初三數(shù)學知識點歸納整理

1、北師大版初中數(shù)學定理知識點匯總九年級(上冊) 第一章 證明(二)等腰三角形的“三線合一”：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形分成兩個全等的直角三角形，其中一個銳角等于30º，這它所對的直角邊必然等于斜邊的一半。有一個角等于60º的等腰三角形是等邊三角形。如果知道一個三角形為直角三角形首先要想的定理有：勾股定理：（注意區(qū)分斜邊與直角邊）在直角三角形中，如有一個內(nèi)角等于30º，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（此定理將在第三章出現(xiàn)）垂直平分線是

2、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線。（注意著重號的意義）<直線與射線有垂線，但無垂直平分線>線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。ACBO圖1圖2OACBDEF三角形的三邊的垂直平分線交于一點，并且這個點到三個頂點的距離相等。（如圖1所示，）角平分線上的點到角兩邊的距離相等。角平分線逆定理：在角內(nèi)部的，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。三角形三條角平分線交于一點，并且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的內(nèi)心。(如圖2所示，)第二章

3、一元二次方程只含有一個未知數(shù)的整式方程，且都可以化為（a、b、c為常數(shù)，a0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。把（a、b、c為常數(shù)，a0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項系數(shù)；b為一次項系數(shù)；c為常數(shù)項。解一元二次方程的方法：配方法 <即將其變?yōu)榈男问?gt;公式法 （注意在找時須先把方程化為一般形式）分解因式法 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”與“十字相乘”）配方法解一元二次方程的基本步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式；將二次項系數(shù)化成1；把常數(shù)項移到方程的右邊；兩邊加上一次項系數(shù)的一半的平方；把方程轉(zhuǎn)化成的形式；兩邊開方求其根

4、。根與系數(shù)的關系：當b2-4>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；當b2-40時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2-4<0時，方程無實數(shù)根。如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則有：。一元二次方程的根與系數(shù)的關系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意以下公式：其他能用或表達的代數(shù)式。（3）已知方程的兩根x1、x2，可以構(gòu)造一元二次方程：（4）已知兩數(shù)x1、x2的與與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程 的根在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：設未知數(shù)（在設未知數(shù)時，大多數(shù)情況只要設問題為x；但也有時也須根據(jù)已

5、知條件及等量關系等諸多方面考慮）；尋找等量關系（一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。處理問題的過程可以進一步概括為： 第三章 證明（三）平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直

6、線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）矩形的判定：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。對角線相等的平行四邊形

7、是矩形。四個角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形與平行邊形四者之間的關系(如圖3所示)：梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。平行四邊形菱形矩形正方形一組鄰邊相等一組鄰邊相等且一個內(nèi)角為直角（或?qū)蔷€互相垂直平分）一內(nèi)角為直角一鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個內(nèi)角為直角

8、（或?qū)蔷€相等）鵬翔教圖3兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。一條腰與底垂直的梯形叫做直角梯形。等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等，對角線相等。同一底上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。夾在兩條平行線間的平行線段相等。在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半第四章 視圖與投影三視圖包括：主視圖、俯視圖與左視圖。 三視圖之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視圖要畫在正視圖的右邊。 主視圖：基本可認為從物體正面視得的圖象 俯視圖：基本可認為從物體上面視得的圖象 左視圖：基本可認為從物體左面視得的圖象視圖中每一

9、個閉合的線框都表示物體上一個表面(平面或曲面)，而相連的兩個閉合線框一定不在一個平面上。在一個外形線框內(nèi)所包括的各個小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個小的平面體（或曲面體）。在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。區(qū)分平行投影與中心投影：觀察光源；觀察影子。眼睛的位置稱為視點；由視點發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。從正

10、面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當光線與投影垂直時的投影。點在一個平面上的投影仍是一個點；線段在一個面上的投影可分為三種情況：線段垂直于投影面時，投影為一點；線段平行于投影面時，投影長度等于線段的實際長度；線段傾斜于投影面時，投影長度小于線段的實際長度。平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：平面圖形與投影面平行的情況下，其投影為實際形狀；平面圖形與投影面垂直的情況下，其投影為一線段；平面圖形與投影面傾斜的情況下，其投影小于實際的形狀。第五章 反比例函數(shù)反比例函數(shù)的概念：一般地，（k為常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)，即y是x的反比例函數(shù)。 （x為自變量，y為因變量，其中x不能為零）反

11、比例函數(shù)的等價形式：y是x的反比例函數(shù) 變量y與x成反比例，比例系數(shù)為k.判斷兩個變量是否是反比例函數(shù)關系有兩種方法：按照反比例函數(shù)的定義判斷；看兩個變量的乘積是否為定值<即>。（通常第二種方法更適用）反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線反比例函數(shù)的畫法的注意事項：反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點法”是不能畫的；選取的點越多畫的圖越準確；畫圖注意其美觀性（對稱性、延伸特征）。反比例函數(shù)性質(zhì)：當k>0時，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當k<0時，雙曲線的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；雙曲線的兩支會無限

12、接近坐標軸（x軸與y軸），但不會與坐標軸相交。反比例函數(shù)圖象的幾何特征:(如圖4所示) PBAOPBAO圖4點P()在雙曲線上都有第六章 頻率與概率在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù)；每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率； 即：在頻率分布直方圖中，由于各個小長方形的面積等于相應各組的頻率，而各組頻率的與等于1。因此，各個小長方形的面積的與等于1。頻率分布表與頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準確，后者直觀。用一件事件發(fā)生的頻率來估計這一件事件發(fā)生的概率?？捎昧斜淼姆椒ㄇ蟪龈怕剩朔椒ú惶m用較復雜情況。假設布袋內(nèi)有m個黑球，通過多次試驗，我們

13、可以估計出布袋內(nèi)隨機摸出一球，它為白球的概率；要估算池塘里有多少條魚，我們可先從池塘里捉上100條魚做記號，再放回池塘，之后再從池塘中捉上200條魚，如果其中有10條魚是有標記的，再設池塘共有x條魚，則可依照估算出魚的條數(shù)。（注意估算出來的數(shù)據(jù)不是確切的，所以應謂之“約是”）生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學模型，它能準確地衡量出事件發(fā)生的可能性的大小，并不表示一定會發(fā)生。初中數(shù)學知識點總結(jié)(下冊)第一章 直角三角形邊的關系一. 正切：定義：在中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作，即;是一個完整的符號，它表示A的正切，記號里習慣省去角的符號“”；沒有單位，它表示一個

14、比值，即直角三角形中A的對邊與鄰邊的比；不表示“”乘以“A”；初中階段，我們只學習直角三角形中，A是銳角的正切；的值越大，梯子越陡，A越大； A越大，梯子越陡，的值越大。二. 正弦：定義：在中，銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作，即;三. 余弦：定義：在中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作，即;余切：定義：在中，銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記作，即;一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。0º30 º45 º60 º90 º01100110（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、

15、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達：若A為銳角，則當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1)當圖1角度在0°90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)01，01。同角的三角函數(shù)間的關系：倒數(shù)關系：·=1。在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊與二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程

16、，叫做解直角三角形。在中，C為直角，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有 (1)三邊之間的關系：a222；(2)兩銳角的關系：A90°；圖2hlABC (3)邊與角之間的關系：(4)面積公式:(為C邊上的高); 圖4(5)直角三角形的內(nèi)切圓半徑圖3 (6)直角三角形的外接圓半徑解直角三角形的幾種基本類型列表如下：解直角三角形的幾種基本類型列表如下： 如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3，、的方位角分別為45°、135°、225°。指北或指南方向線與目標方向

17、線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4，、的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。第二章 二次函數(shù)二次函數(shù)的概念：形如的函數(shù)，叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實數(shù)。 是二次函數(shù)的特例，此時常數(shù)0.在寫二次函數(shù)的關系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關系，列出相應的函數(shù)關系式，并確定自變量的取值范圍。二次函數(shù)y2的圖象是一條頂點在原點關于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線與x軸的交點等方面來描述。函數(shù)的

18、定義域是全體實數(shù)；拋物線的頂點在(0，0)，對稱軸是y軸(或稱直線x0)。當a0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當a0時，拋物線開口向下，并且向下方無限伸展。函數(shù)的增減性：A、當a0時 B、當a0時當a越大，拋物線開口越小；當a越小，拋物線的開口越大。最大值或最小值：當a0，且x0時函數(shù)有最小值，最小值是0；當a0，且x0時函數(shù)有最大值，最大值是0二次函數(shù)的圖象是一條頂點在y軸上且與y軸對稱的拋物線二次函數(shù)的圖象是以為對稱軸，頂點在（，）的拋物線。（開口方向與大小由a來決定）的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越快；的越小，拋物線的開口程度越大，越遠

19、離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越慢。二次函數(shù)的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，決定拋物線的開口程度大小，c決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低。二次函數(shù)的圖象與y2的圖象的關系：的圖象可以由y2的圖象平移得到，其步驟如下： 將配方成的形式；（其中，）；把拋物線向右（h>0）或向左（h<0）平移個單位，得到()2的圖象；再把拋物線向上（k>0）或向下（k<0）平移| 個單位，便得到的圖象。二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)配方成則拋物線的對稱軸：頂點坐標：（，）增減性： 若a>0，則當x<時，y隨x的增大而減??；當x>時，y隨x的增大而增大。若a

20、<0，則當x<時，y隨x的增大而增大；當x>時，y隨x的增大而減小。最值：若a>0，則當時，；若a<0，則當時，畫二次函數(shù)的圖象： 我們可以利用它與函數(shù)的關系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的描點法五點法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：先找出頂點（，），畫出對稱軸；找出圖象上關于直線對稱的四個點（如與坐標的交點等）；把上述五點連成光滑的曲線。¤二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成()2的形式求得，也可以借助圖象觀察。¤解決最大（小）值問題的基本思路是：理解問題；分析問題中的變量與常量，以及它們之間的關系；用數(shù)學的方式

21、表示它們之間的關系；做數(shù)學求解；檢驗結(jié)果的合理性、拓展性等。二次函數(shù)的圖象(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標x1，x2是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：>0 <> 拋物線與x軸有2個交點；=0 <> 拋物線與x軸有1個交點；<0 <> 拋物線與x軸有0個交點（無交點）；當>0時，設拋物線與x軸的兩個交點為A、B，則這兩個點之間的距離：化簡后即為： 這就是拋物線與x軸的兩交點之間的距離公式。第三章 圓一. 車輪為什么做成圓形1. 圓的定義： 描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段繞它固定的一

22、個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點O叫做圓心；線段叫做半徑；以點O為圓心的圓，記作O，讀作“圓O” 集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心與半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2. 點與圓的位置關系及其數(shù)量特征： 如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則點在圓上 <> ;點在圓內(nèi) <> d<r;點在圓外 <> d>r.其中點在圓上的數(shù)量

23、特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與一個定點、的距離相等。二. 圓的對稱性: 1. 與圓相關的概念：弦與直徑： 弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。 直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑?；?、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表示，以為端點的弧記為“”，讀作“圓弧”或“弧”。半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧與劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。)弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑

24、相等的兩個圓是等圓。等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.2. 圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓與一條直線來說，如果具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)弧；平分弦所對的劣弧。 上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。

25、推論: 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.三. 圓周角與圓心角的關系:1. 1°的弧的概念: 把頂點在圓心的周角等分成360份時,每一份的角都是1°的圓心角,相應的整個圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1°弧.2. 圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫成 ,這是錯誤的.3. 圓周角的定義: 頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.4. 圓周角定理: 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論1: 同弧或等弧所

26、對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；四. 確定圓的條件:1. 理解確定一個圓必須的具備兩個條件: 圓心與半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小. 經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓,經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.2. 經(jīng)過三點作圓要分兩種情況:(1) 經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓.(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點,能且僅能作一個圓.定理: 不在同一直線上的三個點確定一個圓.3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: (1)三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形

27、: 經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點的距離相等.五. 直線與圓的位置關系1. 直線與圓相交、相切相離的定義:(1)相交: 直線與圓有兩個公共點時,叫做直線與圓相交,這時直線叫做圓的割線.(2)相切: 直線與圓有惟一公共點時,叫做直線與圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點做切點.(3)相離: 直線與圓沒有公共點時,叫做直線與圓相離.2. 直線與圓的位置關系的數(shù)量特征: 設O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；d<r <>

28、 直線L與O相交. <> 直線L與O相切.d>r <> 直線L與O相離.3. 切線的總判定定理: 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.4. 切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件與結(jié)論間的關系,可得如下結(jié)論:如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.垂直于切線; 過切點; 過圓心.5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念. 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這

29、個三角形叫做圓的外切三角形.6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì): (1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過三角形頂點與內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線: 連接內(nèi)心與三角形的頂點,該線平分三角形的這個內(nèi)角.六. 圓與圓的位置關系.1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關系的定義.(1)外離: 兩個圓沒有公共點,并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.(2)外切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,每個圓上的點都在另一個圓的外部時, 叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.(3)相交: 兩個圓有兩個公共點,此時叫做這個兩個圓相交.

30、(4)內(nèi)切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點叫做切點.(5)內(nèi)含: 兩個圓沒有公共點, 并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例.2. 兩圓位置關系的性質(zhì)與判定:(1)兩圓外離 <> d>(2)兩圓外切 <> (3)兩圓相交 <> <d< (Rr)(4)兩圓內(nèi)切 <> (R>r)(5)兩圓內(nèi)含 <> d< (R>r)3. 相切兩圓的性質(zhì): 如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上

31、.4. 相交兩圓的性質(zhì):相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.七. 弧長及扇形的面積1. 圓周長公式: 圓周長2R (R表示圓的半徑)2. 弧長公式: 弧長 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數(shù))3. 扇形定義:一條弧與經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4. 弓形定義:由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形. 弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.5. 圓的面積公式.圓的面積 (R表示圓的半徑)6. 扇形的面積公式:扇形的面積 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數(shù))圖5弓形的面積公式:(如圖5)(1)當弓形所含的弧是劣弧時, (2)當弓形所含的弧是優(yōu)弧時, (3)當弓形所含

32、的弧是半圓時, 八. 圓錐的有關概念:1. 圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.2. 圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算:圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形,這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點.如果設圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長(扇形半徑)是l, 底面圓周長(扇形弧長)為c,那么它的側(cè)面積是:_圖6_P_O_B_A¤九. 與圓有關的輔助線1.如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過弦的一端作半徑為輔助線.2.如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.3.如一個

33、圓有切線的條件,常作過切點的半徑(或直徑)為輔助線.4.若條件交代了某點是切點時,連結(jié)圓心與切點是最常用的輔助線.¤十. 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個頂點都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的特征: 圓內(nèi)接四邊形的對角互補; 圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)錯角.十一.北師版數(shù)學未出理的有關圓的性質(zhì)定理1.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角。_O_C_D_A_B如圖6，分別切O于A、B，平分2弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。 推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么

34、這兩個弦切角也相等。如圖7，切O于C，則，B 3與圓有關的比例線段： 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等；_圖7推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。如圖8，如圖9，若于P，為O直徑，則24切割線定理切割線定理，從圓外一點引圓的切線與割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項；推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。如圖10， 切O于T，是割線，點A、B是它與O的交點，則2、是O的兩條割線，則5兩圓連心線的性質(zhì)如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，或者說，連心線過切點。如果兩圓相

35、交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。如圖11，O1與O2交于A、B兩點，則連心線O1O2且。6兩圓的公切線兩圓的兩條外公切線的長及兩條內(nèi)公切線的長相等。如圖12，分別切O1與O2于A、B，連結(jié)O1A，O2B，過O2作O2CO1A于C，公切線長為l，兩圓的圓心距為d，半徑分別為R，r則外公切線長：如圖13，分別切O1與O2于A、B，O2C，O2CO1C于C，O1半徑為R，O2半徑為r，則內(nèi)公切線長：_圖9_P_A_B_C_D_O_圖10_B_D_C_O_A_T_P_O_B_D_P_A_C圖8_圖12_O_1_B_A_r_R_C_d_O_2_圖11_B_C_A_O_2_O_1_O_2_d_C_R_

36、r_A_B_O_1_圖13第四章 統(tǒng)計與概率1. 實驗頻率與理論概率的關系只是在實驗次數(shù)很多時,實驗頻率接近于理論概念,但實驗次數(shù)再多,也很難保證實驗結(jié)果與理論值相等,這就是“隨機事件”的特點.三. 游戲公平嗎?1. 游戲的公平性是指游戲雙方各有50%贏的機會,或者游戲多方贏的機會相等.2. 表示一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做該事件的概率.一個事件發(fā)生的概率取值在0與1之間.3. 概率的預測的計算方法:某事件A發(fā)生的概率:4. 用分析的辦法求事件發(fā)生的概率要注意關鍵性的兩點:(1)要弄清楚我們關注的是發(fā)生哪個或哪些結(jié)果;(2)要弄清楚所有機會均等的結(jié)果.（注：表示重點部分；¤表示了

37、解部分；表示僅供參閱部分；）北師大版初中數(shù)學定理知識點匯總九年級(下冊)第一章 直角三角形邊的關系一. 正切：定義：在中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作，即;是一個完整的符號，它表示A的正切，記號里習慣省去角的符號“”；沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中A的對邊與鄰邊的比；不表示“”乘以“A”；初中階段，我們只學習直角三角形中，A是銳角的正切；的值越大，梯子越陡，A越大； A越大，梯子越陡，的值越大。二. 正弦：定義：在中，銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作，即;三. 余弦：定義：在中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作，即;余切：定義：在中，銳角A的鄰邊與對邊的比

38、叫做A的余切，記作，即;一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。0º30 º45 º60 º90 º01100110（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達：若A為銳角，則當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1)當圖1角度在0°90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減

39、小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)01，01。同角的三角函數(shù)間的關系：倒數(shù)關系：·=1。在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊與二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。在中，C為直角，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有 (1)三邊之間的關系：a222；(2)兩銳角的關系：A90°； (3)邊與角之間的關系：(4)面積公式:(為C邊上的高); (5)直角三角形的內(nèi)切圓半徑 (6)直角三角形的外接圓半徑解直角三角形的幾種基本類型列表如下：圖2hlABC解直角三角形的幾種基本類型列表

40、如下：圖3圖4 如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3，、的方位角分別為45°、135°、225°。指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4，、的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。第二章 二次函數(shù)二次函數(shù)的概念：形如的函數(shù)，叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實數(shù)。 是二次函數(shù)的特例，此時常數(shù)0.在寫二次函數(shù)的關系式時，一定要尋找兩個變量

41、之間的等量關系，列出相應的函數(shù)關系式，并確定自變量的取值范圍。二次函數(shù)y2的圖象是一條頂點在原點關于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線與x軸的交點等方面來描述。函數(shù)的定義域是全體實數(shù)；拋物線的頂點在(0，0)，對稱軸是y軸(或稱直線x0)。當a0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當a0時，拋物線開口向下，并且向下方無限伸展。函數(shù)的增減性：A、當a0時 B、當a0時當a越大，拋物線開口越小；當a越小，拋物線的開口越大。最大值或最小值：當a0，且x0時函數(shù)有最小值，最小值是0；當a0，且x0時函數(shù)有最大值，最

42、大值是0二次函數(shù)的圖象是一條頂點在y軸上且與y軸對稱的拋物線二次函數(shù)的圖象是以為對稱軸，頂點在（，）的拋物線。（開口方向與大小由a來決定）的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越快；的越小，拋物線的開口程度越大，越遠離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越慢。二次函數(shù)的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，決定拋物線的開口程度大小，c決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低。二次函數(shù)的圖象與y2的圖象的關系：的圖象可以由y2的圖象平移得到，其步驟如下： 將配方成的形式；（其中，）；把拋物線向右（h>0）或向左（h<0）平移個單位，得到()2的圖象；

43、再把拋物線向上（k>0）或向下（k<0）平移| 個單位，便得到的圖象。二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)配方成則拋物線的對稱軸：頂點坐標：（，）增減性： 若a>0，則當x<時，y隨x的增大而減?。划攛>時，y隨x的增大而增大。若a<0，則當x<時，y隨x的增大而增大；當x>時，y隨x的增大而減小。最值：若a>0，則當時，；若a<0，則當時，畫二次函數(shù)的圖象： 我們可以利用它與函數(shù)的關系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的描點法五點法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：先找出頂點（，），畫出對稱軸；找出圖象上關于直線對稱的四個點（如

44、與坐標的交點等）；把上述五點連成光滑的曲線。¤二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成()2的形式求得，也可以借助圖象觀察。¤解決最大（?。┲祮栴}的基本思路是：理解問題；分析問題中的變量與常量，以及它們之間的關系；用數(shù)學的方式表示它們之間的關系；做數(shù)學求解；檢驗結(jié)果的合理性、拓展性等。二次函數(shù)的圖象(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標x1，x2是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：>0 <> 拋物線與x軸有2個交點；=0 <> 拋物線與x軸有1個交點；<0 <> 拋物線

45、與x軸有0個交點（無交點）；當>0時，設拋物線與x軸的兩個交點為A、B，則這兩個點之間的距離：化簡后即為： 這就是拋物線與x軸的兩交點之間的距離公式。第三章 圓一. 車輪為什么做成圓形1. 圓的定義： 描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點O叫做圓心；線段叫做半徑；以點O為圓心的圓，記作O，讀作“圓O” 集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心與半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個條件唯一確定：

46、一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2. 點與圓的位置關系及其數(shù)量特征： 如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則點在圓上 <> ;點在圓內(nèi) <> d<r;點在圓外 <> d>r.其中點在圓上的數(shù)量特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與一個定點、的距離相等。二. 圓的對稱性: 1. 與圓相關的概念：弦與直徑： 弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。 直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑?；?、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表示，以為端點的弧記為“”，讀作“圓弧”或“弧”。半圓：直徑的兩個端點分圓成

47、兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧與劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。)弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.2. 圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑

48、定理與推論可知對于一個圓與一條直線來說，如果具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)?。黄椒窒宜鶎Φ牧踊?。 上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論: 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.三. 圓周角與圓心角的關系:1. 1°的弧的概念: 把頂點在圓心的周角等分成360份時,每一份的角都是1°的圓心角,相應的整個圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1°弧.2. 圓心角的度數(shù)與它所

49、對的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫成 ,這是錯誤的.3. 圓周角的定義: 頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.4. 圓周角定理: 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論1: 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；四. 確定圓的條件:1. 理解確定一個圓必須的具備兩個條件: 圓心與半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小. 經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓,經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.2. 經(jīng)

50、過三點作圓要分兩種情況:(1) 經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓.(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點,能且僅能作一個圓.定理: 不在同一直線上的三個點確定一個圓.3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: (1)三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點的距離相等.五. 直線與圓的位置關系1. 直線與圓相交、相切相離的定義:(1)相交: 直線與圓有兩個公共點時,叫做直線與圓相交,這時直線叫做圓的割線.(2)相切

51、: 直線與圓有惟一公共點時,叫做直線與圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點做切點.(3)相離: 直線與圓沒有公共點時,叫做直線與圓相離.2. 直線與圓的位置關系的數(shù)量特征: 設O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；d<r <> 直線L與O相交. <> 直線L與O相切.d>r <> 直線L與O相離.3. 切線的總判定定理: 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.4. 切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.分析性質(zhì)定理及兩個推論的條

52、件與結(jié)論間的關系,可得如下結(jié)論:如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.垂直于切線; 過切點; 過圓心.5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念. 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個三角形叫做圓的外切三角形.6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì): (1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過三角形頂點與內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線: 連接內(nèi)心與三角形的頂點,該線平分三角形的這個內(nèi)角.六. 圓與圓的位置關系.1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關系的定義.(1)外離: 兩個圓沒有公共點,并且

53、每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.(2)外切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,每個圓上的點都在另一個圓的外部時, 叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.(3)相交: 兩個圓有兩個公共點,此時叫做這個兩個圓相交.(4)內(nèi)切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點叫做切點.(5)內(nèi)含: 兩個圓沒有公共點, 并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例.2. 兩圓位置關系的性質(zhì)與判定:(1)兩圓外離 <> d>(2)兩圓外切 <> (3)兩圓相交 <> <d< (Rr)(4)兩圓內(nèi)切 <> (R&