數(shù)學(xué)分析第十四章冪級數(shù)

1、 第十四章 冪級數(shù) （ 1 0 時(shí) ） §1 冪級數(shù)（ 4 時(shí) ）冪級數(shù)的一般概念.型如 和 的冪級數(shù).冪級數(shù)由系數(shù)數(shù)列唯一確定.冪級數(shù)至少有一個(gè)收斂點(diǎn).以下只討論型如的冪級數(shù).冪級數(shù)是最簡單的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)之一.一. 冪級數(shù)的收斂域:Th 1（Abel定理）若冪級數(shù)在點(diǎn)收斂, 則對滿足不等式的任何,冪級數(shù)收斂而且絕對收斂；若在點(diǎn)發(fā)散,則對滿足不等式的任何，冪級數(shù)發(fā)散.證 收斂, 有界.設(shè)|, 有|,其中 .定理的第二部分系第一部分的逆否命題.冪級數(shù)和的收斂域的結(jié)構(gòu).定義冪級數(shù)的收斂半徑R.收斂半徑 R的求法.Th 2 對于冪級數(shù), 若, 則> 時(shí), ; > 時(shí); >

2、時(shí). 證 , (強(qiáng)調(diào)開方次數(shù)與的次數(shù)是一致的). 120 / 12由于, 因此亦可用比值法求收斂半徑.冪級數(shù)的收斂區(qū)間: .冪級數(shù)的收斂域: 一般來說, 收斂區(qū)間收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是區(qū)間、或之一.例1 求冪級數(shù)的收斂域 . ( )例2 求冪級數(shù)的收斂域 . ( )例3 求下列冪級數(shù)的收斂域: ; .例4 求級數(shù)的收斂域 . Ex 1P5051 1. 二 冪級數(shù)的一致收斂性：Th 3 若冪級數(shù)的收斂半徑為，則該冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂.證 , 設(shè), 則對, 有, 級數(shù)絕對收斂, 由優(yōu)級數(shù)判別法 冪級數(shù)在上一致收斂.因此,冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂.Th 4 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,且在點(diǎn)( 或

3、 )收斂,則冪級數(shù)在區(qū)間( 或 )上一致收斂 .證 . 收斂, 函數(shù)列在區(qū)間上遞減且一致有界,由Abel判別法,冪級數(shù)在區(qū)間上一致收斂.易見,當(dāng)冪級數(shù)的收斂域?yàn)?時(shí),該冪級數(shù)即在區(qū)間上一致收斂 . 三. 冪級數(shù)的性質(zhì): 1. 逐項(xiàng)求導(dǎo)和積分后的級數(shù):設(shè), *) 和 *)仍為冪級數(shù). 我們有Th 5 *) 和 *)與有相同的收斂半徑 . ( 簡證 )注: *) 和 *)與雖有相同的收斂半徑(因而有相同的收斂區(qū)間)，但未必有相同的收斂域, 例如級數(shù). 2. 冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):定義 兩個(gè)冪級數(shù)和在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)相等是指：它們在該鄰域內(nèi)收斂且有相同的和函數(shù).Th 6 .Th 7 設(shè)冪級數(shù)和的收斂半徑分別

4、為和, , 則> , 常數(shù)， .> +, .> ()(), , . 3. 和函數(shù)的性質(zhì):Th 8 設(shè)在(內(nèi). 則 > 在內(nèi)連續(xù); > 若級數(shù)或收斂, 則在點(diǎn)( 或 )是左( 或右 )連續(xù)的; > 對, 在點(diǎn)可微且有 ; > 對, 在區(qū)間 上可積,且 .注:當(dāng)級數(shù)收斂時(shí),無論級數(shù)在點(diǎn)收斂與否,均有.這是因?yàn)?由級數(shù)收斂,得函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù), 因此有.推論1 和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任意次可導(dǎo), 且有 , .注: 由系1可見, 是冪級數(shù)的和函數(shù)的必要條件是任意次可導(dǎo).推論2 若, 則有 例5 驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程 .驗(yàn)證 所給冪級數(shù)的收斂域?yàn)? , 代入, .例6 由

5、于, .所以, . . , Ex 1P5051 4 , 5， 6 . §2 函數(shù)的冪級數(shù)展開（ 4 時(shí) ）一. 函數(shù)的冪級數(shù)展開:1. Taylor級數(shù): 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù).Taylor公式和Maclaurin公式.Taylor公式：.余項(xiàng)的形式:Peano型余項(xiàng): , （只要求在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，存在）Lagrange型余項(xiàng): 在與之間. 或 .積分型余項(xiàng): 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí), 有 .Cauchy余項(xiàng): 在上述積分型余項(xiàng)的條件下, 有Cauchy余項(xiàng) .特別地，時(shí)，Cauchy余項(xiàng)為 在與之間.Taylor級數(shù): Taylor公式僅有有限項(xiàng), 是用多項(xiàng)式

6、逼近函數(shù). 項(xiàng)數(shù)無限增多時(shí), 得 ,稱此級數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級數(shù). 只要函數(shù)在點(diǎn)無限次可導(dǎo), 就可寫出其Taylor級數(shù). 稱=時(shí)的Taylor級數(shù)為Maclaurin級數(shù), 即級數(shù).自然會有以下問題: 對于在點(diǎn)無限次可導(dǎo)的函數(shù), 在的定義域內(nèi)或在點(diǎn)的某鄰域內(nèi), 函數(shù)和其Taylor級數(shù)是否相等呢 ?2 函數(shù)與其Taylor級數(shù)的關(guān)系：例1 函數(shù)在點(diǎn)無限次可微. 求得,. 其Taylor級數(shù)為 .該冪級數(shù)的收斂域?yàn)?僅在區(qū)間內(nèi)有=.而在其他點(diǎn)并不相等,因?yàn)榧墧?shù)發(fā)散.那么,在Taylor級數(shù)的收斂點(diǎn),是否必有和其Taylor級數(shù)相等呢?回答也是否定的.例2 函數(shù)在點(diǎn)無限次可導(dǎo)且有因此Ta

7、ylor級數(shù)，在內(nèi)處處收斂.但除了點(diǎn)外,函數(shù)和其Taylor級數(shù)并不相等.另一方面,由本章§1 Th 8推論2（和函數(shù)的性質(zhì)）知:在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)倘有, 則在點(diǎn)無限次可導(dǎo)且級數(shù)必為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級數(shù).綜上, 我們有如下結(jié)論: 對于在點(diǎn)無限次可導(dǎo)的函數(shù), 其Taylor級數(shù)可能除點(diǎn)外均發(fā)散, 即便在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)其Taylor級數(shù)收斂, 和函數(shù)也未必就是.由此可見,不同的函數(shù)可能會有完全相同的Taylor級數(shù). 若冪級數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù), 則該冪級數(shù)就是函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級數(shù).于是, 為把函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于的冪級數(shù)，我們只能考慮其Taylor級數(shù). 3 函數(shù)的

8、Taylor展開式：若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)函數(shù)的Taylor級數(shù)收斂且和恰為，則稱函數(shù)在點(diǎn)可展開成Taylor級數(shù)(自然要附帶展開區(qū)間.稱此時(shí)的Taylor級數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor展開式或冪級數(shù)展開式.簡稱函數(shù)在點(diǎn)可展為冪級數(shù).當(dāng)= 0 時(shí), 稱Taylor展開式為Maclaurin展開式.通常多考慮的是Maclaurin展開式.4. 可展條件:Th 1 (必要條件) 函數(shù)在點(diǎn)可展在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù).Th 2 (充要條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù).則在區(qū)間內(nèi)等于其Taylor級數(shù)(即可展)的充要條件是:對, 有.其中是Taylor公式中的余項(xiàng).證 把函數(shù)展開為階Taylor公式, 有 .Th 3

9、(充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù), 且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列一致有界, 則函數(shù)可展.證 利用Lagrange型余項(xiàng), 設(shè) , 則有.例3 展開函數(shù) > 按冪; > 按冪.解 , , .所以,> .可見,的多項(xiàng)式的Maclaurin展開式就是其本身. > . Ex 1P58 1， 3.二. 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式:初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式才是其本質(zhì)上的解析表達(dá)式.為得到初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,或直接展開,或間接展開.1. . ( 驗(yàn)證對R ，在區(qū)間 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此可展 ). . 2. , . , .可展是因?yàn)樵趦?nèi)一致有界. 3. 二項(xiàng)式 的展開式: 為

10、正整數(shù)時(shí), 為多項(xiàng)式, 展開式為其自身;為不是正整數(shù)時(shí), 可在區(qū)間內(nèi)展開為對余項(xiàng)的討論可利用Cauchy余項(xiàng). 具體討論參閱1P56.進(jìn)一步地討論可知(參閱.菲赫金哥爾茨 微積分學(xué)教程第二卷第二分冊.):當(dāng)時(shí), 收斂域?yàn)?當(dāng)時(shí), 收斂域?yàn)?當(dāng)時(shí), 收斂域?yàn)?利用二項(xiàng)式的展開式, 可得到很多函數(shù)的展開式. 例如取, 得 ， .取時(shí), 得 , . 間接展開: 利用已知展開式, 進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)算以及微積運(yùn)算, 可得到一些函數(shù)的展開式.利用微積運(yùn)算時(shí), 要求一致收斂.冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂,總可保證這些運(yùn)算暢通無阻.4. . .事實(shí)上, 利用上述的展開式, 兩端積分, 就有 , .驗(yàn)證知展開式