三角形的中位線習(xí)題精講精析

1、三角形的中位線三角形的中位線回顧與聯(lián)想：回顧與聯(lián)想： ABCD(1) ABCD, BCAD(2) AB=CD，BC=AD(4) A= C ， B= D(5) AO=OC, BO=OD平行四邊形的判定方法平行四邊形的判定方法A 。BA、B兩點被池塘隔開，現(xiàn)在要測量出兩點被池塘隔開，現(xiàn)在要測量出A、B兩兩點間的距離點間的距離 ，但又無法直接去測量，怎么辦？，但又無法直接去測量，怎么辦？這堂課，我們將教大家一種測量的方法。這堂課，我們將教大家一種測量的方法。連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線三角形的中位線三角形有三角形有三條三條中位線中位線DD、 E E分別為分別為A

2、BAB、ACAC的中點的中點DEDE為為ABCABC的中位線的中位線 三角形的三角形的中位線中位線和三角形的和三角形的中線中線是否相同？是否相同？注意注意DFDF、EFEF也為也為ABCABC的中位線的中位線E ED DF FA AC CB B畫出畫出ABCABC中所有的中中所有的中線線 注意：注意：三角形的三角形的中位線中位線是連結(jié)三角形是連結(jié)三角形兩邊中點兩邊中點的線段的線段三角形的三角形的中線中線是連結(jié)是連結(jié)一個頂點一個頂點和和它的對邊中點它的對邊中點的線段的線段 區(qū)分三角形的中位線和中線：區(qū)分三角形的中位線和中線：v 理解三角形的中位線定義的理解三角形的中位線定義的兩層兩層含義含義:

3、: DE DE為為ABCABC的中位線的中位線 D D、E E分別為分別為ABAB、ACAC的中點的中點 DEDE為為ABCABC的中位線的中位線 D D、E E分別為分別為ABAB、ACAC的中點的中點v 一個三角形共有一個三角形共有三三條中位線。條中位線。ABCD。E。F 在在ABCABC中，中位線中，中位線DE和邊和邊BC什么關(guān)系什么關(guān)系?DE和邊和邊BC關(guān)系關(guān)系數(shù)量關(guān)系：數(shù)量關(guān)系：位置關(guān)系：位置關(guān)系：DEBCABCDE平行平行DE是是BC的一半的一半觀察猜想觀察猜想 如圖，點如圖，點D、E分別是分別是ABC的邊的邊AB、AC的中點，求證的中點，求證DEBC且且DE= BC21ABCDE

4、BCADEF證明：延長證明：延長DE到到F,使使EF=DE,連接連接FC、DC、AF四邊形四邊形ADCF是平行四邊形是平行四邊形四邊形四邊形DBCF是平行四邊形是平行四邊形AE=ECCFDA，CF=DACFBD，CF=BD DFBC，DF=BC又又 DE= DF21DEBC且且DE= BC21想一想：還可以怎樣做輔助線？ 三角形的中位線三角形的中位線平行平行于第三邊，于第三邊，且且等于等于第三邊的第三邊的一半一半用符號語言表示用符號語言表示DABCEDE是是ABCABC的中位線的中位線 DEBC，DE= BC.21三角形中位線定理三角形中位線定理 證明證明平行平行問題問題 證明一條線段是另一條

5、線段的證明一條線段是另一條線段的兩倍兩倍或或一半一半適用范圍適用范圍:A 。BC 。D。E如圖，在如圖，在A、B外選一點外選一點C，連結(jié)，連結(jié)AC和和BC，并分別找出并分別找出AC和和BC的中點的中點D、E，如果能，如果能測量出測量出DE的長度，也就能知道的長度，也就能知道AB的距離了。的距離了。ABCDEF練一練練一練 三角形三條中位線所圍成三角三角形三條中位線所圍成三角形周長是形周長是原三角形周長的一半原三角形周長的一半ABCDEFGH2121有中點連線而無三角形有中點連線而無三角形,要作輔助線產(chǎn)生三角形要作輔助線產(chǎn)生三角形有三角形而無中位線有三角形而無中位線,要連結(jié)兩邊中點得中位線要連結(jié)

6、兩邊中點得中位線溫馨提示：溫馨提示： 例例3：已知：已知 ABCD中，中，AC、BD相交于點相交于點O，E、F、G、H分別是分別是AB、OB、CD、OD的的中點。求中點。求 證：證：HEF FGH。1已知：如圖，已知：如圖，E、F、G、H分別是分別是AB、BC、CD、DA的中點求證：的中點求證：四邊形四邊形EFGH是平行四邊形是平行四邊形課堂練習(xí)課堂練習(xí)2 2、ABCABC中，中，D D是是ABAB中點，中點，E E是是ACAC上的點，上的點，且且3 3AEAE=2=2ACAC，CDCD、BEBE交于交于O O點點. . 求證：求證：OEOE= = BEBE. . 41課堂練習(xí)課堂練習(xí)總結(jié)總結(jié)

7、通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？3.3.4.4.線段的倍分線段的倍分小結(jié)小結(jié)證法四：證法四：如圖，過如圖，過E作作AB的平行線交的平行線交BC于于F，自，自A作作BC的平行線交的平行線交FE于于GAGBCEAG=ECFAEG CEFAG=FC，GE=EF又又ABGF，AGBF四邊形四邊形ABFG是平行四邊形是平行四邊形BF=AG=FC，AB=GF又又D為為AB中點，中點，E為為GF中點，中點，DB=EF四邊形四邊形DBFE是平行四邊形是平行四邊形DEBF，即，即DEBC，DE=BF=FC即即DE=1/2BCA AB BC CED DF FG G過過D作作DEBC，交，交AC于于E點點D為為AB邊

8、上的中點邊上的中點所以所以DE與與DE重合，因此重合，因此DEBC同樣過同樣過D作作DFAC，交，交BC于于FBF=FC= 1/2BC (經(jīng)過三角形一邊的中點與經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊另一邊平行的直線必平分第三邊)四邊形四邊形DECF是平行四邊形是平行四邊形 DE=FC DE=1/2BCE是是AC的中點（經(jīng)過三角形一的中點（經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊）平分第三邊）ABCDEEF證明：證明：如果如果 DE是是ABC的中位線的中位線那么那么 DEBC， DE=1/2BC 證明證明平行平行問題問題 證明一條線段是另一條線段

9、證明一條線段是另一條線段的的2倍倍或或1/2用用 途途ABCDE1.如圖如圖1：在：在ABC中，中，DE是中位線是中位線 （1）若）若ADE=60， 則則B= 度，為什么？度，為什么？ （2）若）若BC=8cm， 則則DE= cm，為什么？，為什么？ 2.如圖如圖2：在：在ABC中，中，D、E、F分別分別 是各邊中點是各邊中點 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 則則DEF的周長的周長= cm圖1圖260412ABCD。EBACD 。E。F5433. 梯形梯形ABCD中中ADBC，對角線，對角線AC、BD相交于點相交于點O，A、B、C、D分別是分別是AO、BO、CO、DO中點，則四邊

10、形中點，則四邊形ABCD是是_若梯形若梯形ABCD周長為周長為10，由四邊形，由四邊形ABCD的周長為的周長為_ABCDOABCD梯形梯形5A 。BC 。D。E4. 在在A、B外選一點外選一點C，連結(jié)，連結(jié)AC和和BC，并分別找出，并分別找出AC和和BC的中點的中點D、E，如果能測量出，如果能測量出DE的長度，的長度，也就能知道也就能知道AB的距離了。為什么？如果測的的距離了。為什么？如果測的DE =20m，那么那么A、B兩點間的距離是多少？為什么？兩點間的距離是多少？為什么？2040隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，同隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，同學(xué)們將會有更多的辦法來學(xué)們將會有更多的辦法來解決這個問題解決這個問

11、題順次連結(jié)一個四邊順次連結(jié)一個四邊形各邊中點，會得形各邊中點，會得到什么樣的圖形呢？到什么樣的圖形呢？例例1.求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點，所得的求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形四邊形是平行四邊形求證：求證：四邊形四邊形EFGHEFGH是平行四邊形是平行四邊形ADCBEFGH證明證明: :連結(jié)連結(jié)ACACAH=HD CG=GDAH=HD CG=GDHGACHGACAC21HG( (三角形的中位線平行于第三邊三角形的中位線平行于第三邊, ,并且等于它的一半并且等于它的一半) )同理同理EFACEFACAC21EFHGEFHGEF且且HG=EFHG=EF四邊形四邊形E

12、FGHEFGH是平行四邊形是平行四邊形分別是分別是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中點的中點. .已知已知：在四邊形在四邊形ABCDABCD中中,E.F.G.H,E.F.G.HABCDEGHFDCBAHGFE 在四邊形在四邊形ABCD另加條件另加條件AC=BD， 四邊形四邊形EFGH是是菱形菱形，為什么？為什么？ 在四邊形在四邊形ABCD另加條件另加條件ACBD，四邊形四邊形EFGH是什么是什么特殊四邊形特殊四邊形？為什么？為什么？ 若四邊形若四邊形EFGH是是正方形正方形，AC與與BD應(yīng)滿足什么應(yīng)滿足什么條件條件？ 2. 連結(jié)連結(jié)BD 證：證：EH = FG 3.連結(jié)連結(jié)AC、BD

13、，證：，證：EFHG， EHFG 4.連結(jié)連結(jié)AC、BD， 證：證：EF=HG， EH=FG 1 1.連結(jié)連結(jié)AC， 證：證：EF= HG如果四邊形如果四邊形ABCD是特殊的四是特殊的四邊形，將會有特殊的平行四邊邊形，將會有特殊的平行四邊形形EFGH出現(xiàn)嗎？出現(xiàn)嗎？1. 如圖如圖,AF=FD=DB,FGDEBC,PE=1.5,則則BC= BC= 34.5991.52. 已知：如圖已知：如圖 E、F把四邊形把四邊形ABCD的對角線的對角線BD三等分，三等分，CE、CF的延長線分別平分的延長線分別平分AB、AD . 求證：四邊形求證：四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形 .ABDCEFGH已知：

14、如圖已知：如圖 E、F分別是分別是AC、BD的中點，的中點，CD AB，E、F不都是對角線的交點不都是對角線的交點 .求證：求證： EF 1/2（CD AB） .圖圖2DABCFEG圖圖3注意：注意：在處理這些問題時在處理這些問題時,要求出現(xiàn)三角形及中位線要求出現(xiàn)三角形及中位線有中點連線而有中點連線而無三角形無三角形,要作輔助線產(chǎn)生三角形要作輔助線產(chǎn)生三角形有三角形而有三角形而無中位線無中位線,要作中點的連線或過中點作要作中點的連線或過中點作平行線平行線定定 理理 應(yīng)應(yīng) 用：用：定理為證明定理為證明平行關(guān)系平行關(guān)系提供了新的工具提供了新的工具定理為證明一條線段是另一條線段的定理為證明一條線段是

15、另一條線段的2 2倍倍或或 1/21/2提供了一個新的途徑提供了一個新的途徑解決解決“中點問題中點問題”三角形的三角形的中位線中位線是連結(jié)三角形是連結(jié)三角形兩邊中點兩邊中點的線段的線段三角形的三角形的中線中線是連結(jié)是連結(jié)一個頂點一個頂點和和它的對邊中點它的對邊中點的線段的線段三角形的三角形的中位線中位線是三角形中一種重要的線段是三角形中一種重要的線段,它與它與三角形的中線三角形的中線不同不同：理解三角形的中位線定義的理解三角形的中位線定義的兩層兩層含義含義: : DE DE為為ABCABC的中位線的中位線 DD、E E分別為分別為ABAB、ACAC的中點的中點 DEDE為為ABCABC的中位線

16、的中位線 D D、E E分別為分別為ABAB、ACAC的中點的中點一個三角形共有三條中位線。一個三角形共有三條中位線。ABCD。E。F 如果如果 DE是是ABC的中位線的中位線 那么那么 DEBC， DE=1/2BC 證明平行證明平行 證明一條線段是另一條線段證明一條線段是另一條線段的的2倍或倍或1/2ABCDE 三角形的中位線定理三角形的中位線定理 是三是三 角形角形 的一個重要性質(zhì)定理：的一個重要性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的 一半一半. 定理的主要用途：定理的主要用途：必做題：必做題：P184 頁頁 4 、6 ; P18

17、0頁頁 4 讓學(xué)生自選一個順次連結(jié)特殊四邊形讓學(xué)生自選一個順次連結(jié)特殊四邊形中點的問題，總結(jié)形成文字命題，并加中點的問題，總結(jié)形成文字命題，并加以證明以證明把證明三角形中位線定理的幾種方法把證明三角形中位線定理的幾種方法整理出來整理出來選做題：選做題：順次連結(jié)平行四邊形四邊中點所得的順次連結(jié)平行四邊形四邊中點所得的四邊形是四邊形是順次連結(jié)等腰梯形四邊中點所得的四順次連結(jié)等腰梯形四邊中點所得的四邊形是邊形是順次連結(jié)矩形四邊中點所得的四邊形順次連結(jié)矩形四邊中點所得的四邊形是是順次連結(jié)菱形四邊中點所得的四邊形順次連結(jié)菱形四邊中點所得的四邊形是是順次連結(jié)正方形四邊中點所得的四邊順次連結(jié)正方形四邊中點所得的四邊形是形是平行四邊形菱形菱形矩形正方形填空題：填空題：已知已知:梯形梯形ABCD,ADBC,對角線對角線AC、BD相交于點相交于點O, A、B、C、D分別是分別是AO、BO、CO、DO的中的中 點點,求證求證:四邊形四邊形ABCD是梯形是梯形 梯形梯形ABCD的周長的周長=梯形梯形ABCD的周長的的周長的2倍倍ABCDODCBA證明證明: AD為為OAD的的_ AD _1/2AD 同理：同理：BC =_ ADBC AD _BC，由，由ADBC AD _BC 四邊形四邊形ABCD是梯形是梯形 _為為OAD的中位線的中位線AD=_AD 同理：同理：AB=_=2BC, C