例談坐標(biāo)系中的折疊問(wèn)題

1、折疊問(wèn)題在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用例談（初三） 這是正在悄然興起的一個(gè)中考熱點(diǎn).因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系中，幾何圖形的位置和大小都可以用“數(shù)”來(lái)表示，折疊問(wèn)題又涉及全等變換和軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題下面，我們通過(guò)2005年中考題來(lái)研究平面直角坐標(biāo)系下的折疊問(wèn)題：例1 （2005·大連）如圖，把矩形OABC放置在直角坐標(biāo)系中，OA6，OC8，若將矩形折疊，使點(diǎn)B與O重合，得到折痕EF（1） 可以通過(guò)_辦法，使四邊形AEFO變到四邊形BEFC的位置（填“平移”、“旋轉(zhuǎn)”或“翻轉(zhuǎn)”）；ABCOEFxy圖1（2） 求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3） 若直線(xiàn)l把矩形OABC的面積分成相等的兩部分，則直線(xiàn)l必經(jīng)過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)是_.思路探

2、求:（1）分析題意可知，矩形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，而本題的折痕與對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)應(yīng)是矩形對(duì)稱(chēng)中心，所以可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)的辦法（2）連結(jié)OE，OE=BE，解RtAOE即可(3)由第(1)小題分析可知,對(duì)稱(chēng)中心應(yīng)為折痕與對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn),過(guò)此點(diǎn)引兩坐標(biāo)軸垂線(xiàn)段,由三角形中位線(xiàn)性質(zhì)可求出對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo).答 案:(1)旋轉(zhuǎn);(2)E(6,); (3) (3,4).例2 （2005·日照） 如圖2，OAB是邊長(zhǎng)為4+2的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上.將OAB折疊，使點(diǎn)A與OB邊上的點(diǎn)P重合，折痕與OA、AB的交點(diǎn)分別是E、F如果PEx軸, （1）求點(diǎn)P、E的坐標(biāo)； （2）如果拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P、E

3、，求拋物線(xiàn)的解析式圖2思路探求: （1）由于題設(shè)可知POE為直角三角形,且POE=600,于是可設(shè)PO=m,則由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知, .所以可求出m=2.于是可求出點(diǎn)P、E的坐標(biāo).(2)把點(diǎn)P、E的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式即可求出b,c.答 案:（1）點(diǎn)P（0，2）、E（）的坐標(biāo)（2）圖3-1例3 （2005·蘇州）如圖3-1，平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），現(xiàn)將沿OD翻折，得到；再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將沿DE翻折，得到，并使直線(xiàn)DG、DF重合（1）如圖3-2，若翻折后點(diǎn)F落在OA邊上，求直線(xiàn)DE的函數(shù)關(guān)

4、系式；（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求的最小值；圖3-2（3）一般地，請(qǐng)你猜想直線(xiàn)DE與拋物線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在圖3-2的情形中通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證你的猜想；如果直線(xiàn)DE與拋物線(xiàn)始終有公共點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D一中作出這樣的公共點(diǎn)思路探求: (1)當(dāng)點(diǎn)F落在OA邊上時(shí),四邊形OFDC應(yīng)為正方形,故D(6,6),此時(shí)邊形DGEB也為正方形,BE=BD=4,故E(10,2).可出求直線(xiàn)DE的函數(shù)關(guān)系式.(2)經(jīng)過(guò)分析,發(fā)現(xiàn)OCDDBE,可寫(xiě)出比例式,可得,即可得最小值.(3)可根據(jù)特殊位置關(guān)系猜想直線(xiàn)DE與拋物線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),并進(jìn)行驗(yàn)證.答 案:（1）y=-x+12 （2）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式: ,當(dāng)a=5時(shí)，b最小

5、值= （3）猜想：直線(xiàn)DE與拋物線(xiàn)證明：由（1）可知，DE所在直線(xiàn)為y=-x+12 代入拋物線(xiàn)，得 化簡(jiǎn)得x2-24x+144=0，所以=0 所以直線(xiàn)DE與拋物線(xiàn)作法一：延長(zhǎng)OF交DE于點(diǎn)H作法二：在DB上取點(diǎn)M，使DM=CD，過(guò)M作MHBC，交DE于點(diǎn)H例（2005·南通）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)ykxm（ k ）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，4），且與y軸相交于點(diǎn)C點(diǎn)B在y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OBOA72 記ABC的面積為S（1）求m的取值范圍；（2）求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)點(diǎn)B在y軸的正半軸上，當(dāng)S取得最大值時(shí)，將ABC沿AC折疊得到ABC，求點(diǎn)B的坐標(biāo)思路探求: (1)由于直線(xiàn)y=

6、kxm（k）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，4），×2km=4，k =1m k，1m即可解出.(2)由 A點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4），OA=2又OB=OA72，OB=7B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，7），或（0，7） 分兩種情況進(jìn)行討論.(3) 當(dāng) m=2時(shí)，一次函數(shù)S=m7取得最大值5，這時(shí)C（0，2）畫(huà)出圖形,進(jìn)行分析,解RtBCE即可.答 案:（1）解得2m6（2）直線(xiàn)y=kxm與y軸的交點(diǎn)為C（0，m）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，7）時(shí)，由于C（0，m），2m6，故BC=7m S=·2·BC=（7m）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，7）時(shí)，由于C（0，m），2m6，故BC=7mS=·2·BC=（7m） （3）如圖4，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的垂線(xiàn)AD、BE，垂足為D、EyA（，4）B（0，7）C（0，2）OxB(圖4）DE則AD=2，CD=42=2在RtACD中，tanACD=，ACD=60°由題意，得AC B=ACD