高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

1、學(xué)案45空間向量及其運(yùn)算導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直自主梳理1空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有_和_的量叫做空間向量(2)相等向量：方向_且模_的向量(3)共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是_推論如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是：ta其中a叫直線l的方向向量，tR，在l上取a，則可化為_或(1t)t.(4)共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a

2、，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使pxayb，推論的表達(dá)式為xy或?qū)臻g任意一點(diǎn)O有，_或xyz，其中xyz_.2空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得p_，把a(bǔ)，b，c叫做空間的一個基底3空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作a，b，則_叫做向量a與b的夾角，記作_，其范圍是_，若a，b，則稱a與b_，記作ab.兩向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a，b，則_叫做向量a，b的數(shù)量積，記作_，即_(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律：(a)·b_；交

3、換律：a·b_；分配律：a·(bc)_.4空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則a·b_.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab(b0)_，_，_，ab_ (a，b均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|_，cosa，b_ .若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則|_.自我檢測1若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且ab，則()Ax1，y1 Bx，yCx，y Dx，y2(2011

4、3;青島月考)如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()Aabc B.abcC.abc Dabc3(2011·廣州調(diào)研)在平行六面體ABCDABCD中，已知BADAABAAD60°，AB3，AD4，AA5，則|_.4有下列4個命題：若pxayb，則p與a、b共面；若p與a、b共面，則pxayb；若xy，則P、M、A、B共面；若P、M、A、B共面，則xy.其中真命題的個數(shù)是()A1 B2 C3 D45A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)這四個點(diǎn)_(填共面或不共面)

5、探究點(diǎn)一空間基向量的應(yīng)用例1已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，P為OA的中點(diǎn)，Q為OB的中點(diǎn)，若ABOC，求證：PMQN.變式遷移1如圖，在正四面體ABCD中，E、F分別為棱AD、BC的中點(diǎn)，則異面直線AF和CE所成角的余弦值為_探究點(diǎn)二利用向量法判斷平行或垂直例2(2011·合肥調(diào)研)兩個邊長為1的正方形ABCD與正方形ABEF相交于AB，EBC90°，點(diǎn)M、N分別在BD、AE上，且ANDM.(1)求證：MN平面EBC；(2)求MN長度的最小值變式遷移2如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點(diǎn)求

6、證：(1)AM平面BDE；(2)AM面BDF.探究點(diǎn)三利用向量法解探索性問題例3(2011·泉州月考)如圖，平面PAC平面ABC，ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC16，PAPC10.(1)設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明FG平面BOE；(2)在AOB內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使FM平面BOE？若存在，求出點(diǎn)M到OA，OB的距離；若不存在，說明理由變式遷移3已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D為A1C1的中點(diǎn)，E為B1C的中點(diǎn)(1)求直線BE與A1C所成的角的余弦值；(2)在線段AA1上是否存

7、在點(diǎn)F，使CF平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，請說明理由1向量法解立體幾何問題有兩種基本思路：一種是利用基向量表示幾何量，簡稱基向量法；另一種是建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法表示幾何量，簡稱坐標(biāo)法2利用坐標(biāo)法解幾何問題的基本步驟是：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)準(zhǔn)確表示涉及到的幾何量(2)通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)幾何問題(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1下列命題：若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有0；|a|b|ab|是a、b共線的充要條件；若a、b共線，則a與b所在直線平行；對空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A

8、、B、C，若xyz(其中x、y、zR)則P、A、B、C四點(diǎn)共面其中假命題的個數(shù)是()A1 B2 C3 D42.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點(diǎn)，則直線OM()A既垂直于AC，又垂直于MNB垂直于AC，但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD與AC、MN都不垂直3(2011·紹興月考)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是()A45° B60°C90° D1

9、20°4設(shè)點(diǎn)C(2a1，a1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1,4)確定的平面上，則a等于()A16 B4 C2 D85在直角坐標(biāo)系中，A(2,3)，B(3，2)，沿x軸把直角坐標(biāo)系折成120°的二面角，則AB的長度為()A. B2 C3 D4二、填空題(每小題4分，共12分)6.(2011·信陽模擬)如圖所示，已知空間四邊形ABCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若()，則_.7(2011·銅川模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，給出以下向量表達(dá)式：()；()；()2；().其中能夠化簡為向量的是_(填所有正確的序號)8(

10、2011·麗水模擬)如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E為PB的中點(diǎn)，cos，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_三、解答題(共38分)9(12分)如圖所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AEFC11.(1)求證：E、B、F、D1四點(diǎn)共面；(2)若點(diǎn)G在BC上，BG，點(diǎn)M在BB1上，GMBF，垂足為H，求證：EM平面BCC1B1.10(12分)(2009·福建)如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E為BC的

11、中點(diǎn)(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由11(14分)(2011·汕頭月考)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)(1)求證：MNAB，MNCD；(2)求MN的長；(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值學(xué)案45空間向量及其運(yùn)算自主梳理1(1)大小方向(2)相同相等(3)存在實(shí)數(shù)，使得abt(4)xy12.xaybzc3.(1)AOBa，b0a，b互相垂直|a|b|cosa，ba·ba·b|a|b|cosa，b(

12、2)(a·b)b·aa·ba·c4.(1)a1b1a2b2a3b3(2)aba1b1a2b2a3b3 (R)a·b0a1b1a2b2a3b30(3)自我檢測1Cab，x，y.2Aac(ab)abc.3.解析，|22222·2·2·3242522×3×4×cos 60°2×4×5×cos 60°2×3×5×cos 60°97，|.4B正確中若a、b共線，p與a不共線，則pxayb就不成立正確中若M、

13、A、B共線，點(diǎn)P不在此直線上，則xy不正確5共面解析(3,4,5)，(1,2,2)，(9,14,16)，設(shè)xy，即(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y)，從而A、B、C、D四點(diǎn)共面課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引欲證ab，只要把a(bǔ)、b用相同的幾個向量表示，然后利用向量的數(shù)量積證明a·b0即可，這是基向量證明線線垂直的基本方法證明如圖所示.設(shè)a，b，c.()(bc)，()(ac)，a(bc)(bca)，b(ac)(acb)·c(ab)c(ab)c2(ab)2(|2|2)|，·0.即，故PMQN.變式遷移1解析設(shè)，為空間一組基底，則，().··&#

14、183;2··22222.又|，|·|2.cos，.異面直線AF與CE所成角的余弦值為.例2解題導(dǎo)引如圖所示，建立坐標(biāo)系后，要證MN平行于平面EBC，只要證的橫坐標(biāo)為0即可(1)證明如圖所示，以、為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，D(1,1,0)，E(0,0,1)，B(0,0,0)，設(shè)，則(1,1,0)(0，1,0)(1,0,1)(0，1，)0<<1，10，0，且的橫坐標(biāo)為0.平行于平面yBz，即MN平面EBC.(2)解由(1)知| ，當(dāng)時，MN取得長度的最小值為.變式遷移2證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ACBDN，連接

15、NE.則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別為、(0,0,1).又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別為(，0)、，.且NE與AM不共線NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)得，D(，0,0)，F(xiàn)(，1)，B(0，0)，(0，1)，(，0,1)·0，·0.，即AMDF，AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.例3解題導(dǎo)引建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系后，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)第(1)題證明與平面BOE的法向量n垂直，即·n0即可第(2)題設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用n即可解出，然后檢驗解的合理性(1)證明如圖，連接OP，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，

16、建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則O(0,0,0)，A(0，8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(xiàn)(4,0,3)由題意，得G(0,4,0)因為(8,0,0)，(0，4,3)，所以平面BOE的法向量n(0,3,4)由(4,4，3)，得n·0.又直線FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG平面BOE.(2)解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0,0)，則(x04，y0，3)因為FM平面BOE，所以n，因此x04，y0，即點(diǎn)M的坐標(biāo)是.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組經(jīng)檢驗，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組所以，在AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M，使PM平面BO

17、E.由點(diǎn)M的坐標(biāo)，得點(diǎn)M到OA，OB的距離分別為4，.變式遷移3解(1)以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以BA、BC、BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，ABC為等腰直角三角形，ABBCACa，A(a,0,0)，C(0，a,0)，C1(0，a,3a)，E，A1(a,0,3a)，(a，a，3a)，cos，.直線BE與A1C所成的角的余弦值為.(2)假設(shè)存在點(diǎn)F，使CF平面B1DF，并設(shè)(0,0,3a)(0,0,3a) (0<<1)，D為A1C1的中點(diǎn)，D，(0,0,3a)，(0,0，3a)(a,0,0)(0,0,3a)(a,0,3

18、a(1)，(a，a,0)(0,0,3a)(a，a,3a)CF平面B1DF，即，解得或存在點(diǎn)F使CF面B1DF，且當(dāng)時，|a，當(dāng)時，|2a.課后練習(xí)區(qū)1C均不正確2A以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建系，設(shè)棱長為2，則M(0,0,1)，N(0,1,2)，O(1,1,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，(2,2,0)，(0,1,1)，(1，1,1)，·0，·0，OMAC，OMMN.3B如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)ABBCAA12，則E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，C1(2,0,2)，(0，1,1)，(2,0,2)，cos，.，0°，180

19、6;EF與BC1所成的角是60°.4A由12得：(2a1，a1,2)1(1，3,2)2(6，1，4)，解得a16.5B過A、B分別作AA1x軸，BB1x軸，垂足分別為A1和B1，則AA13，A1B15，BB12，22222·3252222×3×2×cos 60°44.|2.6.解析，又，2，()，.7解析()；()；()22；()().8(1,1,1)解析設(shè)DPy>0，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，y)，E，(0,0，y)，.cos，.解得y2，E(1,1,1)9證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則(3

20、,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)(2分)所以.故、共面又它們有公共點(diǎn)B，E、B、F、D1四點(diǎn)共面(6分)(2)設(shè)M(0,0，z)，則.而(0,3,2)，由題設(shè)，得·×3z·20，得z1.(8分)M(0,0,1)，E(3,0,1)，(3,0,0)又(0,0,3)，(0,3,0)，·0，·0，從而MEBB1，MEBC.又BB1BCB，ME平面BCC1B1.(12分)10.解(1)如圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.依題意，得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E.(2分)，(1