導(dǎo)數(shù)習(xí)題+答案(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一解答題（共9小題）1已知a0，函數(shù)f（x）=lnxax2，x0（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若存在均屬于區(qū)間1，3的，且1，使f（）=f（），證明2已知函數(shù)f（x）=xlnx2x+a，其中aR（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程f（x）=0沒有實根，求a的取值范圍；（3）證明：ln1+2ln2+3ln3+nlnn（n1）2，其中n23已知函數(shù)f（x）=axlnx（a0）（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；（）若m0，n0，a0，證明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2f（m+n）4已知函數(shù)f（x）=2exx（1）求f（x）在區(qū)間1，m（m1）上的最小值；（2

2、）求證：對時，恒有5設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=ex2x+2a，xR（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）求證：當(dāng)aln21且x0時，exx22ax+16已知函數(shù)f（x）=ln（x+2）a（x+1）（a0）（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若x2，證明：1ln（x+2）x+17已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）x（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（）若x1，證明：8已知函數(shù)（1）當(dāng)a=1時，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（0，1內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)；（2）當(dāng)x（0，+）時f（x）1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍9已知函數(shù)f（x）=（1）當(dāng)a0，x1，+）時，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性（2）

3、若對于任意x1，+），不等式f（x）0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍參考答案與試題解析一解答題（共9小題）1已知a0，函數(shù)f（x）=lnxax2，x0（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若存在均屬于區(qū)間1，3的，且1，使f（）=f（），證明考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。專題：綜合題。分析：（I）由，令f（x）=0，解得x=，列表討論能求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間（II）由f（）=f（）及（I）的結(jié)論知，從而f（x）在，上的最小值為f（a）由1，1，3，知123由此能夠證明解答：（I）解：，令f（x）=0，解得x=，當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化

4、情況如下表：xf'（x）+0f（x）極大值所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是（II）證明：由f（）=f（）及（I）的結(jié)論知，從而f（x）在，上的最小值為f（a）又由1，1，3，知123故，即，從而點評：本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識2已知函數(shù)f（x）=xlnx2x+a，其中aR（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程f（x）=0沒有實根，求a的取值范圍；（3）證明：ln1+2ln2+3ln3+nlnn（n1）2，其中n2考點：不等式的綜合；利用導(dǎo)

5、數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)歸納法。專題：證明題；綜合題；轉(zhuǎn)化思想。分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，然后求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程f（x）=0沒有實根，由（1）可得f（x）在x=e處取得極小值，且f（x）=0沒有實根，即可求a的取值范圍；（3）方法一：利用x0，xlnx2x3恒成立，即可證明ln1+2ln2+3ln3+nlnn（n1）2方法二：利用數(shù)學(xué)歸納法驗證n=2成立，然后通過假設(shè)，證明n=k+1不等式也成立即可解答：解：（1）由題意可知：f'（x）=lnx1，令f'（x）=0，得x=e，（1分）則當(dāng)x（0，e）時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減；（2分）當(dāng)x（e，+

6、）時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增（4分）（2）由（1）可得f（x）在x=e處取得極小值，且f（x）=0沒有實根，（6分）則minf（x）=f（e）0，即ae0，解得：ae（8分）（3）方法1：由（2）得，令a=3e，f（x）=xlnx2x+30成立，則x0，xlnx2x3恒成立（10分）故ln1+2ln2+3ln3+nlnn=2ln2+3ln3+nlnn（223）+（233）+（243）+（2n3）=（n1）2，即得證（14分）方法2：數(shù)學(xué)歸納法（1）當(dāng)n=2（2）時，ln1+2ln212（3）成立；（4）當(dāng)n=k（5）時，ln1+2ln2+3ln3+klnk（k1）2（6）成立，當(dāng)n=k+

7、1時，ln1+2ln2+3ln3+klnk+（k+1）ln（k+1）（k1）2+（k+1）ln（k+1）同理令a=3e，xlnx2x3，即（k+1）ln（k+1）2（k+1）3，（10分）則（k1）2+（k+1）ln（k+1）（k1）2+2（k+1）3=k2，（12分）故ln1+2ln2+3ln3+klnk+（k+1）ln（k+1）k2，即ln1+2ln2+3ln3+klnk（k1）2對n=k+1也成立，綜合（1）（2）得：n2，ln1+2ln2+3ln3+nlnn（n1）2恒成立（14分）點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的綜合應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)

8、用3已知函數(shù)f（x）=axlnx（a0）（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；（）若m0，n0，a0，證明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2f（m+n）考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；不等式的證明。專題：綜合題。分析：（1）求出f'（x），然后讓其大于0得到遞增區(qū)間，小于0得到遞減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值即可；（2）要證明此結(jié)論成立，只需證f（m）+f（n）+a（m+n）ln2f（m+n）0，設(shè)把不等式左邊化簡得到anklnk+（k+1）ln，設(shè)g（k）=klnk+（k+1）ln，得到其導(dǎo)函數(shù)大于0，g（k）g（1）=0，又a0，n0，左邊

9、右邊0，得證解答：解：（）f'（x）=alnx+a（x0），令f'（x）0，當(dāng)a0時，即lnx1=lne1同理，令f'（x）0可得f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為由此可知無最大值當(dāng)a0時，令f'（x）0即lnx1=lne1同理，令f'（x）0可得f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為由此可知此時無最小值（）證：不妨設(shè)mn0，則m=kn（k1）左邊右邊=amlnm+nlnn+（m+n）ln2（m+n）ln（m+n）=令，則=g（k）g（1）=0，又a0，n0，左邊右邊0，得證點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求比區(qū)間上函數(shù)最值的能力

10、，掌握證明不等式方法的能力4已知函數(shù)f（x）=2exx（1）求f（x）在區(qū)間1，m（m1）上的最小值；（2）求證：對時，恒有考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用。專題：計算題；證明題。分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，通過討論根與定義域的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值（2）將不等式變形，構(gòu)造新函數(shù)g（x），求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，通過判斷導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出其單調(diào)性，進一步求出其最小值，得證解答：解（1）當(dāng)f'（x）=2ex1=0，解得當(dāng)時，f'（x）0，f（x）在1，m上單調(diào)減，則f（x）的最小值為f（m）=2emm

11、當(dāng)時，上遞減，上遞增，則f（x）的最小值為（2）g（x）=2exx1ln2=f（x）1ln2由（1）知當(dāng)時，f（x）的最小值為，所以當(dāng)xln2時g（x）0，g（x）在（ln2，+）上單調(diào)遞增，所以所以點評：求函數(shù)在區(qū)間上的最值，常利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進一步求出函數(shù)的最值；證明不等式問題常通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題5設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=ex2x+2a，xR（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）求證：當(dāng)aln21且x0時，exx22ax+1考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用。專題：計算題。分析：（1）由f（x）=ex2x+2a，xR，知f（

12、x）=ex2，xR令f（x）=0，得x=ln2列表討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值（2）設(shè)g（x）=exx2+2ax1，xR，于是g（x）=ex2x+2a，xR由（1）知當(dāng)aln21時，g（x）最小值為g（ln2）=2（1ln2+a）0于是對任意xR，都有g(shù)（x）0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增由此能夠證明exx22ax+1解答：（1）解：f（x）=ex2x+2a，xR，f（x）=ex2，xR令f（x）=0，得x=ln2于是當(dāng)x變化時，f（x），f（x）的變化情況如下表：x（，ln2）ln2（ln2，+）f（x）0+f（x）單調(diào)遞減2（1ln2+a）單調(diào)遞增故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（，l

13、n2），單調(diào)遞增區(qū)間是（ln2，+），f（x）在x=ln2處取得極小值，極小值為f（ln2）=eln22ln2+2a=2（1ln2+a）（2）證明：設(shè)g（x）=exx2+2ax1，xR，于是g（x）=ex2x+2a，xR由（1）知當(dāng)aln21時，g（x）最小值為g（ln2）=2（1ln2+a）0于是對任意xR，都有g(shù)（x）0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)aln21時，對任意x（0，+），都有g(shù)（x）g（0）而g（0）=0，從而對任意x（0，+），g（x）0即exx2+2ax10，故exx22ax+1點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的

14、判斷、極值的計算和不等式性質(zhì)的應(yīng)用解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答6已知函數(shù)f（x）=ln（x+2）a（x+1）（a0）（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若x2，證明：1ln（x+2）x+1考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。專題：綜合題。分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（2，+），f（x）=a=，由a0，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞區(qū)間（2）由（1）知，a=1時，f（x）=ln（x+2）（x+1），此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+）所以，x2時，=，由此能證明當(dāng)x2時，1ln（x+2）x+1解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（2，+）

15、，f（x）=a=，a0，=2，令f（x）0，得2x，令f（x）0，得所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+）（2）由（1）知，a=1時，f（x）=ln（x+2）（x+1），此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+）所以，x2時，=，當(dāng)x（2，1）時，g（x）0，當(dāng)x（1，+）時，g（x）0當(dāng)x2時，g（x）g（1），即ln（x+2）+10，ln（x+2）所以，當(dāng)x2時，1ln（x+2）x+1點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，證明不等式考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考

16、的重點解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答7已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）x（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（）若x1，證明：考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；對數(shù)函數(shù)的定義域；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。專題：綜合題。分析：（）函數(shù)f（x）的定義域為（1，+）f'（x）=，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間（）由（）知，當(dāng)x（1，0）時，f'（x）0，當(dāng)x（0，+）時，f'（x）0，故ln（x+1）x0，ln（x+1）x令，則=由此能夠證明當(dāng)x1時，解答：（）解：函數(shù)f（x）的定義域為（1，+）f'（x）=1=（2分）由f'（x）0及x1，得x0當(dāng)x（0，

17、+）時，f（x）是減函數(shù)，即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+）4（）證明：由（）知，當(dāng)x（1，0）時，f'（x）0，當(dāng)x（0，+）時，f'（x）0，因此，當(dāng)x1時，f（x）f（0），即ln（x+1）x0，ln（x+1）x（6分）令，則=（8分）當(dāng)x（1，0）時，g'（x）0，當(dāng)x（0，+）時，g'（x）010當(dāng)x1時，g（x）g（0），即 0，綜上可知，當(dāng)x1時，有（12分）點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性綜合性強，難度大，是高考的重點解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)

18、解答8已知函數(shù)（1）當(dāng)a=1時，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（0，1內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)；（2）當(dāng)x（0，+）時f（x）1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)恒成立問題。專題：計算題。分析：（1）先任意取兩個變量，且界定其大小，再作差變形看符號，注意變形到等價且到位（2）先化簡不等式，f（x）0，再由分式不等式等價轉(zhuǎn)化整式不等式ax2x+10恒成立，然后采用分離常數(shù)法求實數(shù)a的取值范圍即可解答：解：（1）任意取x1，x2（0，1且x1x2因為x1x2，所以x1x200x1x21，所以x1x210所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），所以f（x）在（ 0，1上是單調(diào)減函數(shù)（2）x（0，+），f（x）=恒成立，等價于當(dāng)x（0，+）時ax2x+10恒成立即可，a在x（0，+）恒成立 又 （0，+），令g（x）=（ ）2+=（ ）2+a故a的取值范圍，+）點評：本題對學(xué)生的程度要求比較高，有一定的難度，主要考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，及不等式的等價轉(zhuǎn)化