數學分析教案(華東師大版)第二十一章重積分

1、第二十一章 重積分 教學目的：1.理解并掌握二重積分的有關概念及可積條件，進而會計算二重積分；2.理解三重積分的概念，掌握三重積分的計算方法，并能應用其解決有關 的數學、物理方面的計算問題；3.了解n重積分的有關概念及計算方法。 教學重點難點：本章的重點是重積分的計算和格林公式；難點是化重積分為累次積分。 教學時數：22學時 § 1 二重積分概念 一.        矩形域上的二重積分 : 從曲頂柱體的體積引入. 用直線網分割 . 定義 二重積分 . 例1     

2、       用定義計算二重積分 .用直線網分割該正方形 , 在每個正方形上取其右上頂點為介點 .解 .二. 可積條件 : D . 大和與小和.Th 1 , .1 / 14Th 2 , .Th 3 在D上連續(xù) , 在D上可積 .Th 4 設 , 為 上的可積函數. D,( 或 D ) . 若 在D上有界 , 且在D 上連續(xù) , 則 在D上可積 .例2            P217ex2三  一般域上的二重積分： 1

3、      定義： 一般域上的二重積分. 2      可求面積圖形: 用特征函數定義. 四.     二重積分的性質 : 性質1 . 性質2 關于函數可加性 . 性質3 則 在D上可積 在 和可積 , 且 . 性質4 關于函數單調性 . 性質5 . 性質6 . 性質7 中值定理 .Th 若區(qū)域D 的邊界是由有限條連續(xù)曲線 ( 或 )組成 , 在D上連續(xù) , 則 在D上可積 .例3      &#

4、160;     去掉積分 中的絕對值 .§ 2 二重積分的計算 二. 化二重積分為累次積分: 1.          矩形域 上的二重積分: 用“ 體積為冪在勢上的積分”推導公式.   2. 簡單域上的二重積分: 簡推公式, 一般結果P219Th9.  例1 , .解法一 P221例3解法二 為三角形, 三個頂點為 , .例2 , . P221例2. 例3 求底半徑為 的兩直交圓柱所圍立體的體積 . P222例4. 

5、67; 3 Green公式 . 曲線積分與路徑無關性一.             Green公式: 閉區(qū)域的正面與邊界正向的規(guī)定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示區(qū)域的正面( 理解為拇指“站立在” 區(qū)域的正面上 ), 則其余四指( 彎曲 )表示邊界的正向. 右手螺旋定向法則還可表述為: 人站立在區(qū)域的正面的邊界上, 讓區(qū)域在人的左方. 則人前進的方向為邊界的正向. 參閱P圖2110. 若以L記正向邊界, 則用L或L 表示反向（或稱為負向）邊界.  1. Gre

6、en公式: Th21.11 若函數P和Q在閉區(qū)域D R 上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導數, 則有 ,其中L為區(qū)域D的正向邊界. ( 證 ) P224Green公式又可記為 .1.          應用舉例:   對環(huán)路積分, 可直接應用Green公式. 對非閉路積分, 常采用附加上一條線使變成環(huán)路積分的技巧.例1            計算積分 , 其中A B . 曲線AB為圓周在第一象

7、限中的部分. P226例1解法一 ( 直接計算積分 ) 曲線AB的方程為 .方向為自然方向的反向. 因此 .解法二 ( 用Green公式 ) 補上線段BO和OA ( O為坐標原點 ), 成閉路. 設所圍  區(qū)域為D, 注意到 D為反向, 以及 , 有 .例2            計算積分 I = , 其中L為任一不包含原點的閉區(qū)域D的邊界(方向任意 ) P227例2解 . ( 和 在D上有連續(xù)的偏導數)., .于是, I = . 二. 曲線積分與路線無關性:  

8、單連通域和復連通域.  1. 積分與路徑無關的等價條件: P228Th21.12 設D R 是單連通閉區(qū)域. 若函數 和 在閉區(qū)域D內連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導數 , 則以下四個條件等價 :> 沿D內任一按段光滑的閉合曲線L, 有 . > 對D內任一按段光滑的曲線L, 曲線積分 與路徑無關, 只與曲線L的起點和終點有關. > 是D內某一函數 的全微分, 即在D內有 . > 在D內每一點處有 . 2. 恰當微分的原函數: 若有 , 則稱微分形式 是一個恰當微分. 恰當微分有原函數,( 它的一個 ) 原函數為 : . 或 其中點 D, 當點 D時, 常取 = .

9、驗證第一式: = ; . 例6 驗證式 是恰當微分, 并求其原函數. P231例4  . § 4 二重積分的變量變換:（4時） 1. 二重積分的變量變換公式: 設變換 的Jacobi , 則 ,其中 是在該變換的逆變換 下 平面上的區(qū)域 在 平面上的象. 由條件 , 這里的逆變換是存在的.一般先引出變換 , 由此求出變換 .而 . 例1 , . P235 例1.註 當被積函數形如 , 積分區(qū)域為直線型時, 可試用線性變換 . 例2 , .解 設 . 則 . ， .因此 , .註 若區(qū)域 是由兩組“相似”曲線 ( 即每組中的兩條曲線僅以一個參數不同的取值相區(qū)別 ) 圍成的四線

10、型區(qū)域 , 可引進適當的變換使其變成矩形區(qū)域 . 設區(qū)域 由以下兩組曲線圍成 : 第一組: ; 第二組: .可試用變換 . . 從中解出. 在此變換之下, 區(qū)域 變成 平面上的矩形區(qū)域. 例3 求由拋物線 和 直線 所圍平面區(qū)域 的面積 . P236例2.   2. 極坐標與廣義極坐標變換: 極坐標變換: , . 廣義極坐標變換: , . 例4 . P240例3.例5 ( Viviani問題 ) 求球體 被圓柱面 所割下立體的體積 . P240例4. 例6 應用二重積分求廣義積分 . P241例5. 例7 求橢球體 的體積 . P241例6.四.   &

11、#160;        積分換序:   例8 連續(xù) . 對積分 換序. .例9 連續(xù) . 對積分 換序. . 例10 計算積分 . . § 5 三重積分簡介   一 三重積分的定義： 1      長方體 上的積分： 2      一般可求體積立體 上的積分：   二 三重積分的計算：   1 長方體 上的積分： . 2. 型體上的積分: 內一外二 : = , 其中 , 為

12、在 平面上的投影.就函數 為點密度的情況解釋該公式 . 內二外一 : = ,其中 介于平面 和 之間 , 是用平面 截 所得的截面. 內二外一 多用于圍成 的閉合曲面由一個方程給出的情況. 例1 , : . P245例 1.解 , 例2 , : .解 . 法一 ( 內二外一 ) ,其中 為橢圓域 , 即橢圓域 , 其面積為 . 因此 .同理得 , .因此 . 法二 ( 內一外二 ) 上下對稱, 為 的偶函數, , 其中 為 在 平面上方的部分, 其在 平面上的投影為橢圓 . 于是 ., .因此 . 同理 . 于是 .例3            設 . 計算積分 , : .解 .  三. 三重積分換元公式:   Th 21.13 P247.  1.