)時(shí)，有選（A）2設(shè)為階方陣，且（為某一正整數(shù)），則（ ）(A) (B)有一個(gè)不為零的特征值 (C)的特征值全為零 (D)有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量解 設(shè)為的特征值，則，有選（C）3設(shè)為階矩陣，且與相似，則（ ） （A） （B）與有相同的特征值與特征向量 （C）與都相似于對(duì)角矩陣 （D）對(duì)于任意常數(shù)，相似解 由與相似，知存在可逆陣，使，由此

36、，故與相似選（D）4設(shè)，且的特征值為，則（ ）(A) (B)3 (C)4 (D)解 由，得選（C）5設(shè)為階可逆陣，為的一個(gè)特征值，則的伴隨陣的一個(gè)特征值是（ ）(A) (B) (C) (D)解 選（B）6設(shè)為階方陣，以下結(jié)論中成立的是（ ） （A）若可逆，則矩陣的屬于特征值的特征向量也是矩陣的屬于特征值的特征向量 （B）的特征向量為方程的全部解 （C）的特征向量的線(xiàn)性組合仍為特征向量 （D）與有相同的特征向量解 選（A）7當(dāng)滿(mǎn)足( )時(shí)，方陣與相似 (A)且 (B)或 (C) (D)解 選（A）8設(shè)是階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，是階可逆矩陣已知維列向量是的屬于特征值的特征向量，則矩陣屬于特征值的特征向量是（

37、 ） （A） （B） （C） （D）解 由于，即矩陣屬于特征值的特征向量為選（B）9設(shè)是可逆矩陣的一個(gè)特征值，則矩陣有一個(gè)特征值等于（ ） （A） （B） （C） （D）解 有特征值選（B）10設(shè)，且的特征值為，則有（ ） (A) (B) (C) (D)解 選（B）11如果階矩陣任意一行的元素之和都是，那么有一個(gè)特征值（ ）（A） （B） （C）0 （D）解 取，有選（A）12若階矩陣的特征值全為零，則不正確的結(jié)論是（ ） （A） （B） （C） （D）解 取，但的特征值全為零，而選（C）13已知（為非零向量），為可逆矩陣，則（ ）（A）的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為（B）的特征值為，其對(duì)應(yīng)的

38、特征向量為（C）的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為（D）的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為解 由, 得，故是P-1AP的特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為選（D）14設(shè)，且的特征值為，則的值為（ ）（A）2 （B） （C）4 （D）解 ，得選（B）15已知矩陣有一個(gè)特征向量，則等于（ ）(A) (B) (C) (D)解 由，得 ，選（B）16設(shè)矩陣與相似，則（ ）（A） （B） （C） （D）解 選（B）17設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（ ）(A) (B) (C) (D)解 由于，則，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，即選(B)18設(shè)為3階矩陣，的特征值為，那么齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解

39、系所含解向量的個(gè)數(shù)為（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解 注意，則的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于的屬于特征值0的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)選(B)19設(shè)3階矩陣的特征值互不相同，若行列式，則的秩為（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3解 注意：若與對(duì)角陣，則中不為零的個(gè)數(shù)由3階矩陣的特征值互不相同，且行列式，知只有一個(gè)特征值等于零，則選（C）20設(shè)是4階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且。若，則相似于（ ） (A) (B) (C) (D)解 設(shè)為的特征值，由，得，所以的特征值只能是或是4階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，知能相似對(duì)角化；，知有3個(gè)不為零的特征值；所以的特征值為選（D）二、計(jì)算題：1設(shè)，其中為三階可逆矩陣

40、，求解 又,所以2. 設(shè)矩陣，已知有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,是的二重特征根（1）求；（2）求可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣解 （1）因?yàn)橛腥齻€(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,是的二重特征根，所以由，得（2），其特征多項(xiàng)式，得的特征值為屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為令，則3. 設(shè)矩陣（1）求的特征值；（2）利用(1)中結(jié)果求的特征值，其中為三階單位矩陣解 （1）的特征多項(xiàng)式，得的特征值為（2）令，得的特征值為4設(shè)有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，求和應(yīng)滿(mǎn)足的條件解 的特征多項(xiàng)式（1）當(dāng)時(shí)，A有3個(gè)不同的特征值，從而必有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量（2）當(dāng)時(shí)，A有特征值對(duì)于要有二個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，則有由，

41、得綜上，當(dāng)時(shí)或時(shí)，有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量5設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿(mǎn)足（1）證明線(xiàn)性無(wú)關(guān)； （2）令，求證 （1）設(shè)， （1）（1）式兩邊左乘以，得（2）（1）-（2），得顯然線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則代入（），得，有，所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)（2） ，即由第一部分知可逆，所以6設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的各行元素之和都為3，向量都是齊次線(xiàn)性方程組的解（1）求的特征值和特征向量；（2）求正交矩陣和對(duì)角矩陣，使得解 （1）的各行元素之和都為，則有特征值，且是其對(duì)應(yīng)的特征向量又，且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，知有特征值，且是其對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量因此，有的特征值為屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為（2

42、）將正交單位化，得，；將單位化，得令正交矩陣，有7已知矩陣與相似 （1）求之值； （2）求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣；（3）求解 （1）與相似，則，即將代入有，將代入有（2）顯然的特征值為屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為令，有（3）又，所以8設(shè)為2階矩陣，為線(xiàn)性無(wú)關(guān)的2維列向量，求的特征值解 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則可逆，有，即與相似而的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為，故的特征值為9設(shè)3階對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值，是的屬于特征值的特征向量記，其中為3階單位矩陣（1）驗(yàn)證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；（2）求矩陣解 （1）設(shè)為的屬于特征值的特征向量，即，則，即為的特征值，為相應(yīng)的特征向量所以是矩陣的特征向量令，則的特征值為的屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為，全部特征向量為設(shè)的屬于的特征向量為為對(duì)稱(chēng)矩陣，顯然也是對(duì)稱(chēng)矩陣，則，方程組的基礎(chǔ)解系為，就是的屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，全部特征向量為不全為零（2）令，有，所以又，則10設(shè)向量都是非零向量，且滿(mǎn)足條件記階矩陣，求：（1）； （2）矩陣的特征值和特征向量解 （1）（2）設(shè)為的任一特征值由，得，有，即的特征值全為零不妨設(shè)向量中分量，考慮齊次線(xiàn)性方程組由，得基礎(chǔ)解系，即屬于特征值0的全