三階常微分方程的線性化

1、三階常微分方程的線性化摘要研究三階常微分方程的線性化，可便于對三階常微分方程進行求解，本文主要研究，通過可逆的變量變換，將所有可線性化的三階常微分方程轉(zhuǎn)化成三階程常微分方程的規(guī)范形式，進而得到它的通解。由于變量變換是可逆的，所以兩種形式可以互相轉(zhuǎn)化，從而可以利用該方法將一般三階常微分方程轉(zhuǎn)化成三階常微分方程的規(guī)范形式。關(guān)鍵詞：變量變換,可線性化,三階常微分方程1. 三階常微分方程的規(guī)范化由于一般三階常微分方程(ODE)比較繁瑣，難以求解，所以需要找到將一般三階常微分方程轉(zhuǎn)化成線性化的三階常微分方程（三階常微分方程的規(guī)范形式）的方法。1.1.背景 一般線性齊次方程 (1.1)可以寫成如下二項式系

2、數(shù)的標準形式： (1.2) E. 拉蓋爾于1879年證明了方程(1.2)里最高階數(shù)以下的兩個階次項可以同時被消去，相應(yīng)的結(jié)果可以用如下定理來表述：定理1.1 階常微分方程(1.2)可以通過合適的等價變換 (1.3)化簡為： (1.4)1.2.主要思想 我們把方程(1.4)稱為線性齊次階方程的Laguerre規(guī)范形式。特別地，三階方程的規(guī)范形式為 (1.5)方程(1.5)很顯然是線性的，那接下來的問題是，哪些三階ODE可以線性化為(1.5)呢？下面我們給出可線性化的三階方程的形式。定理 1.2 形如 (1.6)的三階方程可以通過等價變換 (1.7)線性化為方程(1.5)，其中并且和滿足方程組 (

3、1.8) (1.9) (1.10) (1.11) (1.12)變換(1.7)中的函數(shù)和滿足下列方程組 (1.13) (1.14) (1.15) (1.16) (1.17)由下列式子給出 (1.18)證明：由于等價變換(1.7)是可逆的，因此下面我們從方程(1.5)推出(1.6)。由于 代入得：上式為（1.6）的形式。其中經(jīng)驗證上述和滿足方程組(1.8)-(1.18).2.相關(guān)例題例：將下列方程線性化 (2.1)解：上式為(1.6)的形式，下面我們驗證是否滿足定理1.2，由于 (2.2)我們很容易驗證系數(shù)(2.2)滿足條件(1.8)-(1.12)。下面我們求解等價變換。由于 (2.3)則方程(1

4、.13)可寫為 (2.4)讓我們采用它最簡單的解，我們可以取。則由方程(1.14)和(1.15)可以得到 (2.5) 為常數(shù)，因此 (2.6)我們可以采用任意特解，設(shè)則 (2.7)另外，由方程(1.17)可以得到，由方程(1.18)給出。因此，變換 (2.8)將方程(2.1)線性化為 (2.9)參考文獻:1 Ibragimov N.H., CRC handbook of Lie group analysis of differential equations, CRC Press Inc., Boca Raton,1994.2 Olver P.J., Applications of Lie groups to differential equations, Springer, New York, 1986.3 Ibragimov N.H. and Meleshko S.V., J. Math. Anal.