GPS高程擬合中二次曲面的特征根和高斯曲率

1、測繪通報BULLETIN OF SURVEYING AND MAPPING1999年 第7期 No.7 1999GPS高程擬合中二次曲面的特征根和高斯曲率向虎雛摘要本文根據(jù)GPS高程擬合中二次曲面平行于非零向量弦的中點共面等性質(zhì)，推導(dǎo)出其特征根，從而界定使用的曲面分為且僅分為橢圓拋物面和雙曲拋物面。阜新GPS網(wǎng)試驗表明，簡捷明快的特征根，是研究似大地水準(zhǔn)面事半功倍的實用工具。同時，從高斯曲率|K|<(4a3a4-a25)0的分析中，發(fā)現(xiàn)二次曲面甚至一次平面原則上滿足GPS工程中高程擬合要求的現(xiàn)象。文章還具體介紹了特征根的使用方法。一、概述GPS定位技術(shù)能夠在3維空間有效地進行測量，如果離

2、析出其中與高程相關(guān)的成份，可供水準(zhǔn)測量使用。不過GPS獲得的是只有純數(shù)學(xué)意義的大地高H，而人們需要的是正常高h，兩者之間存在如下關(guān)系：H-h(1)式中稱高程異常，表示似大地水準(zhǔn)面至參數(shù)橢球面的距離。它是由于地下物質(zhì)及其密度分布不均勻產(chǎn)生的重力異常導(dǎo)致的，具有鮮明的物理特征。這樣，GPS高程問題實質(zhì)上是如何確定似大地水準(zhǔn)面了。似大地水準(zhǔn)面是點位的函數(shù)(x,y)，由于已經(jīng)延伸進大陸內(nèi)部的緣故，卻不是“解析的面”。鑒于二次曲面的數(shù)學(xué)模型簡單、幾何形狀規(guī)范，需要的已知水準(zhǔn)資料又比較少等優(yōu)點，武測的GPSADJ和同濟的TGPPS軟件都是用二次多項式模擬某種二次解析曲面來完成高程擬合1：z=(x,y)a0

3、+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xya0+a1x+a2y+*(x,y)(2)式中(x,y)為相對歸算中心點的坐標(biāo)差。a0的量綱為長度單位；a1和a2無量綱；a3，a4，a5的量綱為長度單位-1。其中二次型(x,y)a3x2+a4y2+a5xy=(3)二、二次曲面的特征根與曲面分類2給定曲面式(2)，若該曲面平行于非零向量(l,m,n)的弦的兩端點為M1（x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，則弦的中點M(x,y,z)為(圖1)圖1(4)因為此弦與平行，即令x2-x1=kl,y2-y1=km,z2-z1kn(5)式中k為比例因子。又因為弦的端點M1,M2都在曲面上，所以滿足式(

4、2)即z1a0+a1x1+a2y1+a3x21+a4y21+a5x1y1z2a0+a1x2+a2y2+a3x22+a4y22+a5x2y2由上兩式之差得a3(x22-x21)+a4(y22-y21)+a5(x2y2-x1y1)+a1(x2-x1)+a2(y2-y1)-(z2-z1)=0(6)從式(4)、(5)知x22-x21=2klxy22-y212kmyx2y2-x1y1=(x2+x1)(y2-y1)+(x2-x1)(y2+y1)k(mx+ly)則式(6)為即(7)上式表明曲面中所有平行于非零向量的弦的中點共面，此平面平行于z軸。如果該平面(7)又垂直于諸弦，則稱為曲面的對稱平面，曲面被其劃

5、分的兩側(cè)互為鏡像。若非零向量(l,m,n)垂直平面(7)，則n0，而l,m不全為零。即令即(8)式中亦(9)由于l,m不全為零，則即(10)上式為曲面(3)的特征方程，不難得出其解(即比例因子)為對應(yīng)的特征根：(11)因為式(8)中出現(xiàn)的A陣正是曲面中二次型部分式(3)*(x,y)的系數(shù)矩陣，它是二階實對稱陣，總存在正交變換，將其化為標(biāo)準(zhǔn)型：*(x,y)=1x2+2y2若1，2同號，曲面為橢圓拋物面(圖1)；反之，曲面為雙曲拋物面(馬鞍狀)(圖2)。二次多項式函數(shù)式(2)表征的曲面分為且僅分為這兩種類型。分析式(11)可得出決定曲面的因素是該多項式中二次型部分*(x,y)三個系數(shù)的結(jié)論。至于常

6、數(shù)項a0和線性項a1x，a2y,通過坐標(biāo)變換都會吸收進平方項中去，它們不改變曲面的類型和形狀。如果*(x,y)0，則曲面退化為平面。圖2阜新GPS高程擬合原理圖三、特征根的使用方法簡捷明快的特征根不僅宏觀上界定了曲面的類型，還取代和簡化了通常坐標(biāo)變換較繁瑣的計算。這種具有良好操作性能的方法，莫過于用下列算例來表述，由給定曲面(12)得110，25當(dāng)110時，根據(jù)方程組(9)得取l=2,m=1作它們的非零解，得向量1(2，1)。當(dāng)25時，同理可得另一向量2(1，-2)。顯然，分別對應(yīng)于1,2的非零向量1，2正交(因為120)。按1,2確定新x和y坐標(biāo)軸的基底向量作第一次坐標(biāo)變換(旋轉(zhuǎn))代入(12

7、)原式，其中二次型部分*(x,y)9x2+6y2+4xy=10x2+5y2=1x2+2y2而常數(shù)項和線性項部分則原式為現(xiàn)作第二次坐標(biāo)變換(平移)最后得標(biāo)準(zhǔn)型z10x2+5y2=1x2+2y2因為1與2同號，曲面(12)為橢圓拋物面。其特征根的使用決定了無論是第一次旋轉(zhuǎn)變換時二次型部分*(x,y)的系數(shù)，還是第二次平移變換后曲面的系數(shù)均為它的特征根。通過第二次變換還確定了曲面頂點的原坐標(biāo)值，這對討論GPS工程中擬合的似大地水準(zhǔn)面是有指導(dǎo)意義的。四、特征根在阜新GPS網(wǎng)的試驗和高斯曲率分析34遼寧阜新引水工程GPS網(wǎng)長80 km，由26個GPS控制點組成(圖2)，其中9個有三等水準(zhǔn)成果(表1)。測

8、區(qū)為低丘地區(qū)，地勢呈東北向西南傾斜狀。如表1所示，啟用6個分布較均勻的約束點高程異常，其中3號點(北哈拉火燒)為歸算中心，根據(jù)式(2)構(gòu)建似大地水準(zhǔn)面：Z=74.658+1.46×10-5X-4.71×10-5Y+3.2×10-10X2+2.2×10-10Y2-11.8×10-10XY(13)式中X，Y，Z的單位為m。由上式計算8、17、22號點的水準(zhǔn)hc，經(jīng)與已知三等水準(zhǔn)成果比對，互差平均值29 mm，最大值為40 mm(表2)，表明高程擬合成功。表1阜新GPS網(wǎng)高程資料一覽表m點號大地高(H)三等水準(zhǔn)(h)高程異常()(相對BJ-54系)B

9、J-54坐標(biāo)差備注WGS-84BJ-54XY3188.37079.164153.822-74.6580.0000.000中心點6152.18242.983117.759-74.776-8 282.095-5 644.140約束點8149.412-13 547.142-10 188.866檢核點11188.98979.794154.732-74.938-20 561.257-16 772.498約束點15196.30287.111162.027-74.916-28 582.120-22 571.485約束點17184.307-31 300.863-27 242.652檢核點20228.80911

10、9.621194.692-75.071-33 822.743-35 809.234約束點22237.993-31 981.773-40 367.548檢核點23169.15959.972135.212-75.240-34 069.856-43 095.478約束點表2檢核點水準(zhǔn)對比表m點號三等水準(zhǔn)(h)擬合高程(hc)互差(h-hc)8149.412149.3720.04017184.307184.2910.01622237.993238.023-0.030由特征根計算公式(11)得18.6211485×10-102-3.2211485×10-10因為1，2異號，阜新擬合的

11、似大地水準(zhǔn)面為雙曲拋物面。針對1，2確定新坐標(biāo)系基底描述i,j基底正交程度的量ij7×10-9，滿足使用要求。首先，作旋轉(zhuǎn)變換則曲面為Z=74.658+4.26183544×10-5x-2.48041497×10-5y+1x2+2y2整理之，得Z=74.609=1(x+24717.330)2+2(y+38502.028)2然后，再作平移變換(14) 最后雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)式為其實，人們最熟悉的WGS-84、BJ-54等參考橢球也是二次曲面中的一種。除了函數(shù)都具有連續(xù)平滑性之外，與GPS高程擬合中討論的橢圓拋物面、雙曲拋物面(包括退化成的平面)不同的是：前者屬有邊界封

12、閉式的有心曲面，所以歷來成為適用于全球范圍的經(jīng)典橢球。而后者沒有中心，但有頂點，是一種對于自變量x,y為單值的開放性的無界曲面。由于其各細(xì)部的幾何形狀不同，通過已知高程異常的約束，使采用其中某局部的曲面片模擬GPS測區(qū)內(nèi)的似大地水準(zhǔn)面已經(jīng)成為可能。如圖2所示，從以歸算中心3號點為原點的O-XYZ測站坐標(biāo)系與以雙曲拋物面頂點為原點，以其兩對稱平面對應(yīng)的主向為軸的O-xyz坐標(biāo)系之間存在式(14)的平移量知，這個碩大馬鞍的頂點位于測區(qū)東北方向，距3號點45.753 km,方位為57°182.2處。因此，不要以為只要用了二次曲面，頂點就一定落在作業(yè)區(qū)內(nèi)，模型(2)與某一切平面存在一個切點，

13、僅有一個凹面或凸面1。微分幾何認(rèn)為，這種切平面應(yīng)有無窮多，利用它們可以定量描述曲面上任何一處幾何形狀彎曲程度的量是高斯曲率K4參考文獻1已經(jīng)給出了4個偏導(dǎo)的數(shù)學(xué)表達式，本文只需補充最后一個二階偏導(dǎo)：則K4a3a4-a25/1+(2a3x+a5y+a1)2+(2a4y+a5x+a2)22因為分母含有x,y，K是點位的函數(shù)。但分母恒大于1，所以|K|<|4a3a4-a25|。|K|愈大，表示曲面在該點彎曲程度愈大；反之，曲面彎曲甚微。對于阜新使用的曲面式(13)4a3a4-a25(4×3.2×2.2-11.82)×10-20=-1.1108×10-18

14、0(15)可知高斯曲率|K|極小，它表明阜新低丘地區(qū)的似大地水準(zhǔn)面相當(dāng)平展，也反演出其地下物質(zhì)及其密度分布是比較均勻的。微分幾何稱任何曲面上K<0的點為雙曲點，形狀如圖2中頂點O處，其鄰近的曲面在切平面的兩側(cè)。式(15)說明雙曲拋物面上處處都是雙曲點；當(dāng)然，橢圓拋物面也有相似的結(jié)論。正是模型式(2)自身具備的這種調(diào)節(jié)功能，才實現(xiàn)了似大地水準(zhǔn)面的構(gòu)建。阜新使用的曲面|K|<1.1108×10-18，反映局域似大地水準(zhǔn)面起伏舒緩的特征是否具有普遍性，尚需探討，不過這種現(xiàn)象隨著研究的局域范圍縮小愈趨明朗。長江水利委員會在三峽壩區(qū)高差為200 m僅2.6 km2范圍內(nèi)，只用了3個國家一等水準(zhǔn)點，采用退化了的平面模型，擬合高程的精度達到了±6.5 mm,與已知水準(zhǔn)高程比較，最大差值為11.5 mm的成果，應(yīng)該具有一定代表性5?？偠灾?，在GPS高程擬合時，使用的二次曲面蘊藏著簡捷明快的特征根，它深刻地說明了曲面的幾何性質(zhì)，是分析似大地水準(zhǔn)面行之有效的實用工具。通過阜新GPS網(wǎng)的高斯曲率研究，發(fā)現(xiàn)了二次曲面甚至一次平面模型原則上可以滿足工程中高程擬合的現(xiàn)象；如果產(chǎn)生異常，無疑對地質(zhì)找礦等帶來有價值的信息。相對于5.11億平方公里廣袤地球，GPS工程作業(yè)區(qū)總是微小的，在這微小的測區(qū)范圍內(nèi)，“以二次曲面甚至平面描述一般曲面”模擬局域似